登录
一、选择题
1. 下列方程中,不是分式方程的是 (
A.$\dfrac{2}{2x + 1}=3$
B.$\dfrac{b}{3x - a}=2$
C.$\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{5}=2$
D.$\dfrac{1}{3x}=\dfrac{2}{2 + x}$
1. 下列方程中,不是分式方程的是 (
C
)A.$\dfrac{2}{2x + 1}=3$
B.$\dfrac{b}{3x - a}=2$
C.$\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{5}=2$
D.$\dfrac{1}{3x}=\dfrac{2}{2 + x}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题的核心是先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个判断四个选项的方程分母是否含有未知数，找到分母不含未知数的选项即可得到答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，对各选项逐一分析：
A. 方程$\dfrac{2}{2x + 1}=3$的分母为$2x+1$，含有未知数$x$，属于分式方程；
B. 方程$\dfrac{b}{3x - a}=2$的分母为$3x-a$，含有未知数$x$，属于分式方程；
C. 方程$\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{5}=2$的分母为2和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
D. 方程$\dfrac{1}{3x}=\dfrac{2}{2 + x}$的分母为$3x$和$2+x$，均含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，不是分式方程的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住分式方程的判定核心：分母中是否含有未知数，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题的核心是先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个判断四个选项的方程分母是否含有未知数，找到分母不含未知数的选项即可得到答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，对各选项逐一分析：
A. 方程$\dfrac{2}{2x + 1}=3$的分母为$2x+1$，含有未知数$x$，属于分式方程；
B. 方程$\dfrac{b}{3x - a}=2$的分母为$3x-a$，含有未知数$x$，属于分式方程；
C. 方程$\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{5}=2$的分母为2和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
D. 方程$\dfrac{1}{3x}=\dfrac{2}{2 + x}$的分母为$3x$和$2+x$，均含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，不是分式方程的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住分式方程的判定核心：分母中是否含有未知数，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.若关于x的分式方程$\frac{m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$的解是非负数，则m的取值范围是（
A.$m≥ -4$
B.$m≥ -4$且$m≠ -3$
C.$m≥ 2$且$m≠ 3$
D.$m≥ 2$
B
）A.$m≥ -4$
B.$m≥ -4$且$m≠ -3$
C.$m≥ 2$且$m≠ 3$
D.$m≥ 2$
答案
2.B
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需要解这个分式方程，用含m的代数式表示x，再根据“解是非负数”得到x≥0，同时要注意分式方程的分母不能为0（否则原方程无意义），即x≠1，结合这两个条件列不等式求解即可。
【解析】
首先对原方程变形，将$\frac{3}{1-x}$转化为$\frac{3}{x-1}$的形式：
原方程$\frac{m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$可化为：
$\frac{m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则分母为0，方程无意义），去分母得：
$m + 3 = x - 1$
解得：$x = m + 4$
因为方程的解是非负数，所以$x≥0$，即：
$m + 4 ≥ 0$，解得$m ≥ -4$
又因为分母不能为0，即$x≠1$，所以：
$m + 4 ≠ 1$，解得$m ≠ -3$
综上，m的取值范围是$m≥ -4$且$m≠ -3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程求解、一元一次不等式、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合基础题，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的限制，导致漏算$m≠-3$的条件，解分式方程时一定要记得检验增根。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值范围，首先需要解这个分式方程，用含m的代数式表示x，再根据“解是非负数”得到x≥0，同时要注意分式方程的分母不能为0（否则原方程无意义），即x≠1，结合这两个条件列不等式求解即可。
【解析】
首先对原方程变形，将$\frac{3}{1-x}$转化为$\frac{3}{x-1}$的形式：
原方程$\frac{m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$可化为：
$\frac{m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则分母为0，方程无意义），去分母得：
$m + 3 = x - 1$
解得：$x = m + 4$
因为方程的解是非负数，所以$x≥0$，即：
$m + 4 ≥ 0$，解得$m ≥ -4$
又因为分母不能为0，即$x≠1$，所以：
$m + 4 ≠ 1$，解得$m ≠ -3$
综上，m的取值范围是$m≥ -4$且$m≠ -3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程求解、一元一次不等式、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合基础题，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的限制，导致漏算$m≠-3$的条件，解分式方程时一定要记得检验增根。
【难度系数】
0.6
3. 若关于$x$的方程$\dfrac{x-4}{x-5} - 3 = \dfrac{a}{x-5}$有增根，则增根为（
A.$x=6$
B.$x=5$
C.$x=4$
D.$x=3$
B
）A.$x=6$
B.$x=5$
C.$x=4$
D.$x=3$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决本题，需先明确分式方程增根的定义：分式方程的增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根，因此增根一定满足原方程的最简公分母为0。本题只需找到原方程的最简公分母，令其等于0，即可直接求出增根。
【解析】
分式方程的增根会使原方程的最简公分母为0。
观察原方程，两个分母均为$x-5$，即最简公分母为$x-5$。
令$x-5=0$，解得$x=5$，因此该方程的增根为$x=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题无需解完整的分式方程，只需牢记增根的核心性质：增根使原分式方程的最简公分母为0，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需先明确分式方程增根的定义：分式方程的增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根，因此增根一定满足原方程的最简公分母为0。本题只需找到原方程的最简公分母，令其等于0，即可直接求出增根。
【解析】
分式方程的增根会使原方程的最简公分母为0。
观察原方程，两个分母均为$x-5$，即最简公分母为$x-5$。
令$x-5=0$，解得$x=5$，因此该方程的增根为$x=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题无需解完整的分式方程，只需牢记增根的核心性质：增根使原分式方程的最简公分母为0，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.若$\frac{2}{3-x}$与$\frac{3}{x+1}$的值互为相反数，则$x$的值是 （
A.3
B.5
C.7
D.11
D
）A.3
B.5
C.7
D.11
答案
4.D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，根据互为相反数的两个数和为0的性质，列出关于x的分式方程；其次，按照分式方程的求解步骤，去分母将其转化为整式方程求解；最后，检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根，得到正确结果。
【解析】
解：
∵$\frac{2}{3-x}$与$\frac{3}{x+1}$互为相反数
∴根据相反数的性质可列方程：
$\frac{2}{3-x}+\frac{3}{x+1}=0$
方程两边同时乘以最简公分母$(3-x)(x+1)$，去分母得：
$2(x+1)+3(3-x)=0$
展开括号：
$2x+2+9-3x=0$
合并同类项：
$-x+11=0$
解得：$x=11$
检验：将$x=11$代入原方程分母，$3-x=3-11=-8≠0$，$x+1=11+1=12≠0$，分母均不为0，所以$x=11$是原方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1.相反数的性质 2.分式方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心是利用相反数的性质构建方程，求解后注意要检验分式方程的根是否为增根，这是解分式方程的必要步骤，也是易失分点。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先，根据互为相反数的两个数和为0的性质，列出关于x的分式方程；其次，按照分式方程的求解步骤，去分母将其转化为整式方程求解；最后，检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根，得到正确结果。
【解析】
解：
∵$\frac{2}{3-x}$与$\frac{3}{x+1}$互为相反数
∴根据相反数的性质可列方程：
$\frac{2}{3-x}+\frac{3}{x+1}=0$
方程两边同时乘以最简公分母$(3-x)(x+1)$，去分母得：
$2(x+1)+3(3-x)=0$
展开括号：
$2x+2+9-3x=0$
合并同类项：
$-x+11=0$
解得：$x=11$
检验：将$x=11$代入原方程分母，$3-x=3-11=-8≠0$，$x+1=11+1=12≠0$，分母均不为0，所以$x=11$是原方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1.相反数的性质 2.分式方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心是利用相反数的性质构建方程，求解后注意要检验分式方程的根是否为增根，这是解分式方程的必要步骤，也是易失分点。
【难度系数】
0.8
5.某化工厂要购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类。用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元。设甲型机器人每台$x$万元，根据题意，所列方程正确的是（
A.$\frac{360}{x}=\frac{480}{140 - x}$
B.$\frac{360}{140 - x}=\frac{480}{x}$
C.$\frac{360}{x}+\frac{480}{x}=140$
D.$\frac{360}{x}-140=\frac{480}{x}$
A
）A.$\frac{360}{x}=\frac{480}{140 - x}$
B.$\frac{360}{140 - x}=\frac{480}{x}$
C.$\frac{360}{x}+\frac{480}{x}=140$
D.$\frac{360}{x}-140=\frac{480}{x}$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先梳理题目已知条件：①设甲型机器人每台x万元，两种型号机器人单价和为140万元；②360万元购买甲型机器人的台数和480万元购买乙型机器人的台数相同。首先根据单价和推出乙型机器人的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种机器人的购买数量，最后根据“台数相同”的等量关系列出方程即可。
【解析】
步骤1：表示乙型机器人的单价
已知甲型机器人单价为x万元，两种型号单价和为140万元，因此乙型机器人每台$(140-x)$万元。
步骤2：分别表示两种机器人的购买台数
根据“数量=总价÷单价”可得：
购买甲型机器人的台数为$\frac{360}{x}$台；
购买乙型机器人的台数为$\frac{480}{140-x}$台。
步骤3：根据等量关系列方程
已知两种购买方式的台数相同，因此可列方程：$\frac{360}{x}=\frac{480}{140 - x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用，单价数量总价关系
【点评】
本题是分式方程应用的常见基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，正确表示出各个未知量，即可快速列出对应方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题目已知条件：①设甲型机器人每台x万元，两种型号机器人单价和为140万元；②360万元购买甲型机器人的台数和480万元购买乙型机器人的台数相同。首先根据单价和推出乙型机器人的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种机器人的购买数量，最后根据“台数相同”的等量关系列出方程即可。
【解析】
步骤1：表示乙型机器人的单价
已知甲型机器人单价为x万元，两种型号单价和为140万元，因此乙型机器人每台$(140-x)$万元。
步骤2：分别表示两种机器人的购买台数
根据“数量=总价÷单价”可得：
购买甲型机器人的台数为$\frac{360}{x}$台；
购买乙型机器人的台数为$\frac{480}{140-x}$台。
步骤3：根据等量关系列方程
已知两种购买方式的台数相同，因此可列方程：$\frac{360}{x}=\frac{480}{140 - x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用，单价数量总价关系
【点评】
本题是分式方程应用的常见基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，正确表示出各个未知量，即可快速列出对应方程。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，$y_1,y_2$分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程$s$(单位:km)与所需费用$y$(单位:元)的关系，已知纯电动汽车每千米所需费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为$x$元，可列方程为 (
A.$\dfrac{36}{x} = \dfrac{9}{x - 0.54}$
B.$\dfrac{36}{x - 0.54} = \dfrac{9}{x}$
C.$\dfrac{36}{x + 0.54} = \dfrac{9}{x}$
D.$\dfrac{36}{x} = \dfrac{9}{x + 0.54}$
y/元
36
9
O
s/km
$y_1$
$y_2$
C
)A.$\dfrac{36}{x} = \dfrac{9}{x - 0.54}$
B.$\dfrac{36}{x - 0.54} = \dfrac{9}{x}$
C.$\dfrac{36}{x + 0.54} = \dfrac{9}{x}$
D.$\dfrac{36}{x} = \dfrac{9}{x + 0.54}$
y/元
36
9
O
s/km
$y_1$
$y_2$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先梳理两个核心关系：①费用关系：已知纯电动汽车每千米费用为x元，纯电动每千米费用比燃油汽车少0.54元，因此燃油汽车每千米费用为(x+0.54)元；②图像隐含关系：从函数图像可得，当两种车行驶的路程相等时，燃油汽车总花费36元，纯电动汽车总花费9元。再结合“路程=总费用÷每千米费用”的公式，利用路程相等即可列方程。
【解析】
解：设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为$(x+0.54)$元。
由图像可知，两种车行驶路程相同时，燃油汽车总费用为36元，纯电动汽车总费用为9元。
根据路程计算公式：$\mathrm{行驶路程}=\dfrac{\mathrm{总费用}}{\mathrm{每千米所需费用}}$，可得：
燃油汽车行驶路程为$\dfrac{36}{x+0.54}$ km，纯电动汽车行驶路程为$\dfrac{9}{x}$ km。
因为两者行驶路程相等，因此列方程为$\dfrac{36}{x+0.54}=\dfrac{9}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列分式方程，一次函数图像应用，行程数量关系
【点评】
本题结合函数图像考查方程的实际列法，解题关键是从图像中提取出“相同路程下两类车的总费用”这一隐含条件，注意理清两种车每千米费用的大小关系，避免搞反加减号。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理两个核心关系：①费用关系：已知纯电动汽车每千米费用为x元，纯电动每千米费用比燃油汽车少0.54元，因此燃油汽车每千米费用为(x+0.54)元；②图像隐含关系：从函数图像可得，当两种车行驶的路程相等时，燃油汽车总花费36元，纯电动汽车总花费9元。再结合“路程=总费用÷每千米费用”的公式，利用路程相等即可列方程。
【解析】
解：设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为$(x+0.54)$元。
由图像可知，两种车行驶路程相同时，燃油汽车总费用为36元，纯电动汽车总费用为9元。
根据路程计算公式：$\mathrm{行驶路程}=\dfrac{\mathrm{总费用}}{\mathrm{每千米所需费用}}$，可得：
燃油汽车行驶路程为$\dfrac{36}{x+0.54}$ km，纯电动汽车行驶路程为$\dfrac{9}{x}$ km。
因为两者行驶路程相等，因此列方程为$\dfrac{36}{x+0.54}=\dfrac{9}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列分式方程，一次函数图像应用，行程数量关系
【点评】
本题结合函数图像考查方程的实际列法，解题关键是从图像中提取出“相同路程下两类车的总费用”这一隐含条件，注意理清两种车每千米费用的大小关系，避免搞反加减号。
【难度系数】
0.7
