登录
二、填空题
7. 方程$\dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{5}{2x + 1}$的解为________。
7. 方程$\dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{5}{2x + 1}$的解为________。
答案
7.$x=2$
解析
【分析】
本题是分式方程求解类题目，解题思路如下：首先确定方程中两个分母的最简公分母，给方程两边同时乘最简公分母去掉分母，将分式方程转化为已经学过的一元一次方程，解出一元一次方程的解后，再代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若为0则是增根需要舍去。
【解析】
第一步，确定最简公分母：方程两个分母为$x-1$和$2x+1$，最简公分母为$(x-1)(2x+1)$。
第二步，去分母：给方程两边同时乘$(x-1)(2x+1)$，得：
$2x+1 = 5(x-1)$
第三步，解一元一次方程：
展开右边得：$2x+1 = 5x - 5$
移项得：$2x - 5x = -5 -1$
合并同类项得：$-3x = -6$
系数化为1得：$x=2$
第四步，检验：将$x=2$代入最简公分母$(x-1)(2x+1)$，得$(2-1)×(2×2+1)=1×5=5≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
$x=2$
【知识点】
分式方程解法、一元一次方程解法、分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，解题的关键是掌握“去分母转化为整式方程”的转化思想，注意解分式方程必须检验，防止增根导致解题错误。
【难度系数】
0.85
本题是分式方程求解类题目，解题思路如下：首先确定方程中两个分母的最简公分母，给方程两边同时乘最简公分母去掉分母，将分式方程转化为已经学过的一元一次方程，解出一元一次方程的解后，再代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若为0则是增根需要舍去。
【解析】
第一步，确定最简公分母：方程两个分母为$x-1$和$2x+1$，最简公分母为$(x-1)(2x+1)$。
第二步，去分母：给方程两边同时乘$(x-1)(2x+1)$，得：
$2x+1 = 5(x-1)$
第三步，解一元一次方程：
展开右边得：$2x+1 = 5x - 5$
移项得：$2x - 5x = -5 -1$
合并同类项得：$-3x = -6$
系数化为1得：$x=2$
第四步，检验：将$x=2$代入最简公分母$(x-1)(2x+1)$，得$(2-1)×(2×2+1)=1×5=5≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
$x=2$
【知识点】
分式方程解法、一元一次方程解法、分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，解题的关键是掌握“去分母转化为整式方程”的转化思想，注意解分式方程必须检验，防止增根导致解题错误。
【难度系数】
0.85
8.已知当$x=-2$时，分式$\dfrac{x - b}{x + a}$无意义，当$x=4$时，此分式的值为0，则$a+b=$
6
。答案
8.6
解析
【分析】
解题时首先要明确分式的两个核心性质：一是分式无意义的条件为分母等于0，二是分式值为0的条件为分子等于0且分母不等于0。我们可以先利用x=-2时分式无意义的条件求出a的值，再利用x=4时分式值为0的条件求出b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
1. 求a的值：
当x=-2时分式无意义，说明此时分母为0，代入得：
$-2 + a = 0$
解得$a=2$
2. 求b的值：
当x=4时分式的值为0，说明此时分子为0且分母不为0，代入分子得：
$4 - b = 0$
解得$b=4$
验证分母：将x=4、a=2代入分母得$4+2=6≠0$，符合分式值为0的条件。
3. 计算a+b：
$a+b=2+4=6$
【答案】
6
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题属于分式基础概念考查题，解题关键是牢记分式相关的性质，区分开分式无意义、值为0分别对应的判定规则，计算难度低，掌握概念即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确分式的两个核心性质：一是分式无意义的条件为分母等于0，二是分式值为0的条件为分子等于0且分母不等于0。我们可以先利用x=-2时分式无意义的条件求出a的值，再利用x=4时分式值为0的条件求出b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
1. 求a的值：
当x=-2时分式无意义，说明此时分母为0，代入得：
$-2 + a = 0$
解得$a=2$
2. 求b的值：
当x=4时分式的值为0，说明此时分子为0且分母不为0，代入分子得：
$4 - b = 0$
解得$b=4$
验证分母：将x=4、a=2代入分母得$4+2=6≠0$，符合分式值为0的条件。
3. 计算a+b：
$a+b=2+4=6$
【答案】
6
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题属于分式基础概念考查题，解题关键是牢记分式相关的性质，区分开分式无意义、值为0分别对应的判定规则，计算难度低，掌握概念即可得分。
【难度系数】
0.8
9. 若关于 x 的方程$\frac{x+1}{x-1} + 2 = \frac{a}{x-1}$无解,则 a 的值是
2
。答案
9.2
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两类情形：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。本题中原方程分母为x-1，因此增根只能是x=1，先将分式方程去分母转化为整式方程，再结合无解的条件代入计算即可得到a的值。
【解析】
解：原方程分母为x-1，要使分式有意义则x≠1，因此方程若存在增根，增根为x=1。
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，去分母得：
$x+1 + 2(x-1) = a$
展开并整理左边：
$x+1 + 2x - 2 = 3x - 1$
因此整式方程为：$3x - 1 = a$，解得$x=\frac{a+1}{3}$
由于原分式方程无解，说明整式方程的解为原方程的增根（本题整式方程为一元一次方程，必有实数解，因此仅需考虑增根情况）
令$x=\frac{a+1}{3}=1$，解得：
$a+1=3$
$a=2$
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型题型，核心考查分式方程无解的条件，解题时需先确定可能的增根，再将增根代入去分母后的整式方程即可求出参数值，熟练掌握增根的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两类情形：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。本题中原方程分母为x-1，因此增根只能是x=1，先将分式方程去分母转化为整式方程，再结合无解的条件代入计算即可得到a的值。
【解析】
解：原方程分母为x-1，要使分式有意义则x≠1，因此方程若存在增根，增根为x=1。
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，去分母得：
$x+1 + 2(x-1) = a$
展开并整理左边：
$x+1 + 2x - 2 = 3x - 1$
因此整式方程为：$3x - 1 = a$，解得$x=\frac{a+1}{3}$
由于原分式方程无解，说明整式方程的解为原方程的增根（本题整式方程为一元一次方程，必有实数解，因此仅需考虑增根情况）
令$x=\frac{a+1}{3}=1$，解得：
$a+1=3$
$a=2$
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型题型，核心考查分式方程无解的条件，解题时需先确定可能的增根，再将增根代入去分母后的整式方程即可求出参数值，熟练掌握增根的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.下面是小奇同学计算$\frac{m+1}{m-1} - \frac{4m}{m^2 -1}$的过程,其中错误的是第
原式 = $\frac{(m+1)^2}{(m+1)(m-1)} - \frac{4m}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第一步
= $\frac{m^2 +2m +1 -4m}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第二步
= $\frac{m^2 -2m +1}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第三步
= $\frac{(m-1)^2}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第四步
= $\frac{2}{m+1}$。 ……………………第五步
五
步,正确的化简结果是$\frac{m-1}{m+1}$
。原式 = $\frac{(m+1)^2}{(m+1)(m-1)} - \frac{4m}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第一步
= $\frac{m^2 +2m +1 -4m}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第二步
= $\frac{m^2 -2m +1}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第三步
= $\frac{(m-1)^2}{(m+1)(m-1)}$ ……………………第四步
= $\frac{2}{m+1}$。 ……………………第五步
答案
10.五 $\frac{m-1}{m+1}$
解析
【分析】
要判断计算过程哪一步错误，需按照异分母分式减法的运算步骤逐步核对：首先异分母分式相减要先通分，找到最简公分母，再按同分母分式减法法则计算，最后约分化为最简分式。首先观察公分母，$m^2-1=(m+1)(m-1)$，第一步通分符合规则；第二步同分母分式相减，分母不变分子相减，展开分子正确；第三步合并同类项无误；第四步分子用完全平方公式因式分解正确；第五步约分时，分子$(m-1)^2$与分母的公因式$(m-1)$约去后，分子剩余$(m-1)$，不是2，因此第五步出错，按正确约分即可得到最终结果。
【解析】
我们按分式运算规则逐步骤验证：
1. 第一步：异分母分式通分，最简公分母为$(m+1)(m-1)$，将$\frac{m+1}{m-1}$的分子分母同乘$(m+1)$得到$\frac{(m+1)^2}{(m+1)(m-1)}$，通分正确；
2. 第二步：同分母分式相减，分母不变，分子相减，即$(m+1)^2 - 4m$，展开正确；
3. 第三步：合并分子的同类项，$2m-4m=-2m$，得分子$m^2-2m+1$，计算正确；
4. 第四步：利用完全平方公式因式分解分子，$m^2-2m+1=(m-1)^2$，因式分解正确；
5. 第五步：约分错误，分子$(m-1)^2$和分母公因式$(m-1)$约去后，分子剩余$(m-1)$，正确结果应为$\frac{m-1}{m+1}$。
【答案】
五；$\frac{m-1}{m+1}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式约分；乘法公式
【点评】
本题考查分式化简的基本运算，解题时要严格遵循分式运算的规则，约分环节要注意公因式约去后分子、分母的剩余部分，避免因粗心导致运算错误，最终结果要保证是最简分式。
【难度系数】
0.8
要判断计算过程哪一步错误，需按照异分母分式减法的运算步骤逐步核对：首先异分母分式相减要先通分，找到最简公分母，再按同分母分式减法法则计算，最后约分化为最简分式。首先观察公分母，$m^2-1=(m+1)(m-1)$，第一步通分符合规则；第二步同分母分式相减，分母不变分子相减，展开分子正确；第三步合并同类项无误；第四步分子用完全平方公式因式分解正确；第五步约分时，分子$(m-1)^2$与分母的公因式$(m-1)$约去后，分子剩余$(m-1)$，不是2，因此第五步出错，按正确约分即可得到最终结果。
【解析】
我们按分式运算规则逐步骤验证：
1. 第一步：异分母分式通分，最简公分母为$(m+1)(m-1)$，将$\frac{m+1}{m-1}$的分子分母同乘$(m+1)$得到$\frac{(m+1)^2}{(m+1)(m-1)}$，通分正确；
2. 第二步：同分母分式相减，分母不变，分子相减，即$(m+1)^2 - 4m$，展开正确；
3. 第三步：合并分子的同类项，$2m-4m=-2m$，得分子$m^2-2m+1$，计算正确；
4. 第四步：利用完全平方公式因式分解分子，$m^2-2m+1=(m-1)^2$，因式分解正确；
5. 第五步：约分错误，分子$(m-1)^2$和分母公因式$(m-1)$约去后，分子剩余$(m-1)$，正确结果应为$\frac{m-1}{m+1}$。
【答案】
五；$\frac{m-1}{m+1}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式约分；乘法公式
【点评】
本题考查分式化简的基本运算，解题时要严格遵循分式运算的规则，约分环节要注意公因式约去后分子、分母的剩余部分，避免因粗心导致运算错误，最终结果要保证是最简分式。
【难度系数】
0.8
11.小丽从甲地到乙地,去时路程是s km,返回时走另外的路线,路程比去时多了10 km。小丽去时的平均速度是返回时的平均速度的两倍,所用时间比返回时少用了t h,那么小丽返回时的平均速度是
$\frac{s+20}{2t}$
km/h。答案
11.$\frac{s+20}{2t}$
解析
【分析】
这是一道行程类应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系，找到题目中的等量关系列方程求解。首先明确已知量：去时路程为$ s $ km，返回路程为$ (s+10) $ km，去时速度是返回速度的2倍，去时比返回少用$ t $ h。我们可以设返回时的平均速度为未知数，分别表示出去时和返回的用时，根据“返回用时 - 去时用时 = $ t $”的等量关系列方程，解出未知数即可。
【解析】
设小丽返回时的平均速度为$ v $ km/h，则去时的平均速度为$ 2v $ km/h。
根据“时间=路程÷速度”可得：
返回时所用时间为$ \frac{s+10}{v} $ h，
去时所用时间为$ \frac{s}{2v} $ h。
由“去时所用时间比返回时少用$ t $ h”列方程：
$ \frac{s+10}{v} - \frac{s}{2v} = t $
对左边通分化简：
$ \frac{2(s+10)-s}{2v} = t $
$ \frac{s+20}{2v} = t $
变形求解得：
$ v = \frac{s+20}{2t} $
经检验，$ v = \frac{s+20}{2t} $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\frac{s+20}{2t}$
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的应用
【点评】
本题属于基础的行程应用题型，解题的关键是理清路程、速度、时间三个量的对应关系，找准时间差的等量关系列方程，计算时注意通分化简的正确性即可。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系，找到题目中的等量关系列方程求解。首先明确已知量：去时路程为$ s $ km，返回路程为$ (s+10) $ km，去时速度是返回速度的2倍，去时比返回少用$ t $ h。我们可以设返回时的平均速度为未知数，分别表示出去时和返回的用时，根据“返回用时 - 去时用时 = $ t $”的等量关系列方程，解出未知数即可。
【解析】
设小丽返回时的平均速度为$ v $ km/h，则去时的平均速度为$ 2v $ km/h。
根据“时间=路程÷速度”可得：
返回时所用时间为$ \frac{s+10}{v} $ h，
去时所用时间为$ \frac{s}{2v} $ h。
由“去时所用时间比返回时少用$ t $ h”列方程：
$ \frac{s+10}{v} - \frac{s}{2v} = t $
对左边通分化简：
$ \frac{2(s+10)-s}{2v} = t $
$ \frac{s+20}{2v} = t $
变形求解得：
$ v = \frac{s+20}{2t} $
经检验，$ v = \frac{s+20}{2t} $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\frac{s+20}{2t}$
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的应用
【点评】
本题属于基础的行程应用题型，解题的关键是理清路程、速度、时间三个量的对应关系，找准时间差的等量关系列方程，计算时注意通分化简的正确性即可。
【难度系数】
0.7
12.小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百千米的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百千米的耗电费。设纯电汽车每百千米的耗电费为x元，可列分式方程为
$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$
。答案
12.$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目已设纯电汽车每百千米的耗电费为x元，第一步先推导燃油汽车每百千米的耗电费：由“每百千米的耗油费比耗电费多50元”，可得燃油汽车每百千米耗电费为(x+50)元；第二步找核心等量关系：题目明确给出“燃油汽车6000元油费行驶的路程=纯电汽车1000元电费行驶的路程”；第三步分别用含x的式子表示两个路程：行驶的百千米数=总费用÷每百千米耗费，因此燃油车行驶路程（百千米数）为$\frac{6000}{x+50}$，纯电车行驶路程（百千米数）为$\frac{1000}{x}$，最后根据路程相等列等式即可。
【解析】
解：已知设纯电汽车每百千米的耗电费为x元，
1. 由每百千米耗油费比耗电费多50元，可得燃油汽车每百千米耗电费为$(x+50)$元；
2. 燃油汽车耗费6000元可行驶的百千米数为：$\frac{6000}{x+50}$；
3. 纯电汽车耗费1000元可行驶的百千米数为：$\frac{1000}{x}$；
4. 由两者行驶路程相同，可列方程：$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$。
【答案】
$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 等量关系分析
【点评】
本题是分式方程应用的常规基础题，解题的核心是准确抓住题目中“行驶路程相同”的等量关系，理清总费用、单位百千米耗费、行驶路程三者的数量关系即可正确列方程，注意不要混淆两种车辆对应的总费用和单位耗费。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目已设纯电汽车每百千米的耗电费为x元，第一步先推导燃油汽车每百千米的耗电费：由“每百千米的耗油费比耗电费多50元”，可得燃油汽车每百千米耗电费为(x+50)元；第二步找核心等量关系：题目明确给出“燃油汽车6000元油费行驶的路程=纯电汽车1000元电费行驶的路程”；第三步分别用含x的式子表示两个路程：行驶的百千米数=总费用÷每百千米耗费，因此燃油车行驶路程（百千米数）为$\frac{6000}{x+50}$，纯电车行驶路程（百千米数）为$\frac{1000}{x}$，最后根据路程相等列等式即可。
【解析】
解：已知设纯电汽车每百千米的耗电费为x元，
1. 由每百千米耗油费比耗电费多50元，可得燃油汽车每百千米耗电费为$(x+50)$元；
2. 燃油汽车耗费6000元可行驶的百千米数为：$\frac{6000}{x+50}$；
3. 纯电汽车耗费1000元可行驶的百千米数为：$\frac{1000}{x}$；
4. 由两者行驶路程相同，可列方程：$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$。
【答案】
$\frac{6000}{x+50}=\frac{1000}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 等量关系分析
【点评】
本题是分式方程应用的常规基础题，解题的核心是准确抓住题目中“行驶路程相同”的等量关系，理清总费用、单位百千米耗费、行驶路程三者的数量关系即可正确列方程，注意不要混淆两种车辆对应的总费用和单位耗费。
【难度系数】
0.8
