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3.某社区在书店购买A,B两种经典国学书籍供社区居民借阅,已知A种书籍单价比B种书籍的单价便宜5元,用300元买A种书籍的本数是用200元买B种书籍本数的2倍。
(1)A,B两种书籍每本分别是多少元?
(2)该社区为了“倡导全民阅读、共建学习型社区”,决定再次购买10本A种书籍和一批B种书籍,总费用不超过500元,求最多能购买多少本B种书籍。
(1)A,B两种书籍每本分别是多少元?
(2)该社区为了“倡导全民阅读、共建学习型社区”,决定再次购买10本A种书籍和一批B种书籍,总费用不超过500元,求最多能购买多少本B种书籍。
答案
3.(1)设A种书籍每本是x元，则B种书籍每本是(x+5)元。根据题意，得$\frac{300}{x}=\frac{200}{x+5}×2$。解这个方程，得x=15。经检验，x=15是原分式方程的根，且符合题意。则15+5=20(元)。答：A种书籍每本是15元，B种书籍每本是20元。
(2)最多能购买17本B种书籍。
(2)最多能购买17本B种书籍。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)首先明确这是分式方程实际应用问题，先找两个等量关系：①A种书籍单价比B种书籍单价少5元；②300元购买A种书籍的数量=2倍的200元购买B种书籍的数量。我们可以设A种书籍单价为未知数，借助第一个等量关系表示出B种书籍的单价，再根据第二个等量关系列分式方程求解，注意分式方程求出解后必须检验根是否符合题意。(2)第二问是一元一次不等式的实际应用，不等关系为：10本A种书籍的总费用+购买B种书籍的总费用≤500元，设B种书籍的购买数量为未知数，代入已知单价列不等式求解，最后结合实际取最大正整数解即可。
【解析】
(1)设A种书籍每本是x元，则B种书籍每本是(x+5)元。
根据题意列方程：
$\frac{300}{x}=\frac{200}{x+5}×2$
化简得：$\frac{300}{x}=\frac{400}{x+5}$
交叉相乘得：$300(x+5)=400x$
展开计算：$300x +1500 =400x$
移项合并得：$100x=1500$
解得$x=15$
经检验，当$x=15$时，$x(x+5)≠0$，因此$x=15$是原分式方程的根，且符合实际题意。
则B种书籍单价为$15+5=20$（元）。
(2)设能购买m本B种书籍。
根据总费用不超过500元列不等式：
$10×15 +20m ≤500$
计算得：$150 +20m ≤500$
移项得：$20m ≤350$
解得：$m ≤17.5$
由于m为书籍数量，必须是正整数，因此m的最大值为17。
【答案】
(1)A种书籍每本15元，B种书籍每本20元；(2)最多能购买17本B种书籍。
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用；分式方程的检验
【点评】
本题属于常见的购物类实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，列对对应的方程和不等式，同时要注意分式方程必须检验根的合理性，实际问题中未知数的取值要符合现实意义（如书籍数量为正整数）。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：(1)首先明确这是分式方程实际应用问题，先找两个等量关系：①A种书籍单价比B种书籍单价少5元；②300元购买A种书籍的数量=2倍的200元购买B种书籍的数量。我们可以设A种书籍单价为未知数，借助第一个等量关系表示出B种书籍的单价，再根据第二个等量关系列分式方程求解，注意分式方程求出解后必须检验根是否符合题意。(2)第二问是一元一次不等式的实际应用，不等关系为：10本A种书籍的总费用+购买B种书籍的总费用≤500元，设B种书籍的购买数量为未知数，代入已知单价列不等式求解，最后结合实际取最大正整数解即可。
【解析】
(1)设A种书籍每本是x元，则B种书籍每本是(x+5)元。
根据题意列方程：
$\frac{300}{x}=\frac{200}{x+5}×2$
化简得：$\frac{300}{x}=\frac{400}{x+5}$
交叉相乘得：$300(x+5)=400x$
展开计算：$300x +1500 =400x$
移项合并得：$100x=1500$
解得$x=15$
经检验，当$x=15$时，$x(x+5)≠0$，因此$x=15$是原分式方程的根，且符合实际题意。
则B种书籍单价为$15+5=20$（元）。
(2)设能购买m本B种书籍。
根据总费用不超过500元列不等式：
$10×15 +20m ≤500$
计算得：$150 +20m ≤500$
移项得：$20m ≤350$
解得：$m ≤17.5$
由于m为书籍数量，必须是正整数，因此m的最大值为17。
【答案】
(1)A种书籍每本15元，B种书籍每本20元；(2)最多能购买17本B种书籍。
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用；分式方程的检验
【点评】
本题属于常见的购物类实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，列对对应的方程和不等式，同时要注意分式方程必须检验根的合理性，实际问题中未知数的取值要符合现实意义（如书籍数量为正整数）。
【难度系数】
0.7
4. 小明在长为180米的跑道上训练机器人,机器人匀速行走1分钟后,提速到原来速度的1.5倍继续匀速行走,结果比原计划提前40秒到达终点。
(1)求该机器人走完全程所花的时间；
(2)若A机器人一半路程以a米/分钟的速度行走,另一半路程以b米/分钟的速度行走,B机器人用一半时间以a米/分钟的速度行走,另一半时间以b米/分钟的速度行走,试比较A,B两机器人走完全程所花时间的长短。
(1)求该机器人走完全程所花的时间；
(2)若A机器人一半路程以a米/分钟的速度行走,另一半路程以b米/分钟的速度行走,B机器人用一半时间以a米/分钟的速度行走,另一半时间以b米/分钟的速度行走,试比较A,B两机器人走完全程所花时间的长短。
答案
4.(1)设机器人原来行走的速度为x米/分钟，根据题意得$\frac{180-x}{x}=\frac{180-x}{1.5x}+\frac{40}{60}$，解得x=60，经检验，x=60为原方程的解，且符合题意，$\therefore 1+\frac{180-x}{1.5x}=1+\frac{180-60}{1.5×60}=\frac{7}{3}$，$\therefore$机器人走完全程所花的时间为$\frac{7}{3}$分钟。
(2)A机器人所需时间$t_A=\frac{90}{a}+\frac{90}{b}=\frac{90(a+b)}{ab}$，B机器人所需时间$t_B=\frac{180}{\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b}=\frac{360}{a+b}$，$\therefore t_A - t_B = \frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}=\frac{90[(a+b)^2-4ab]}{ab(a+b)}=\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}$，当a=b时，$t_A - t_B=0$，即两机器人走完全程所花的时间相同。当a≠b时，$t_A - t_B＞0$，即A机器人走完全程所花的时间较长。
(2)A机器人所需时间$t_A=\frac{90}{a}+\frac{90}{b}=\frac{90(a+b)}{ab}$，B机器人所需时间$t_B=\frac{180}{\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b}=\frac{360}{a+b}$，$\therefore t_A - t_B = \frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}=\frac{90[(a+b)^2-4ab]}{ab(a+b)}=\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}$，当a=b时，$t_A - t_B=0$，即两机器人走完全程所花的时间相同。当a≠b时，$t_A - t_B＞0$，即A机器人走完全程所花的时间较长。
解析
【分析】
(1) 这是行程类分式方程应用题，解题核心是找准时间差的等量关系。首先统一单位，将40秒换算为$\frac{40}{60}$分钟；设机器人原速度为x米/分钟，先计算1分钟行走的路程为x米，剩余路程为$(180-x)$米。原速走剩余路程的时间比提速后走剩余路程的时间多40秒，据此列分式方程求解，检验解符合题意后，再计算实际走完全程的总时间。
(2) 分别表示出A、B两个机器人走完全程的时间：A机器人按路程分段，总时间为两段路程分别除以对应速度的和；B机器人按时间分段，先根据总路程等于两段路程之和求出总时间，再用作差法比较两个时间的大小，结合完全平方的非负性分类讨论即可。
【解析】
(1) 设机器人原来行走的速度为x米/分钟，40秒=$\frac{40}{60}$分钟。
根据题意列方程：
$\frac{180-x}{x}=\frac{180-x}{1.5x}+\frac{40}{60}$
两边同乘3x去分母得：$3(180-x)=2(180-x)+2x$
整理解得$x=60$
经检验，$x=60$是原分式方程的解，且符合实际题意。
实际走完全程的时间为：$1+\frac{180-x}{1.5x}=1+\frac{180-60}{1.5×60}=\frac{7}{3}$（分钟）
(2) 计算A机器人走完全程的时间：
一半路程为$180÷2=90$米，因此$t_A=\frac{90}{a}+\frac{90}{b}=\frac{90(a+b)}{ab}$
计算B机器人走完全程的时间：
设B走完全程的时间为$t_B$，根据总路程为180米得：
$\frac{t_B}{2}·a + \frac{t_B}{2}·b =180$
解得$t_B=\frac{360}{a+b}$
作差比较大小：
$t_A - t_B = \frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}=\frac{90[(a+b)^2-4ab]}{ab(a+b)}=\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}$
因为a、b均为正数，所以$ab(a+b)＞0$，且$(a-b)^2≥0$：
① 当$a=b$时，$t_A - t_B=0$，即$t_A=t_B$；
② 当$a≠b$时，$t_A - t_B＞0$，即$t_A＞t_B$。
【答案】
(1) 该机器人走完全程所花的时间为$\frac{7}{3}$分钟；
(2) 当$a=b$时，A、B两机器人走完全程所花时间相同；当$a≠b$时，A机器人走完全程所花的时间更长。
【知识点】
分式方程的实际应用，行程问题公式，作差法比较大小
【点评】
本题结合行程场景考查分式方程和代数式大小比较的应用，解题时需注意统一单位，分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义，作差比较大小时要熟练运用完全平方公式的非负性分类讨论，避免漏解a=b的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 这是行程类分式方程应用题，解题核心是找准时间差的等量关系。首先统一单位，将40秒换算为$\frac{40}{60}$分钟；设机器人原速度为x米/分钟，先计算1分钟行走的路程为x米，剩余路程为$(180-x)$米。原速走剩余路程的时间比提速后走剩余路程的时间多40秒，据此列分式方程求解，检验解符合题意后，再计算实际走完全程的总时间。
(2) 分别表示出A、B两个机器人走完全程的时间：A机器人按路程分段，总时间为两段路程分别除以对应速度的和；B机器人按时间分段，先根据总路程等于两段路程之和求出总时间，再用作差法比较两个时间的大小，结合完全平方的非负性分类讨论即可。
【解析】
(1) 设机器人原来行走的速度为x米/分钟，40秒=$\frac{40}{60}$分钟。
根据题意列方程：
$\frac{180-x}{x}=\frac{180-x}{1.5x}+\frac{40}{60}$
两边同乘3x去分母得：$3(180-x)=2(180-x)+2x$
整理解得$x=60$
经检验，$x=60$是原分式方程的解，且符合实际题意。
实际走完全程的时间为：$1+\frac{180-x}{1.5x}=1+\frac{180-60}{1.5×60}=\frac{7}{3}$（分钟）
(2) 计算A机器人走完全程的时间：
一半路程为$180÷2=90$米，因此$t_A=\frac{90}{a}+\frac{90}{b}=\frac{90(a+b)}{ab}$
计算B机器人走完全程的时间：
设B走完全程的时间为$t_B$，根据总路程为180米得：
$\frac{t_B}{2}·a + \frac{t_B}{2}·b =180$
解得$t_B=\frac{360}{a+b}$
作差比较大小：
$t_A - t_B = \frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}=\frac{90[(a+b)^2-4ab]}{ab(a+b)}=\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}$
因为a、b均为正数，所以$ab(a+b)＞0$，且$(a-b)^2≥0$：
① 当$a=b$时，$t_A - t_B=0$，即$t_A=t_B$；
② 当$a≠b$时，$t_A - t_B＞0$，即$t_A＞t_B$。
【答案】
(1) 该机器人走完全程所花的时间为$\frac{7}{3}$分钟；
(2) 当$a=b$时，A、B两机器人走完全程所花时间相同；当$a≠b$时，A机器人走完全程所花的时间更长。
【知识点】
分式方程的实际应用，行程问题公式，作差法比较大小
【点评】
本题结合行程场景考查分式方程和代数式大小比较的应用，解题时需注意统一单位，分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义，作差比较大小时要熟练运用完全平方公式的非负性分类讨论，避免漏解a=b的情况。
【难度系数】
0.6
