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1. 解分式方程：
(1) $\frac{3 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 1$；
(2) $\frac{5}{x^2 + x} - \frac{1}{x^2 - x} = 0$；
(3) $\frac{x}{2x - 5} + \frac{5}{5 - 2x} = 1$；
(4) $\frac{4}{x^2 - 2x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x - 2}$。
(1) $\frac{3 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 1$；
(2) $\frac{5}{x^2 + x} - \frac{1}{x^2 - x} = 0$；
(3) $\frac{x}{2x - 5} + \frac{5}{5 - 2x} = 1$；
(4) $\frac{4}{x^2 - 2x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x - 2}$。
答案
1.(1)原分式方程的根为x=3。
(2)原分式方程的根为$x=\frac{3}{2}$。
(3)方程两边同乘2x-5，得x-5=2x-5，解得x=0。经检验，x=0是分式方程的根。
(4)方程两边同乘x(x-2)，得4+(x-2)=3x，解得x=1。经检验，x=1是分式方程的根。
(2)原分式方程的根为$x=\frac{3}{2}$。
(3)方程两边同乘2x-5，得x-5=2x-5，解得x=0。经检验，x=0是分式方程的根。
(4)方程两边同乘x(x-2)，得4+(x-2)=3x，解得x=1。经检验，x=1是分式方程的根。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：1.先整理分母，互为相反数的分母可提取负号统一形式，再对分母因式分解找到最简公分母；2.方程两边同时乘最简公分母，约去分母得到整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）；3.解整式方程得到未知数的解；4.检验：将解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原分式方程的根，若为0则是增根，需要舍去。
【解析】
(1) 原方程变形为$\frac{3-x}{x-4}-\frac{1}{x-4}=1$，最简公分母为$x-4$（$x\ne4$），两边同乘$x-4$得：$3-x-1=x-4$，整理得$2-x=x-4$，移项合并得$-2x=-6$，解得$x=3$。检验：$x=3$时$x-4=-1\ne0$，是原方程的根。
(2) 因式分解分母得$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$（$x\ne0$且$x\ne\pm1$），两边同乘公分母得$5(x-1)-(x+1)=0$，去括号整理得$4x-6=0$，解得$x=\frac{3}{2}$。检验：$x=\frac{3}{2}$时公分母不为0，是原方程的根。
(3) 原方程变形为$\frac{x}{2x-5}-\frac{5}{2x-5}=1$，最简公分母为$2x-5$（$x\ne\frac{5}{2}$），两边同乘$2x-5$得$x-5=2x-5$，解得$x=0$。检验：$x=0$时$2x-5=-5\ne0$，是原方程的根。
(4) 因式分解分母得$x^2-2x=x(x-2)$，最简公分母为$x(x-2)$（$x\ne0$且$x\ne2$），两边同乘公分母得$4+(x-2)=3x$，整理得$x+2=3x$，解得$x=1$。检验：$x=1$时公分母不为0，是原方程的根。
【答案】
(1)原分式方程的根为$x=3$。
(2)原分式方程的根为$x=\frac{3}{2}$。
(3)方程两边同乘$2x-5$，得$x-5=2x-5$，解得$x=0$。经检验，$x=0$是分式方程的根。
(4)方程两边同乘$x(x-2)$，得$4+(x-2)=3x$，解得$x=1$。经检验，$x=1$是分式方程的根。
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，分式的基本性质
【点评】
本题是分式方程解法的常规训练题，解题时要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，去分母时不要漏乘常数项，切记整式方程的解必须经过检验才能确定是否为分式方程的根。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：1.先整理分母，互为相反数的分母可提取负号统一形式，再对分母因式分解找到最简公分母；2.方程两边同时乘最简公分母，约去分母得到整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）；3.解整式方程得到未知数的解；4.检验：将解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原分式方程的根，若为0则是增根，需要舍去。
【解析】
(1) 原方程变形为$\frac{3-x}{x-4}-\frac{1}{x-4}=1$，最简公分母为$x-4$（$x\ne4$），两边同乘$x-4$得：$3-x-1=x-4$，整理得$2-x=x-4$，移项合并得$-2x=-6$，解得$x=3$。检验：$x=3$时$x-4=-1\ne0$，是原方程的根。
(2) 因式分解分母得$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$（$x\ne0$且$x\ne\pm1$），两边同乘公分母得$5(x-1)-(x+1)=0$，去括号整理得$4x-6=0$，解得$x=\frac{3}{2}$。检验：$x=\frac{3}{2}$时公分母不为0，是原方程的根。
(3) 原方程变形为$\frac{x}{2x-5}-\frac{5}{2x-5}=1$，最简公分母为$2x-5$（$x\ne\frac{5}{2}$），两边同乘$2x-5$得$x-5=2x-5$，解得$x=0$。检验：$x=0$时$2x-5=-5\ne0$，是原方程的根。
(4) 因式分解分母得$x^2-2x=x(x-2)$，最简公分母为$x(x-2)$（$x\ne0$且$x\ne2$），两边同乘公分母得$4+(x-2)=3x$，整理得$x+2=3x$，解得$x=1$。检验：$x=1$时公分母不为0，是原方程的根。
【答案】
(1)原分式方程的根为$x=3$。
(2)原分式方程的根为$x=\frac{3}{2}$。
(3)方程两边同乘$2x-5$，得$x-5=2x-5$，解得$x=0$。经检验，$x=0$是分式方程的根。
(4)方程两边同乘$x(x-2)$，得$4+(x-2)=3x$，解得$x=1$。经检验，$x=1$是分式方程的根。
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，分式的基本性质
【点评】
本题是分式方程解法的常规训练题，解题时要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，去分母时不要漏乘常数项，切记整式方程的解必须经过检验才能确定是否为分式方程的根。
【难度系数】
0.7
2. 解方程：$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{-x - 1}{2x - 4} - 2$。
下面是小丽同学解这个方程的部分过程。
解：$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{-x - 1}{2(x - 2)} - 2$，…第一步
……
(1) 小丽第二步在方程的两边同乘$2(x - 2)$，这样做的依据是
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③因式分解。
(2) 请将解方程的过程补充完整。
下面是小丽同学解这个方程的部分过程。
解：$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{-x - 1}{2(x - 2)} - 2$，…第一步
……
(1) 小丽第二步在方程的两边同乘$2(x - 2)$，这样做的依据是
①
（填序号）。①等式的基本性质；②分式的基本性质；③因式分解。
(2) 请将解方程的过程补充完整。
答案
2.(1)①
(2)方程的两边同乘2(x-2)，得2(5x-4) = -x-1 -4(x-2)，整理，得10x-8 = -5x+7，解得x=1，检验：当x=1时，2(x-2)≠0，故原分式方程的解为x=1。
(2)方程的两边同乘2(x-2)，得2(5x-4) = -x-1 -4(x-2)，整理，得10x-8 = -5x+7，解得x=1，检验：当x=1时，2(x-2)≠0，故原分式方程的解为x=1。
解析
【分析】
(1) 先明确三个性质的适用场景：等式的基本性质适用于等式左右两边同时乘同一个不为0的整式，保持等式成立；分式的基本性质是对单个分式的分子、分母做同乘除变形；因式分解是对多项式变形的方法。本题给等式两边同时乘整式去分母，依据是等式的基本性质，故选①。
(2) 解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤为：先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去分母（注意所有项都要乘，不能漏乘不含分母的常数项），再解整式方程，最后必须代入最简公分母检验，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边同乘$2(x-2)$是对等式整体做变形，符合等式的基本性质的应用规则，因此选①。
(2) 完整解方程过程：
方程两边同乘最简公分母$2(x-2)$，得：
$2(5x-4) = -x-1 - 4(x-2)$
去括号整理得：
$10x - 8 = -x -1 -4x +8$
合并同类项得：
$10x -8 = -5x +7$
移项计算得：
$15x =15$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$2(x-2)=2×(1-2)=-2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 原分式方程的解为$\boxed{x=1}$
【知识点】
分式方程的解法，等式的基本性质，分式方程验根
【点评】
本题重点考查分式方程的求解规范，易错点是去分母时漏乘常数项、忽略验根步骤，牢记“去分母不漏乘、解完必验根”的要求即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确三个性质的适用场景：等式的基本性质适用于等式左右两边同时乘同一个不为0的整式，保持等式成立；分式的基本性质是对单个分式的分子、分母做同乘除变形；因式分解是对多项式变形的方法。本题给等式两边同时乘整式去分母，依据是等式的基本性质，故选①。
(2) 解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤为：先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去分母（注意所有项都要乘，不能漏乘不含分母的常数项），再解整式方程，最后必须代入最简公分母检验，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边同乘$2(x-2)$是对等式整体做变形，符合等式的基本性质的应用规则，因此选①。
(2) 完整解方程过程：
方程两边同乘最简公分母$2(x-2)$，得：
$2(5x-4) = -x-1 - 4(x-2)$
去括号整理得：
$10x - 8 = -x -1 -4x +8$
合并同类项得：
$10x -8 = -5x +7$
移项计算得：
$15x =15$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$2(x-2)=2×(1-2)=-2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 原分式方程的解为$\boxed{x=1}$
【知识点】
分式方程的解法，等式的基本性质，分式方程验根
【点评】
本题重点考查分式方程的求解规范，易错点是去分母时漏乘常数项、忽略验根步骤，牢记“去分母不漏乘、解完必验根”的要求即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
