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3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为$a\ \mathrm{m}(a＞1)$的正方形去掉一个边长为$1\ \mathrm{m}$的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为$(a-1)\mathrm{m}$的正方形，两块试验田的小麦都收获了$500\ \mathrm{kg}$。
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)单位面积产量高的小麦其单位面积产量是单位面积产量低的小麦的多少倍？
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)单位面积产量高的小麦其单位面积产量是单位面积产量低的小麦的多少倍？
答案
(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2)“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的$\frac{a + 1}{a - 1}$倍。
(2)“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的$\frac{a + 1}{a - 1}$倍。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。因为两块试验田的总产量相同，所以面积越小的试验田单位面积产量越高，因此第一步先计算两块试验田的面积，再比较面积大小即可判断单位产量高低；第二问直接用高单位产量除以低单位产量，结合平方差公式化简就能得到倍数关系。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田面积：$S_1=a^2 - 1\ \mathrm{m^2}$
“丰收2号”试验田面积：$S_2=(a-1)^2\ \mathrm{m^2}$
用作差法比较两个面积的大小，已知$a＞1$：
$S_1 - S_2=(a^2-1)-(a-1)^2=a^2-1-(a^2-2a+1)=2a-2=2(a-1)$
因为$a＞1$，所以$a-1＞0$，可得$S_1 - S_2＞0$，即$S_1＞S_2$。
总产量相同时，种植面积越小单位面积产量越高，因此“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2) 分别写出两块试验田的单位面积产量：
“丰收1号”单位面积产量：$\frac{500}{a^2-1}\ \mathrm{kg/m^2}$
“丰收2号”单位面积产量：$\frac{500}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$
计算倍数：
$\frac{\frac{500}{(a-1)^2}}{\frac{500}{a^2-1}}=\frac{a^2-1}{(a-1)^2}$
利用平方差公式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$，化简得：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\frac{a+1}{a-1}$
【答案】
(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2)单位面积产量高的小麦其单位面积产量是单位面积产量低的小麦的$\frac{a + 1}{a - 1}$倍。
【知识点】
平方差公式，分式运算，代数式大小比较
【点评】
本题结合农业试验的实际场景考查代数运算能力，解题的核心是明确单位面积产量的计算逻辑，熟练运用整式公式对分式进行化简，做题时要注意题目给出的$a＞1$的取值范围，确保分式有意义。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。因为两块试验田的总产量相同，所以面积越小的试验田单位面积产量越高，因此第一步先计算两块试验田的面积，再比较面积大小即可判断单位产量高低；第二问直接用高单位产量除以低单位产量，结合平方差公式化简就能得到倍数关系。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田面积：$S_1=a^2 - 1\ \mathrm{m^2}$
“丰收2号”试验田面积：$S_2=(a-1)^2\ \mathrm{m^2}$
用作差法比较两个面积的大小，已知$a＞1$：
$S_1 - S_2=(a^2-1)-(a-1)^2=a^2-1-(a^2-2a+1)=2a-2=2(a-1)$
因为$a＞1$，所以$a-1＞0$，可得$S_1 - S_2＞0$，即$S_1＞S_2$。
总产量相同时，种植面积越小单位面积产量越高，因此“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2) 分别写出两块试验田的单位面积产量：
“丰收1号”单位面积产量：$\frac{500}{a^2-1}\ \mathrm{kg/m^2}$
“丰收2号”单位面积产量：$\frac{500}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$
计算倍数：
$\frac{\frac{500}{(a-1)^2}}{\frac{500}{a^2-1}}=\frac{a^2-1}{(a-1)^2}$
利用平方差公式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$，化简得：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\frac{a+1}{a-1}$
【答案】
(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2)单位面积产量高的小麦其单位面积产量是单位面积产量低的小麦的$\frac{a + 1}{a - 1}$倍。
【知识点】
平方差公式，分式运算，代数式大小比较
【点评】
本题结合农业试验的实际场景考查代数运算能力，解题的核心是明确单位面积产量的计算逻辑，熟练运用整式公式对分式进行化简，做题时要注意题目给出的$a＞1$的取值范围，确保分式有意义。
【难度系数】
0.7
4. 小明在探究并联电路的总电阻时,发现总电阻$R(\Omega)$的倒数等于各并联电阻$R_1,R_2$的倒数和,即$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$。
(1)请用含$R$和$R_1$的式子表示$R_2$。
(2)若$R_1,R_2$均为正整数,探究$R_1,R_2$的值分别为多少时,总电阻$R$恰好为$2\ \Omega$。
(1)请用含$R$和$R_1$的式子表示$R_2$。
(2)若$R_1,R_2$均为正整数,探究$R_1,R_2$的值分别为多少时,总电阻$R$恰好为$2\ \Omega$。
答案
解:(1)由题意可得$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_1} = \frac{R_1 - R}{RR_1}$,$\therefore R_2 = \frac{RR_1}{R_1 - R}$。
(2)$\because R = 2\ \Omega$,$\therefore R_2 = \frac{2R_1}{R_1 - 2} = \frac{2(R_1 - 2) + 4}{R_1 - 2} = 2 + \frac{4}{R_1 - 2}$,易知$R_1,R_2$均大于$R$,$\because R_2$为正整数,
$\therefore R_1 - 2 = 1$ 或 $R_1 - 2 = 2$ 或 $R_1 - 2 = 4$,①当$R_1 - 2 = 1$时,$R_1 = 3$,$R_2 = 6$;②当$R_1 - 2 = 2$时,$R_1 = 4$,$R_2 = 4$;③当$R_1 - 2 = 4$时,$R_1 = 6$,$R_2 = 3$。
(2)$\because R = 2\ \Omega$,$\therefore R_2 = \frac{2R_1}{R_1 - 2} = \frac{2(R_1 - 2) + 4}{R_1 - 2} = 2 + \frac{4}{R_1 - 2}$,易知$R_1,R_2$均大于$R$,$\because R_2$为正整数,
$\therefore R_1 - 2 = 1$ 或 $R_1 - 2 = 2$ 或 $R_1 - 2 = 4$,①当$R_1 - 2 = 1$时,$R_1 = 3$,$R_2 = 6$;②当$R_1 - 2 = 2$时,$R_1 = 4$,$R_2 = 4$;③当$R_1 - 2 = 4$时,$R_1 = 6$,$R_2 = 3$。
解析
【分析】
(1) 第一问属于代数式变形问题，我们可以将并联电阻的倒数公式看作关于$\frac{1}{R_2}$的方程，先移项得到$\frac{1}{R_2}$的表达式，再通分化简，最后取倒数即可得到$R_2$的表达式。
(2) 第二问是正整数解探究问题，先将$R=2\ \Omega$代入第一问得到的$R_2$表达式中，通过拆分变形把分式拆成“整数+分数”的形式，结合$R_1$、$R_2$均为正整数、电阻为正的隐含条件，可知分数部分的分母必须是分子的正约数，分类讨论所有符合条件的约数就能求出对应$R_1$、$R_2$的值。
【解析】
(1) 由题意得$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，
移项得：$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_1}$，
对右侧通分计算：$\frac{1}{R} - \frac{1}{R_1} = \frac{R_1 - R}{RR_1}$，
两边同时取倒数得：$R_2 = \frac{RR_1}{R_1 - R}$（$R_1 ≠ R$）。
(2) 将$R=2\ \Omega$代入$R_2 = \frac{RR_1}{R_1 - R}$得：
$R_2 = \frac{2R_1}{R_1 - 2}$，
对式子变形：$R_2 = \frac{2(R_1 - 2) + 4}{R_1 - 2} = 2 + \frac{4}{R_1 - 2}$，
$\because R_1、R_2$均为正整数，且电阻为正，$\therefore R_1 - 2$是4的正约数，
4的正约数为1、2、4，分三类讨论：
① 当$R_1 - 2 = 1$时，$R_1 = 3$，代入得$R_2 = 2 + 4 = 6$；
② 当$R_1 - 2 = 2$时，$R_1 = 4$，代入得$R_2 = 2 + 2 = 4$；
③ 当$R_1 - 2 = 4$时，$R_1 = 6$，代入得$R_2 = 2 + 1 = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{R_2 = \dfrac{RR_1}{R_1 - R}}$；
(2) 符合条件的值有三组：$\boldsymbol{R_1=3\ \Omega,R_2=6\ \Omega}$；$\boldsymbol{R_1=4\ \Omega,R_2=4\ \Omega}$；$\boldsymbol{R_1=6\ \Omega,R_2=3\ \Omega}$。
【知识点】
分式化简、代数式变形、正整数解求解
【点评】
本题结合物理并联电阻的知识点出题，既考查了分式的基本运算和变形能力，又考查了分类讨论的数学思想，解题时要注意实际问题中电阻为正的隐含条件，侧重基础运算和逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问属于代数式变形问题，我们可以将并联电阻的倒数公式看作关于$\frac{1}{R_2}$的方程，先移项得到$\frac{1}{R_2}$的表达式，再通分化简，最后取倒数即可得到$R_2$的表达式。
(2) 第二问是正整数解探究问题，先将$R=2\ \Omega$代入第一问得到的$R_2$表达式中，通过拆分变形把分式拆成“整数+分数”的形式，结合$R_1$、$R_2$均为正整数、电阻为正的隐含条件，可知分数部分的分母必须是分子的正约数，分类讨论所有符合条件的约数就能求出对应$R_1$、$R_2$的值。
【解析】
(1) 由题意得$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，
移项得：$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_1}$，
对右侧通分计算：$\frac{1}{R} - \frac{1}{R_1} = \frac{R_1 - R}{RR_1}$，
两边同时取倒数得：$R_2 = \frac{RR_1}{R_1 - R}$（$R_1 ≠ R$）。
(2) 将$R=2\ \Omega$代入$R_2 = \frac{RR_1}{R_1 - R}$得：
$R_2 = \frac{2R_1}{R_1 - 2}$，
对式子变形：$R_2 = \frac{2(R_1 - 2) + 4}{R_1 - 2} = 2 + \frac{4}{R_1 - 2}$，
$\because R_1、R_2$均为正整数，且电阻为正，$\therefore R_1 - 2$是4的正约数，
4的正约数为1、2、4，分三类讨论：
① 当$R_1 - 2 = 1$时，$R_1 = 3$，代入得$R_2 = 2 + 4 = 6$；
② 当$R_1 - 2 = 2$时，$R_1 = 4$，代入得$R_2 = 2 + 2 = 4$；
③ 当$R_1 - 2 = 4$时，$R_1 = 6$，代入得$R_2 = 2 + 1 = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{R_2 = \dfrac{RR_1}{R_1 - R}}$；
(2) 符合条件的值有三组：$\boldsymbol{R_1=3\ \Omega,R_2=6\ \Omega}$；$\boldsymbol{R_1=4\ \Omega,R_2=4\ \Omega}$；$\boldsymbol{R_1=6\ \Omega,R_2=3\ \Omega}$。
【知识点】
分式化简、代数式变形、正整数解求解
【点评】
本题结合物理并联电阻的知识点出题，既考查了分式的基本运算和变形能力，又考查了分类讨论的数学思想，解题时要注意实际问题中电阻为正的隐含条件，侧重基础运算和逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.6
