6.【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内(顶点不在圆心)的角，命名为“圆内角”. 如图 1，$∠ APC,∠ BPD$ 是“圆内角”，所对的弧分别是 $\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{BD}$，“圆内角”的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？
【问题解决】小明想到了将 $∠ APC$ 转化为学过的两种角，即“圆周角”和“圆心角”.

(1) 如图 1，在 $\odot O$ 中，弦 $AB,CD$ 相交于点 $P$，若 $\overset{\frown}{AC}$ 的度数是 $60°,\overset{\frown}{BD}$ 的度数是 $80°$，则 $∠ APD$ 的度数是.
【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为“圆外角”，“圆外角”的大小呢？
(2) 如图 3，$P$ 是 $\odot O$ 外一点，点 $A,C$ 在圆上，连接 $PA,PC$，分别与 $\odot O$ 相交于点 $B,D$，试探索 $∠ APC$ 的度数与 $\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{BD}$ 的度数之间的关系，并说明理由.
【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题.
(3) 如图 4，在平面直角坐标系中，点$A(-\sqrt{3},1)$ 在 $\odot O$ 上，$B,C$ 是线段 $OM$ 上的两个动点，且 $AB=AC$，延长 $AB$，$AC$ 分别与 $\odot O$ 相交于点 $D,E$，延长$DE$ 交 $y$ 轴于点 $F$，试探究 $∠ DFO$ 的度数是否变化. 如果不变，请说明理由并求出它的度数.

解:(1) $110°$ 提示:因为$\overset{\frown}{AC}$的度数是$60°$,$\overset{\frown}{BD}$的度数是$80°$,所以$∠ APC=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC}的度数+\overset{\frown}{BD}的度数)=\frac{1}{2}(60°+80°)=70°$,所以$∠ APD=180°-∠ APC=110°$.
(2) $∠ APC$的度数$=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC}的度数-\overset{\frown}{BD}的度数)$.理由如下:

如图1,连接$BC$,$OA$,$OC$,$OB$,$OD$.因为$∠ APC=∠ ABC-∠ PCB$,$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC$,$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ BOD$,所以$∠ APC=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOD)$,即$∠ APC$的度数$=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC}的度数-\overset{\frown}{BD}的度数)$.
(3) $∠ DFO$的度数不变.理由如下:

如图2,连接$OA$,记$\odot O$与$x$轴负半轴的交点为$P$,与$y$轴负半轴的交点为$N$.因为$AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ ACB$,所以$\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AM}的度数+\overset{\frown}{DN}的度数)=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AN}的度数+\overset{\frown}{ME}的度数)$,所以$\overset{\frown}{AM}的度数+\overset{\frown}{DN}的度数=\overset{\frown}{AN}的度数+\overset{\frown}{ME}的度数$,所以$\overset{\frown}{DN}的度数-\overset{\frown}{ME}的度数=\overset{\frown}{AN}的度数-\overset{\frown}{AM}的度数$.因为$∠ DFO$的度数$=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{DN}的度数-\overset{\frown}{ME}的度数)$,所以$∠ DFO$的度数$=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AN}的度数-\overset{\frown}{AM}的度数)=\frac{1}{2}(∠ AON-∠ AOM)$,故$∠ DFO$的度数为定值.因为点$A(-\sqrt{3},1)$,所以$∠ AOP=30°$,所以$∠ AON=90°+30°=120°$,$∠ AOM=90°-30°=60°$,所以$∠ DFO=\frac{1}{2}×(120°-60°)=30°$.

【分析】
本题围绕“圆内角”“圆外角”的性质展开探究，核心是利用圆周角定理（圆周角的度数等于所对弧度数的一半）推导角与弧的关系，再结合邻补角、等腰三角形性质解决问题。步骤如下：
1. 第(1)问：利用圆内角的性质（圆内角等于所对两弧度数和的一半），结合邻补角关系求∠APD；
2. 第(2)问：通过连接辅助线，将圆外角转化为两个圆周角的差，推导圆外角与所对弧的关系；
3. 第(3)问：利用AB=AC得角相等，结合圆外角性质转化∠DFO，再通过点A的坐标计算角度，判断∠DFO为定值。
【解析】
(1) 根据圆内角的性质：圆内角的度数等于它所对两条弧度数和的一半，得∠APC = $\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC}的度数+\overset{\frown}{BD}的度数)=\frac{1}{2}(60°+80°)=70°$，又∠APD与∠APC互补，故∠APD=180°-70°=110°。
(2) 结论：$∠ APC$的度数=$\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC}的度数-\overset{\frown}{BD}的度数)$。理由：如图1，连接BC，由圆周角定理得$∠ ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}的度数$，$∠ PCB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}的度数$；又$∠ ABC$是$△ PBC$的外角，故$∠ ABC=∠ APC+∠ PCB$，因此$∠ APC=∠ ABC-∠ PCB=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC}的度数-\overset{\frown}{BD}的度数)$。
(3) $∠ DFO$的度数不变，为30°。理由：如图2，连接OA，记$\odot O$与x轴负半轴交点为P，y轴负半轴交点为N。因为AB=AC，所以$∠ ABC=∠ ACB$；根据圆外角性质，$∠ ABC=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AM}的度数+\overset{\frown}{DN}的度数)$，$∠ ACB=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AN}的度数+\overset{\frown}{ME}的度数)$，故$\overset{\frown}{AM}的度数+\overset{\frown}{DN}的度数=\overset{\frown}{AN}的度数+\overset{\frown}{ME}的度数$，整理得$\overset{\frown}{DN}的度数-\overset{\frown}{ME}的度数=\overset{\frown}{AN}的度数-\overset{\frown}{AM}的度数$；由圆外角性质，$∠ DFO=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{DN}的度数-\overset{\frown}{ME}的度数)=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AN}的度数-\overset{\frown}{AM}的度数)$。点$A(-\sqrt{3},1)$，计算得$∠ AOP=30°$，故$∠ AON=90°+30°=120°$，$∠ AOM=90°-30°=60°$，因此$∠ DFO=\frac{1}{2}(120°-60°)=30°$。
【答案】
(1) $110°$；
(2) $∠ APC$的度数=$\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC}的度数-\overset{\frown}{BD}的度数)$，理由见解析；
(3) $∠ DFO$的度数不变，为$30°$。


【知识点】
圆周角定理，圆外角性质，坐标与圆的综合
【点评】
本题是探究性几何题，从定义出发推导圆内角、圆外角的性质，考查圆周角定理的灵活运用，将几何性质与坐标系结合，需要学生具备转化思想和逻辑推导能力，综合性较强。
【难度系数】
0.5