一、选择题
1. 下列方程中,分式方程的个数是 （）
①$\frac{ax + b}{2}=5$；②$\frac{1}{4}(3 + x)+2=\frac{x + 4}{3}$；③$\frac{m + x}{π}+m=\frac{x - m}{π}$；④$\frac{2x}{2x - 1}+\frac{3}{2x + 1}=1$。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.A

【分析】
要判断分式方程的个数，首先要明确分式方程的判定依据：分母中含有未知数的方程是分式方程。接下来逐个分析4个方程的分母是否含有未知数即可，注意π是固定的常数，不属于未知数，排查完所有方程后统计符合分式方程要求的数量就能得到答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
对四个式子逐一判断：
①$\frac{ax + b}{2}=5$：分母是2，为常数，不含未知数，属于整式方程；
②$\frac{1}{4}(3 + x)+2=\frac{x + 4}{3}$：分母是4和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程；
③$\frac{m + x}{π}+m=\frac{x - m}{π}$：分母是π，π是固定常数，不含未知数，属于整式方程；
④$\frac{2x}{2x - 1}+\frac{3}{2x + 1}=1$：分母是$2x-1$和$2x+1$，均含有未知数x，属于分式方程。
综上，分式方程只有1个。
【答案】A
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题考查分式方程的判定，解题关键是牢记分式方程的核心特征是分母含未知数，易错点是误将常数π当成未知数导致判断错误。
【难度系数】
0.9

2. 甲、乙两码头相距$s$千米，船在静水中的速度是每小时$a$千米，水流速度是每小时$b$千米，船往返一次所需的时间是（）

A.$\frac{2s}{a+b}$小时
B.$\frac{2s}{a-b}$小时
C.$(\frac{s}{a}+\frac{s}{b})$小时
D.$(\frac{s}{a+b}+\frac{s}{a-b})$小时

2.D

【分析】
要计算船往返一次的总时间，首先要明确船往返分别是顺水行驶和逆水行驶两种状态，先求出两种状态下船的实际行驶速度，再根据行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，分别计算顺水、逆水行驶的时间，最后将两个时间相加就是往返总时间，再匹配对应选项即可。
【解析】
1. 计算顺水行驶的时间：
顺水行驶时，水流会推动船前进，所以船的实际速度=静水速度+水流速度，即$v_顺=(a+b)$千米/小时，行驶路程为$s$千米，因此顺水行驶时间$t_顺=\frac{s}{a+b}$小时。
2. 计算逆水行驶的时间：
逆水行驶时，水流会阻碍船前进，所以船的实际速度=静水速度-水流速度，即$v_逆=(a-b)$千米/小时，行驶路程为$s$千米，因此逆水行驶时间$t_逆=\frac{s}{a-b}$小时。
3. 计算往返总时间：
总时间为顺水时间与逆水时间之和，即$t=t_顺+t_逆=(\frac{s}{a+b}+\frac{s}{a-b})$小时，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度计算；行程问题公式；列代数式
【点评】
本题属于行程类基础题，解题的关键是准确区分顺水、逆水状态下的实际行驶速度，不要直接用静水速度或水流速度计算时间，也不要错误用总路程除以两倍静水速度求解，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 已知$\frac{x-1}{x+2}=\frac{y-3}{y-4}$，用含$x$的代数式表示$y=$。

1.$\frac{10-x}{3}$

【分析】
这是一道分式等式的变形题，解题核心是将分式方程转化为整式方程求解。首先利用比例的基本性质（交叉相乘）去掉分母，再通过整式乘法展开等式两边，消去同类项后将含y的项移到等式一侧，其余项移到另一侧，最后合并同类项并将y的系数化为1，即可得到用x表示y的代数式。
【解析】
已知$\frac{x-1}{x+2}=\frac{y-3}{y-4}$，根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，交叉相乘得：
$(x-1)(y-4)=(y-3)(x+2)$
分别展开等式两边：
左边：$(x-1)(y-4)=xy-4x-y+4$
右边：$(y-3)(x+2)=xy+2y-3x-6$
消去等式两边都有的$xy$项，可得：
$-4x-y+4=2y-3x-6$
移项，将含$y$的项移到等式右侧，其余项移到等式左侧（移项要变号）：
$-4x+4+3x+6=2y+y$
合并同类项：
$10-x=3y$
将$y$的系数化为1，两边同时除以3：
$y=\frac{10-x}{3}$
【答案】
$\frac{10-x}{3}$
【知识点】
比例的基本性质、整式乘法运算、代数式化简
【点评】
本题考查分式等式的变形运算，解题的关键是通过交叉相乘将分式转化为整式形式，运算过程中要注意移项变号，避免出现符号错误，整体属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8

2. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{ax + 1}{x}=2$无解，则$a=$.

2.2

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身没有解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分别对两种情况讨论计算即可得到参数的值。
【解析】
原分式方程$\dfrac{ax + 1}{x}=2$的分母为$x$，因此若方程存在增根，则增根为$x=0$。
给方程两边同时乘$x$（$x≠0$）去分母，得：
$ax + 1 = 2x$
移项合并同类项，得：$(a - 2)x = -1$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时，未知数的系数为0且常数项不为0，即$a - 2 = 0$，解得$a=2$。此时方程变为$0· x = -1$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解。
2. 当整式方程的解为原分式方程的增根$x=0$时，将$x=0$代入$(a - 2)x = -1$，得左边$=0$，右边$=-1$，$0=-1$不成立，因此该情况不存在。
综上，$a$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的解法；增根的判定；一元一次方程无解条件
【点评】
本题是分式方程无解类的典型考题，解题关键是牢记分式方程无解的两种情况，分类讨论时注意不要漏算整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6

3. 某人上山、下山的路程都是$s$,上山速度是$v_1$,下山速度是$v_2$,则这个人上山和下山的平均速度是.

3.$\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

【分析】
要计算上山和下山的平均速度，首先要明确平均速度的计算公式是平均速度=总路程÷总时间，不能直接将两个速度取平均值。解题思路分为三步：第一步计算上山、下山的总路程；第二步分别计算上山、下山的时间，求和得到总时间；第三步用总路程除以总时间，化简后即可得到平均速度。
【解析】
首先计算总路程：上山和下山的路程均为$s$，因此总路程$S_{\mathrm{总}}=s+s=2s$。
其次计算总时间：
根据公式$时间=路程÷ 速度$，上山的时间$t_1=\frac{s}{v_1}$，下山的时间$t_2=\frac{s}{v_2}$，
因此总时间$t_{\mathrm{总}}=t_1+t_2=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}$，通分后得$t_{\mathrm{总}}=\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2}$。
最后计算平均速度：
$v_{\mathrm{平均}}=\frac{S_{\mathrm{总}}}{t_{\mathrm{总}}}=\frac{2s}{\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2}}$，约掉分子分母的$s$后，化简得$v_{\mathrm{平均}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$。
【答案】
$\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
【知识点】
1. 平均速度的计算
2. 分式的化简运算
【点评】
本题是行程类问题的典型基础题，核心易错点是混淆平均速度与速度的平均值，解题时必须严格遵循平均速度的定义，即总路程除以总时间进行计算，切勿直接对两个速度求算术平均数。
【难度系数】
0.7

4. 使关于$x$的分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-a}$有正整数解的$a$的取值范围是.

4.$a ＜ 2$ 且 $a ≠ 1$

【分析】
解决本题的思路如下：首先将分式方程通过去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；其次结合分式方程有意义的条件（分母不为0，排除增根），得到a的初步限制；最后根据解为正的要求，列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：给分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-a}$两边同乘最简公分母$(x-1)(x-a)$（此时需满足$x≠1$且$x≠ a$，否则分式无意义），去分母得：
$x - a = 2(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$x - a = 2x - 2$
移项得：$x = 2 - a$
① 因为方程的解为正，所以$x＞0$，即$2 - a ＞ 0$，解得$a ＜ 2$；
② 因为分式方程无增根，所以$x≠1$，代入$x=2-a$得：$2 - a ≠ 1$，解得$a≠1$；
同时验证$x≠ a$：将$x=2-a$代入得$2 - a ≠ a$，解得$a≠1$，与上述限制一致。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 1$。
【答案】
$a ＜ 2$ 且 $a ≠ 1$
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查分式方程解的相关应用，解题时要注意分式方程分母不能为0的隐含条件，避免漏写$a≠1$的限制导致出错。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 解下列方程：
(1)$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x^2 - 1};$
(2)$\frac{x}{x+1}+1=\frac{5}{2x+2}$

解：
(1) 由平方差公式可知 $x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母 $(x+1)(x-1)$，得：
$2(x-1)+3(x+1)=6$
展开并整理得：$2x-2+3x+3=6$，即 $5x=5$，解得 $x=1$。
检验：当 $x=1$ 时，$(x+1)(x-1)=0$，因此 $x=1$ 是原分式方程的增根，原方程无解。
(2) 先对分母变形得 $2x+2=2(x+1)$，方程两边同时乘最简公分母 $2(x+1)$，得：
$2x + 2(x+1)=5$
展开并整理得：$2x+2x+2=5$，即 $4x=3$，解得 $x=\frac{3}{4}$。
检验：当 $x=\frac{3}{4}$ 时，$2(x+1) ≠ 0$，因此原方程的解为 $x=\frac{3}{4}$。

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，标准步骤为：①找各分母的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④将解代入最简公分母检验，若公分母为0则该解为增根，原方程无解，若公分母不为0则为原方程的解。
针对本题两小问：(1)先利用平方差公式分解$x^2-1$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，去分母后解一元一次方程再检验即可；(2)先将$2x+2$提取公因式变形，可得最简公分母为$2(x+1)$，按上述步骤求解即可，注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【解析】
(1) 由平方差公式可知$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$2(x-1)+3(x+1)=6$
展开并整理得：$2x-2+3x+3=6$，即$5x=5$，解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，原方程无解。
(2) 先对分母变形得$2x+2=2(x+1)$，方程两边同时乘最简公分母$2(x+1)$，得：
$2x + 2(x+1)=5$
展开并整理得：$2x+2x+2=5$，即$4x=3$，解得$x=\frac{3}{4}$。
检验：当$x=\frac{3}{4}$时，$2(x+1) ≠ 0$，因此原方程的解为$x=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 原方程无解；(2) $x=\frac{3}{4}$
【知识点】
分式方程解法，增根检验，因式分解
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤，尤其注意不要遗漏检验环节，去分母时要避免漏乘常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.7