登录
10. 已知$\odot O$，按下列要求完成尺规作图.(要求:保留作图痕迹,并写出必要的文字说明)
(1) 在图1中,求作一点$M$,使经过点$M$的$\odot O$的两条切线互相垂直.
(2) 点$P$的位置如图2所示.求作弦$AB$,$CD$,使$AB=CD$,且$AB ⊥ CD$,垂足为$P$.
(1) 在图1中,求作一点$M$,使经过点$M$的$\odot O$的两条切线互相垂直.
(2) 点$P$的位置如图2所示.求作弦$AB$,$CD$,使$AB=CD$,且$AB ⊥ CD$,垂足为$P$.
答案
10. 解:(1) 如图 1,①在 $\odot O$ 上取一点 $N$,连接 $NO$ 并延长;②过点 $N$ 作 $l_1 ⊥ ON$;③以点 $N$ 为圆心,$ON$ 长为半径作弧,交 $l_1$ 于点 $M$. 点 $M$ 即为所求.
(2) 如图 2,①连接 $OP$,作 $l_2$ 垂直平分 $OP$,交 $OP$ 于点 $E$;②以点 $E$ 为圆心,$OE$ 长为半径作弧,交 $l_2$ 于点 $F$,$G$;③作直线 $PF$,交 $\odot O$ 于点 $A$,$B$;作直线 $PG$,交 $\odot O$ 于点 $C$,$D$. $AB$,$CD$ 即为所求.
解析
【分析】
对于(1)，要使过点M的⊙O的两条切线互相垂直，根据圆的切线性质，切线垂直于过切点的半径，若两条切线垂直，则切点与M、圆心O构成正方形，故只需在过⊙O上一点N且垂直于ON的直线l₁上，取到N的距离等于ON的点M即可；对于(2)，要作过P且互相垂直、长度相等的弦AB和CD，根据“在同圆中，相等的弦对应的弦心距相等”，先作OP的垂直平分线找到弦心距的位置，再构造出两条互相垂直且弦心距相等的弦即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 在⊙O上任取一点N，连接ON并延长；
② 过点N作直线l₁⊥ON；
③ 以点N为圆心，ON长为半径作弧，交l₁于点M，则点M即为所求。
(2) 作图步骤：
① 连接OP，作线段OP的垂直平分线l₂，交OP于点E；
② 以点E为圆心，OE长为半径作弧，交l₂于F、G两点；
③ 作直线PF，交⊙O于A、B两点；作直线PG，交⊙O于C、D两点，则AB、CD即为所求。
【答案】
10. 解:(1) 如图 1,①在 $\odot O$ 上取一点 $N$,连接 $NO$ 并延长;②过点 $N$ 作 $l_1 ⊥ ON$;③以点 $N$ 为圆心,$ON$ 长为半径作弧,交 $l_1$ 于点 $M$. 点 $M$ 即为所求.
(2) 如图 2,①连接 $OP$,作 $l_2$ 垂直平分 $OP$,交 $OP$ 于点 $E$;②以点 $E$ 为圆心,$OE$ 长为半径作弧,交 $l_2$ 于点 $F$,$G$;③作直线 $PF$,交 $\odot O$ 于点 $A$,$B$;作直线 $PG$,交 $\odot O$ 于点 $C$,$D$. $AB$,$CD$ 即为所求.
【知识点】
尺规作图、圆的切线性质、弦的性质
【点评】
本题结合圆的相关性质考查尺规作图，需理解切线垂直的图形特征及等弦与弦心距的关系，设计合理的作图步骤完成要求。
【难度系数】
0.6
对于(1)，要使过点M的⊙O的两条切线互相垂直，根据圆的切线性质，切线垂直于过切点的半径，若两条切线垂直，则切点与M、圆心O构成正方形，故只需在过⊙O上一点N且垂直于ON的直线l₁上，取到N的距离等于ON的点M即可；对于(2)，要作过P且互相垂直、长度相等的弦AB和CD，根据“在同圆中，相等的弦对应的弦心距相等”，先作OP的垂直平分线找到弦心距的位置，再构造出两条互相垂直且弦心距相等的弦即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 在⊙O上任取一点N，连接ON并延长；
② 过点N作直线l₁⊥ON；
③ 以点N为圆心，ON长为半径作弧，交l₁于点M，则点M即为所求。
(2) 作图步骤：
① 连接OP，作线段OP的垂直平分线l₂，交OP于点E；
② 以点E为圆心，OE长为半径作弧，交l₂于F、G两点；
③ 作直线PF，交⊙O于A、B两点；作直线PG，交⊙O于C、D两点，则AB、CD即为所求。
【答案】
10. 解:(1) 如图 1,①在 $\odot O$ 上取一点 $N$,连接 $NO$ 并延长;②过点 $N$ 作 $l_1 ⊥ ON$;③以点 $N$ 为圆心,$ON$ 长为半径作弧,交 $l_1$ 于点 $M$. 点 $M$ 即为所求.
(2) 如图 2,①连接 $OP$,作 $l_2$ 垂直平分 $OP$,交 $OP$ 于点 $E$;②以点 $E$ 为圆心,$OE$ 长为半径作弧,交 $l_2$ 于点 $F$,$G$;③作直线 $PF$,交 $\odot O$ 于点 $A$,$B$;作直线 $PG$,交 $\odot O$ 于点 $C$,$D$. $AB$,$CD$ 即为所求.
【知识点】
尺规作图、圆的切线性质、弦的性质
【点评】
本题结合圆的相关性质考查尺规作图，需理解切线垂直的图形特征及等弦与弦心距的关系，设计合理的作图步骤完成要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图 1,$AB$ 是$\odot O$ 的弦,$AB=2,∠ AOB=$$60°$.$P$ 是优弧$AB$ 上的一个动点(不与点$A$和点$B$ 重合),$PA$,$PB$,$\overset{\frown}{AB}$ 组成了一个新图形(记为“图形 $P-\overset{\frown}{AB}$”),设点 $P$ 到直线$AB$ 的距离为 $x$,图形 $P-\overset{\frown}{AB}$ 的面积为 $y$.
(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式,并写出自变量 $x$ 的取值范围.
(2) 记扇形 $OAB$ 的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}$,当 $y=$$S_{\mathrm{扇形}OAB}$ 时.
① 在图 2 中,作出一个满足条件的点$P$;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
② 在①所作的图中,连接 $PA$,$PB$. 再画一条线,将图形 $P-\overset{\frown}{AB}$ 分成面积相等的两部分.(画图工具不限,写出必要的文字说明)
(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式,并写出自变量 $x$ 的取值范围.
(2) 记扇形 $OAB$ 的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}$,当 $y=$$S_{\mathrm{扇形}OAB}$ 时.
① 在图 2 中,作出一个满足条件的点$P$;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
② 在①所作的图中,连接 $PA$,$PB$. 再画一条线,将图形 $P-\overset{\frown}{AB}$ 分成面积相等的两部分.(画图工具不限,写出必要的文字说明)
答案
11. 解:(1) 因为在 $\odot O$ 中,$AB$ 是 $\odot O$ 的弦,所以 $OA=OB$. 因为 $∠ AOB=60°$,$AB=2$,所以 $△ OAB$ 是等边三角形,所以 $OA=OB=AB=2$. 如图 1,过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$,垂足为 $C$. 易得 $AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 2=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAC$ 中,$∠ OCA=90°$,$OA=2$,$AC=1$. 根据勾股定理,得 $OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$. 所以 $S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}AB · OC=\dfrac{1}{2} × 2 × \sqrt{3}=\sqrt{3}$. 又因为 $∠ AOB=60°$,$△ OAB$ 是等边三角形且边长是 $2$,所以 $S_{扇形OAB}=\dfrac{60}{360} × π × 2^2=\dfrac{2}{3}π$. 又因为点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为 $x$,$AB=2$,所以 $S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}AB · x=\dfrac{1}{2} × 2 · x=x$. 所以图中的阴影部分的面积 $y = S_{△ PAB} + S_{扇形OAB} - S_{△ OAB} = x + \dfrac{2}{3}π - \sqrt{3}$. 自变量 $x$ 的取值范围是 $0＜x ≤ 2+\sqrt{3}$.
(2) ①如图 2 所示,点 $P_1$(或 $P_2$)即为所求(只要求作出一种情形即可).
②折线的画法:以点 $P_1$ 的情况为例,如图 3,过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$,垂足为 $C$,延长 $OC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$. 连接 $P_1C$,$CD$,则折线 $P_1-C-D$ 即为所求.
弧线的画法:以点 $P_1$ 的情况为例,如图 4,以点 $P_1$ 为圆心,$P_1A$ 长为半径画弧,交 $P_1B$ 于点 $F$. 则 $\overset{\frown}{AF}$ 即为所求.
直线的画法一:以点 $P_1$ 的情况为例,如图 5,过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$,垂足为 $C$,延长 $OC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$. 连接 $P_1D$,过点 $A$ 作 $AE // P_1D$,交 $BP_1$ 的延长线于点 $E$. 取 $BE$ 中点 $M$,连接 $DM$,则直线 $DM$ 即为所求.
直线的画法二:以点 $P_1$ 的情况为例. 如图 6,过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$,垂足为 $C$,延长 $OC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$. 过点 $O$ 作 $OM // BD$,交 $BP_1$ 于点 $M$,则直线 $DM$ 即为所求.
直线的画法三:以点 $P_1$ 的情况为例. 如图 7,过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$,垂足为 $C$,延长 $OC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$. 连接 $P_1D$,过点 $C$ 作 $CM // P_1D$,交 $BP_1$ 于点 $M$,则直线 $DM$ 即为所求.
解析
【分析】
首先，由OA=OB、∠AOB=60°可判定△OAB为等边三角形，据此计算其边长、高及△OAB、扇形OAB的面积；其次，分析图形$P-\overset{\frown}{AB}$的面积组成，即该面积等于△PAB的面积加扇形OAB的面积，减去重叠的△OAB的面积，从而推导y与x的函数表达式；接着确定自变量x的范围，P在优弧AB上，到AB的最小距离趋近于0，最大距离为过O垂直AB向上的直径端点到AB的距离；最后，当y=$S_{扇形OAB}$时，解方程得x的值，据此确定P点位置，再思考将图形分成面积相等两部分的方法。
【解析】
(1) 因为OA=OB，∠AOB=60°，AB=2，所以△OAB是等边三角形，故OA=OB=AB=2。
过点O作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理得AC=$\frac{1}{2}$AB=1。在Rt△OAC中，OC=$\sqrt{OA^2 - AC^2}$=$\sqrt{2^2 -1^2}$=$\sqrt{3}$。
因此，$S_{△OAB}$=$\frac{1}{2}$AB·OC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，$S_{扇形OAB}$=$\frac{60}{360}$×π×2²=$\frac{2}{3}$π。
点P到直线AB的距离为x，则$S_{△PAB}$=$\frac{1}{2}$AB·x=x。
图形$P-\overset{\frown}{AB}$的面积y=$S_{△PAB}$+$S_{扇形OAB}$-$S_{△OAB}$=x + $\frac{2}{3}$π - $\sqrt{3}$。
自变量x的取值范围：P在优弧AB上，不与A、B重合，最小距离趋近于0，最大距离为过O作AB的垂线延长交⊙O于D时，D到AB的距离OC+OD=$\sqrt{3}$+2，故0＜x≤2+$\sqrt{3}$。
(2) ① 当y=$S_{扇形OAB}$时，代入得x + $\frac{2}{3}$π - $\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π，解得x=$\sqrt{3}$。尺规作图：作AB的平行线，使其到AB的距离为$\sqrt{3}$，与优弧AB的交点即为所求点P（如图2的P₁或P₂）。
② 面积分割方法（以P₁为例）：
折线法：过点O作OC⊥AB，延长OC交⊙O于D，连接P₁C、CD，折线P₁-C-D将图形分成面积相等的两部分；
弧线法：以点P₁为圆心，P₁A长为半径画弧，交P₁B于点F，$\overset{\frown}{AF}$即为分割线；
直线法：过点O作OC⊥AB，延长OC交⊙O于D，连接P₁D，过点A作AE//P₁D，交BP₁的延长线于点E，取BE中点M，连接DM，直线DM即为分割线。
【答案】
(1) $y = x + \frac{2}{3}π - \sqrt{3}$，自变量x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 2 + \sqrt{3}$；
(2) ① 如图2，点$P_1$（或$P_2$）即为所求；
② 折线、弧线、直线分割方法见解析，对应图如下：
【知识点】
圆的性质、等边三角形、扇形面积计算、图形面积分割
【点评】
本题综合考查圆的相关计算、图形面积的组合推导及尺规作图，需学生理解图形面积的构成，掌握圆的基本性质，注重知识的综合应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先，由OA=OB、∠AOB=60°可判定△OAB为等边三角形，据此计算其边长、高及△OAB、扇形OAB的面积；其次，分析图形$P-\overset{\frown}{AB}$的面积组成，即该面积等于△PAB的面积加扇形OAB的面积，减去重叠的△OAB的面积，从而推导y与x的函数表达式；接着确定自变量x的范围，P在优弧AB上，到AB的最小距离趋近于0，最大距离为过O垂直AB向上的直径端点到AB的距离；最后，当y=$S_{扇形OAB}$时，解方程得x的值，据此确定P点位置，再思考将图形分成面积相等两部分的方法。
【解析】
(1) 因为OA=OB，∠AOB=60°，AB=2，所以△OAB是等边三角形，故OA=OB=AB=2。
过点O作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理得AC=$\frac{1}{2}$AB=1。在Rt△OAC中，OC=$\sqrt{OA^2 - AC^2}$=$\sqrt{2^2 -1^2}$=$\sqrt{3}$。
因此，$S_{△OAB}$=$\frac{1}{2}$AB·OC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，$S_{扇形OAB}$=$\frac{60}{360}$×π×2²=$\frac{2}{3}$π。
点P到直线AB的距离为x，则$S_{△PAB}$=$\frac{1}{2}$AB·x=x。
图形$P-\overset{\frown}{AB}$的面积y=$S_{△PAB}$+$S_{扇形OAB}$-$S_{△OAB}$=x + $\frac{2}{3}$π - $\sqrt{3}$。
自变量x的取值范围：P在优弧AB上，不与A、B重合，最小距离趋近于0，最大距离为过O作AB的垂线延长交⊙O于D时，D到AB的距离OC+OD=$\sqrt{3}$+2，故0＜x≤2+$\sqrt{3}$。
(2) ① 当y=$S_{扇形OAB}$时，代入得x + $\frac{2}{3}$π - $\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π，解得x=$\sqrt{3}$。尺规作图：作AB的平行线，使其到AB的距离为$\sqrt{3}$，与优弧AB的交点即为所求点P（如图2的P₁或P₂）。
② 面积分割方法（以P₁为例）：
折线法：过点O作OC⊥AB，延长OC交⊙O于D，连接P₁C、CD，折线P₁-C-D将图形分成面积相等的两部分；
弧线法：以点P₁为圆心，P₁A长为半径画弧，交P₁B于点F，$\overset{\frown}{AF}$即为分割线；
直线法：过点O作OC⊥AB，延长OC交⊙O于D，连接P₁D，过点A作AE//P₁D，交BP₁的延长线于点E，取BE中点M，连接DM，直线DM即为分割线。
【答案】
(1) $y = x + \frac{2}{3}π - \sqrt{3}$，自变量x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 2 + \sqrt{3}$；
(2) ① 如图2，点$P_1$（或$P_2$）即为所求；
② 折线、弧线、直线分割方法见解析，对应图如下：
【知识点】
圆的性质、等边三角形、扇形面积计算、图形面积分割
【点评】
本题综合考查圆的相关计算、图形面积的组合推导及尺规作图，需学生理解图形面积的构成，掌握圆的基本性质，注重知识的综合应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
