登录
6. 以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程：
已知: 如图,$\odot O$及$\odot O$外一点$P$.
作法: ①连接$OP$,作线段$OP$的垂直平分线$MN$交$OP$于点$T$;
②以点$T$为圆心,$TP$的长为半径作圆,交$\odot O$于点$A$、点$B$;
③作直线$PA$,$PB$.
说明: 连接$AO$.
因为以点$T$为圆心,$TP$的长为半径作圆,所以$OP$为$\odot T$的直径,所以$∠ OAP=$
已知: 如图,$\odot O$及$\odot O$外一点$P$.
作法: ①连接$OP$,作线段$OP$的垂直平分线$MN$交$OP$于点$T$;
②以点$T$为圆心,$TP$的长为半径作圆,交$\odot O$于点$A$、点$B$;
③作直线$PA$,$PB$.
说明: 连接$AO$.
因为以点$T$为圆心,$TP$的长为半径作圆,所以$OP$为$\odot T$的直径,所以$∠ OAP=$
$90$
$°$. 因为$OA$为半径,所以$PA$为$\odot O$的切线
,且$PA$$=$
$PB$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).答案
6. $90$ 切线 $=$
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的核心性质分析：首先根据作法确定OP是⊙T的直径，利用直径所对圆周角的性质得到∠OAP的度数；再依据切线的判定定理判断PA与⊙O的位置关系；最后根据切线长定理得出PA和PB的数量关系。
【解析】
1. 求∠OAP的度数：
由作法可知，OP是⊙T的直径，点A在⊙T上，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得∠OAP = 90°。
2. 判断PA与⊙O的位置：
已知OA是⊙O的半径，且PA⊥OA（∠OAP=90°），根据切线的判定定理，PA为⊙O的切线。
3. 比较PA和PB的大小：
PA、PB都是从圆外一点P引⊙O的两条切线，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，所以PA = PB。
【答案】
90 切线 =
【知识点】
圆周角定理、切线判定、切线长定理
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的基础性质，核心是利用直径的圆周角性质、切线判定定理和切线长定理，需学生理解作图背后的几何原理，属于圆章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合圆的核心性质分析：首先根据作法确定OP是⊙T的直径，利用直径所对圆周角的性质得到∠OAP的度数；再依据切线的判定定理判断PA与⊙O的位置关系；最后根据切线长定理得出PA和PB的数量关系。
【解析】
1. 求∠OAP的度数：
由作法可知，OP是⊙T的直径，点A在⊙T上，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得∠OAP = 90°。
2. 判断PA与⊙O的位置：
已知OA是⊙O的半径，且PA⊥OA（∠OAP=90°），根据切线的判定定理，PA为⊙O的切线。
3. 比较PA和PB的大小：
PA、PB都是从圆外一点P引⊙O的两条切线，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，所以PA = PB。
【答案】
90 切线 =
【知识点】
圆周角定理、切线判定、切线长定理
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的基础性质，核心是利用直径的圆周角性质、切线判定定理和切线长定理，需学生理解作图背后的几何原理，属于圆章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.5
7. 已知锐角$∠ AOB$，如图.
(1) 在射线$OA$上取一点$C$，以点$O$为圆心，$OC$长为半径作$\overset{\frown}{PQ}$，交射线$OB$于点$D$，连接$CD$.
(2) 分别以点$C$，$D$为圆心，$CD$长为半径作弧，交$\overset{\frown}{PQ}$于点$M$，$N$.
(3) 连接$OM$，$MN$.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，所有正确结论的序号是
①$∠ COM=∠ COD$；②若$OM=MN$，则$∠ AOB=30°$；③$MN// CD$；④$MN=3CD$.
(1) 在射线$OA$上取一点$C$，以点$O$为圆心，$OC$长为半径作$\overset{\frown}{PQ}$，交射线$OB$于点$D$，连接$CD$.
(2) 分别以点$C$，$D$为圆心，$CD$长为半径作弧，交$\overset{\frown}{PQ}$于点$M$，$N$.
(3) 连接$OM$，$MN$.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，所有正确结论的序号是
①③
.①$∠ COM=∠ COD$；②若$OM=MN$，则$∠ AOB=30°$；③$MN// CD$；④$MN=3CD$.
答案
7. ①③ 提示:如图,连接 $ON$,$DM$,$CM$,$DN$. 因为 $CM=CD$,所以 $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}$. 所以 $∠ COM=∠ COD$.故①正确. 若 $OM=MN$,由作图知 $OM=ON$,所以 $OM=ON=MN$. 所以 $△ MON$ 是等边三角形. 所以 $∠ MON=60°$. 因为 $CM=CD=DN$,所以 $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$. 所以 $∠ AOB=\dfrac{1}{3}∠ MON=20°$. 故②错误. 因为 $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{DN}$,所以 $∠ CDM=∠ DMN$. 所以 $MN // CD$. 故③正确. 因为 $CM=CD=DN$,$CM+CD+DN＞MN$,所以 $MN＜3CD$. 综上所述,正确的是①③.
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需结合尺规作图的条件，利用圆的性质、平行线判定、等边三角形性质分析。首先明确作图得到的等量关系：以O为圆心作弧，故OC=OD=OM=ON；以C、D为圆心，CD长为半径作弧，得CM=CD=DN。再逐个推导每个结论：
1. 对①，利用同圆中相等的弦对应相等的圆心角判断；
2. 对②，若OM=MN，结合OM=ON得等边三角形，再由CM=CD=DN得弧相等，进而求∠AOB；
3. 对③，利用等弧对应的内错角相等，判定两直线平行；
4. 对④，结合弦长的关系，利用三角形三边关系判断MN与3CD的大小。
【解析】
连接CM、DN、OM、ON。
1. 由作图可知，CM=CD，且OC=OD=OM（同圆半径相等），在⊙O中，相等的弦所对的圆心角相等，故∠COM=∠COD，因此①正确；
2. 若OM=MN，由作图知OM=ON（同圆半径相等），则OM=ON=MN，△MON为等边三角形，故∠MON=60°。又因为CM=CD=DN，所以弧CM=弧CD=弧DN，对应圆心角相等，即∠COM=∠COD=∠DON，因此∠AOB=∠COD=60°÷3=20°≠30°，故②错误；
3. 因为弧CM=弧DN，所以对应的内错角∠CDM=∠DMN，根据内错角相等，两直线平行，可得MN//CD，故③正确；
4. 由作图得CM=CD=DN，根据三角形三边关系，CM+CD+DN＞MN，即3CD＞MN，故④错误。
综上，正确结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
圆的基本性质、平行线的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题以尺规作图为背景，综合考查圆的弦、弧、圆心角的关系，以及平行线、等边三角形的判定，需要学生熟练掌握相关几何性质，逐步推导每个结论，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
要判断各结论是否正确，需结合尺规作图的条件，利用圆的性质、平行线判定、等边三角形性质分析。首先明确作图得到的等量关系：以O为圆心作弧，故OC=OD=OM=ON；以C、D为圆心，CD长为半径作弧，得CM=CD=DN。再逐个推导每个结论：
1. 对①，利用同圆中相等的弦对应相等的圆心角判断；
2. 对②，若OM=MN，结合OM=ON得等边三角形，再由CM=CD=DN得弧相等，进而求∠AOB；
3. 对③，利用等弧对应的内错角相等，判定两直线平行；
4. 对④，结合弦长的关系，利用三角形三边关系判断MN与3CD的大小。
【解析】
连接CM、DN、OM、ON。
1. 由作图可知，CM=CD，且OC=OD=OM（同圆半径相等），在⊙O中，相等的弦所对的圆心角相等，故∠COM=∠COD，因此①正确；
2. 若OM=MN，由作图知OM=ON（同圆半径相等），则OM=ON=MN，△MON为等边三角形，故∠MON=60°。又因为CM=CD=DN，所以弧CM=弧CD=弧DN，对应圆心角相等，即∠COM=∠COD=∠DON，因此∠AOB=∠COD=60°÷3=20°≠30°，故②错误；
3. 因为弧CM=弧DN，所以对应的内错角∠CDM=∠DMN，根据内错角相等，两直线平行，可得MN//CD，故③正确；
4. 由作图得CM=CD=DN，根据三角形三边关系，CM+CD+DN＞MN，即3CD＞MN，故④错误。
综上，正确结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
圆的基本性质、平行线的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题以尺规作图为背景，综合考查圆的弦、弧、圆心角的关系，以及平行线、等边三角形的判定，需要学生熟练掌握相关几何性质，逐步推导每个结论，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
8. (2025 南京市期中) 如图,用直尺和圆规作出圆的圆心.(要求:保留作图的痕迹,写出必要的文字说明)
答案
8. 解:①在圆上任取三点 $A$,$B$,$C$,连接 $AB$,$BC$.②分别作 $AB$,$BC$ 的中垂线,交于点 $O$,则点 $O$ 即为所求.
解析
【分析】要确定圆的圆心，需利用圆的性质：圆的圆心是圆中任意两条弦的垂直平分线的交点。解题时先在圆上取不共线的三点，连接两点得到两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，作图时要保留作垂直平分线的痕迹。
【解析】
步骤如下：
1. 在圆上任取三个不共线的点A、B、C，连接AB、BC；
2. 用直尺和圆规分别作出线段AB的垂直平分线，以及线段BC的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，保留作图过程中作垂直平分线的弧的痕迹。
【答案】8. 解:①在圆上任取三点 $A$,$B$,$C$,连接 $AB$,$BC$.②分别作 $AB$,$BC$ 的中垂线,交于点 $O$,则点 $O$ 即为所求.
【知识点】圆的圆心确定、线段垂直平分线
【点评】本题考查利用线段垂直平分线的性质确定圆的圆心，属于基础作图题，需掌握圆的圆心与弦垂直平分线的对应关系。
【难度系数】0.6
【解析】
步骤如下：
1. 在圆上任取三个不共线的点A、B、C，连接AB、BC；
2. 用直尺和圆规分别作出线段AB的垂直平分线，以及线段BC的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，保留作图过程中作垂直平分线的弧的痕迹。
【答案】8. 解:①在圆上任取三点 $A$,$B$,$C$,连接 $AB$,$BC$.②分别作 $AB$,$BC$ 的中垂线,交于点 $O$,则点 $O$ 即为所求.
【知识点】圆的圆心确定、线段垂直平分线
【点评】本题考查利用线段垂直平分线的性质确定圆的圆心，属于基础作图题，需掌握圆的圆心与弦垂直平分线的对应关系。
【难度系数】0.6
9. 已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的一条弦，$P$ 是 $\odot O$ 内一点，在下列情形时，分别经过点 $P$ 作一条弦$CD$，使 $CD=AB$。
(1) 如图 1，点 $P$ 在 $AB$ 上。
(2) 如图 2，点 $P$ 不在 $AB$ 上。
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
(1) 如图 1，点 $P$ 在 $AB$ 上。
(2) 如图 2，点 $P$ 不在 $AB$ 上。
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
答案
9. 解:(1) 方法不唯一. 如图 1,以点 $P$ 为圆心,$PB$ 的长为半径画弧交 $\odot O$ 于点 $C$,作直线 $CP$ 交 $\odot O$ 于另一点 $D$,则 $CD$ 即为所求.
(2) 方法不唯一. 如图 2,以点 $O$ 为圆心,$OP$ 的长为半径画弧,交线段 $AB$ 于点 $M$;以点 $P$ 为圆心,$AM$ 的长为半径画弧,交 $\odot O$ 于点 $C$;作射线 $CP$ 交 $\odot O$ 于另一点 $D$,则 $CD$ 为所求.
如图 3,先作小 $\odot O$ 与 $AB$ 相切;再以 $OP$ 为直径作半圆,并作线段 $OP$ 的中垂线交半圆于一点;连接该点与点 $P$ 并延长交大 $\odot O$ 于点 $C$,$D$,则 $CD$ 为所求.
如图 4,以点 $O$ 为圆心,$OP$ 为半径画弧交 $AB$ 于一点;分别以该点与点 $P$ 为圆心,适当长度为半径,画弧交于第二点;作连接 $O$ 与第二点的直线,交 $BA$ 的延长线于第三点;作连接第三点与点 $P$ 的直线交 $\odot O$ 于点 $C$,$D$,则 $CD$ 为所求.
解析
【分析】
本题需要根据点P与AB的位置关系，利用圆的弦长性质进行尺规作图。对于(1)，点P在AB上，通过以P为圆心、PB为半径画弧构造相等线段，进而得到等长弦；对于(2)，点P不在AB上，需结合圆的半径、弦长的关系，通过辅助点构造相等线段，最终得到与AB等长的弦CD。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交$\odot O$于点C；
② 作直线CP，交$\odot O$于另一点D，则CD即为所求。
(2) 作图步骤（选取其中一种方法）：
① 以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交线段AB于点M；
② 以点P为圆心，AM的长为半径画弧，交$\odot O$于点C；
③ 作射线CP，交$\odot O$于另一点D，则CD即为所求。
【答案】
9. 解:(1) 方法不唯一. 如图 1,以点 $P$ 为圆心,$PB$ 的长为半径画弧交 $\odot O$ 于点 $C$,作直线 $CP$ 交 $\odot O$ 于另一点 $D$,则 $CD$ 即为所求.
(2) 方法不唯一. 如图 2,以点 $O$ 为圆心,$OP$ 的长为半径画弧,交线段 $AB$ 于点 $M$;以点 $P$ 为圆心,$AM$ 的长为半径画弧,交 $\odot O$ 于点 $C$;作射线 $CP$ 交 $\odot O$ 于另一点 $D$,则 $CD$ 为所求.
【知识点】
尺规作图、圆的弦的性质
【点评】
本题结合圆的弦长相等的性质，针对点P的不同位置设计尺规作图方法，考查几何作图的灵活性与对圆的性质的应用能力，属于基础几何作图题。
【难度系数】
0.5
本题需要根据点P与AB的位置关系，利用圆的弦长性质进行尺规作图。对于(1)，点P在AB上，通过以P为圆心、PB为半径画弧构造相等线段，进而得到等长弦；对于(2)，点P不在AB上，需结合圆的半径、弦长的关系，通过辅助点构造相等线段，最终得到与AB等长的弦CD。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交$\odot O$于点C；
② 作直线CP，交$\odot O$于另一点D，则CD即为所求。
(2) 作图步骤（选取其中一种方法）：
① 以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交线段AB于点M；
② 以点P为圆心，AM的长为半径画弧，交$\odot O$于点C；
③ 作射线CP，交$\odot O$于另一点D，则CD即为所求。
【答案】
9. 解:(1) 方法不唯一. 如图 1,以点 $P$ 为圆心,$PB$ 的长为半径画弧交 $\odot O$ 于点 $C$,作直线 $CP$ 交 $\odot O$ 于另一点 $D$,则 $CD$ 即为所求.
(2) 方法不唯一. 如图 2,以点 $O$ 为圆心,$OP$ 的长为半径画弧,交线段 $AB$ 于点 $M$;以点 $P$ 为圆心,$AM$ 的长为半径画弧,交 $\odot O$ 于点 $C$;作射线 $CP$ 交 $\odot O$ 于另一点 $D$,则 $CD$ 为所求.
【知识点】
尺规作图、圆的弦的性质
【点评】
本题结合圆的弦长相等的性质，针对点P的不同位置设计尺规作图方法，考查几何作图的灵活性与对圆的性质的应用能力，属于基础几何作图题。
【难度系数】
0.5
