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三、解答题
1. 计算:
(1)$\frac{12}{m^2 -4} + \frac{3}{2 -m}$;
(2)$\frac{1}{a -x} - \frac{1}{a +x} - \frac{2x}{a^2 +x^2} - \frac{4x^3}{a^4 +x^4} + \frac{8x^7}{x^8 +a^8}$.
1. 计算:
(1)$\frac{12}{m^2 -4} + \frac{3}{2 -m}$;
(2)$\frac{1}{a -x} - \frac{1}{a +x} - \frac{2x}{a^2 +x^2} - \frac{4x^3}{a^4 +x^4} + \frac{8x^7}{x^8 +a^8}$.
答案
1.(1) $-\frac{3}{m + 2}$
(2) $\frac{16a^8x^7}{a^{16} - x^{16}}$
(2) $\frac{16a^8x^7}{a^{16} - x^{16}}$
解析
【分析】
(1) 本题是异分母分式加法运算，解题思路：先对分母因式分解，观察到第二个分式的分母$2-m$与第一个分式分解后的因式$m-2$互为相反数，先调整符号将分式变形，再确定最简公分母通分，转化为同分母分式加减后合并分子，最后约分化为最简分式。
(2) 本题是多个分式的加减运算，若直接通分计算量极大，解题思路：观察发现每两个相邻分式的分母符合平方差公式的特征，因此采用逐步通分的方法，每计算完两个分式就利用平方差公式化简结果，再与下一个分式运算，大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$m^2-4=(m+2)(m-2)$，对第二个分式变形：$\frac{3}{2-m}=-\frac{3}{m-2}$
原式$=\frac{12}{(m+2)(m-2)} - \frac{3}{m-2}$
通分，最简公分母为$(m+2)(m-2)$：
$=\frac{12}{(m+2)(m-2)} - \frac{3(m+2)}{(m+2)(m-2)}$
合并分子：
$=\frac{12 - 3m -6}{(m+2)(m-2)} = \frac{6-3m}{(m+2)(m-2)} = \frac{-3(m-2)}{(m+2)(m-2)}$
约去公因式$(m-2)$（$m≠2$）：
$=-\frac{3}{m+2}$
(2) 逐步通分计算：
第一步：计算前两项的差
$\frac{1}{a-x} - \frac{1}{a+x} = \frac{(a+x)-(a-x)}{(a-x)(a+x)} = \frac{2x}{a^2 - x^2}$
第二步：用上述结果减第三个分式
$\frac{2x}{a^2 - x^2} - \frac{2x}{a^2 + x^2} = \frac{2x(a^2+x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 -x^2)(a^2+x^2)} = \frac{4x^3}{a^4 - x^4}$
第三步：用上述结果减第四个分式
$\frac{4x^3}{a^4 - x^4} - \frac{4x^3}{a^4 + x^4} = \frac{4x^3(a^4+x^4) - 4x^3(a^4 -x^4)}{(a^4 -x^4)(a^4+x^4)} = \frac{8x^7}{a^8 - x^8}$
第四步：用上述结果加最后一个分式
$\frac{8x^7}{a^8 - x^8} + \frac{8x^7}{a^8 + x^8} = \frac{8x^7(a^8+x^8) + 8x^7(a^8 -x^8)}{(a^8 -x^8)(a^8+x^8)} = \frac{16a^8x^7}{a^{16} - x^{16}}$
【答案】
(1) $-\frac{3}{m + 2}$
(2) $\frac{16a^8x^7}{a^{16} - x^{16}}$
【知识点】
异分母分式加减法、因式分解、平方差公式
【点评】
这两道题是分式加减运算的典型习题，第(1)题要注意互为相反数的分母的符号调整，通分后分子合并要注意去括号的符号变化，最后记得约分；第(2)题解题关键是观察分母的结构特征，采用逐步通分的技巧结合平方差公式简化运算，避免直接通分带来的巨大计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.6
(1) 本题是异分母分式加法运算，解题思路：先对分母因式分解，观察到第二个分式的分母$2-m$与第一个分式分解后的因式$m-2$互为相反数，先调整符号将分式变形，再确定最简公分母通分，转化为同分母分式加减后合并分子，最后约分化为最简分式。
(2) 本题是多个分式的加减运算，若直接通分计算量极大，解题思路：观察发现每两个相邻分式的分母符合平方差公式的特征，因此采用逐步通分的方法，每计算完两个分式就利用平方差公式化简结果，再与下一个分式运算，大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$m^2-4=(m+2)(m-2)$，对第二个分式变形：$\frac{3}{2-m}=-\frac{3}{m-2}$
原式$=\frac{12}{(m+2)(m-2)} - \frac{3}{m-2}$
通分，最简公分母为$(m+2)(m-2)$：
$=\frac{12}{(m+2)(m-2)} - \frac{3(m+2)}{(m+2)(m-2)}$
合并分子：
$=\frac{12 - 3m -6}{(m+2)(m-2)} = \frac{6-3m}{(m+2)(m-2)} = \frac{-3(m-2)}{(m+2)(m-2)}$
约去公因式$(m-2)$（$m≠2$）：
$=-\frac{3}{m+2}$
(2) 逐步通分计算：
第一步：计算前两项的差
$\frac{1}{a-x} - \frac{1}{a+x} = \frac{(a+x)-(a-x)}{(a-x)(a+x)} = \frac{2x}{a^2 - x^2}$
第二步：用上述结果减第三个分式
$\frac{2x}{a^2 - x^2} - \frac{2x}{a^2 + x^2} = \frac{2x(a^2+x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 -x^2)(a^2+x^2)} = \frac{4x^3}{a^4 - x^4}$
第三步：用上述结果减第四个分式
$\frac{4x^3}{a^4 - x^4} - \frac{4x^3}{a^4 + x^4} = \frac{4x^3(a^4+x^4) - 4x^3(a^4 -x^4)}{(a^4 -x^4)(a^4+x^4)} = \frac{8x^7}{a^8 - x^8}$
第四步：用上述结果加最后一个分式
$\frac{8x^7}{a^8 - x^8} + \frac{8x^7}{a^8 + x^8} = \frac{8x^7(a^8+x^8) + 8x^7(a^8 -x^8)}{(a^8 -x^8)(a^8+x^8)} = \frac{16a^8x^7}{a^{16} - x^{16}}$
【答案】
(1) $-\frac{3}{m + 2}$
(2) $\frac{16a^8x^7}{a^{16} - x^{16}}$
【知识点】
异分母分式加减法、因式分解、平方差公式
【点评】
这两道题是分式加减运算的典型习题，第(1)题要注意互为相反数的分母的符号调整，通分后分子合并要注意去括号的符号变化，最后记得约分；第(2)题解题关键是观察分母的结构特征，采用逐步通分的技巧结合平方差公式简化运算，避免直接通分带来的巨大计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.6
2. 已知$\frac{A}{x+3} - \frac{B}{2x-1} = \frac{3x -5}{$
$}$，求A,B的值。
$}$，求A,B的值。答案
2.$A=2\ \ B=1$
解析
【分析】
要计算A、B的值，首先对等式左侧的异分母分式通分，通分后左右两侧分式的分母相同，因此分子必然相等；再将左侧分子展开合并同类项，根据多项式相等时对应项的系数相等，列出关于A、B的二元一次方程组，求解方程组即可得到A、B的数值。
【解析】
先对等式左侧通分，公分母为$(x+3)(2x-1)$，可得：
$\frac{A}{x+3}-\frac{B}{2x-1}=\frac{A(2x-1)-B(x+3)}{(x+3)(2x-1)}$
已知该式等于$\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)}$，且分式有意义时分母不为0，因此分子相等：
$A(2x-1)-B(x+3)=3x-5$
展开左侧并合并同类项：
$2Ax - A - Bx - 3B = 3x -5$
$(2A-B)x + (-A-3B) = 3x -5$
根据多项式相等对应系数相等，得方程组：
$\begin{cases}2A - B = 3 \\ -A - 3B = -5 \end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$B=2A-3$，代入第二个方程：
$-A -3(2A-3) = -5$
$-A -6A +9 = -5$
$-7A = -14$
解得$A=2$，将$A=2$代入$B=2A-3$，得$B=2×2 -3=1$。
【答案】
$A=2，B=1$
【知识点】
分式的通分，待定系数法，解二元一次方程组
【点评】
本题是分式运算与方程知识结合的基础综合题，解题关键是利用通分后分子相等、对应系数匹配建立方程组，计算时要注意符号处理，避免通分、去括号环节出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要计算A、B的值，首先对等式左侧的异分母分式通分，通分后左右两侧分式的分母相同，因此分子必然相等；再将左侧分子展开合并同类项，根据多项式相等时对应项的系数相等，列出关于A、B的二元一次方程组，求解方程组即可得到A、B的数值。
【解析】
先对等式左侧通分，公分母为$(x+3)(2x-1)$，可得：
$\frac{A}{x+3}-\frac{B}{2x-1}=\frac{A(2x-1)-B(x+3)}{(x+3)(2x-1)}$
已知该式等于$\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)}$，且分式有意义时分母不为0，因此分子相等：
$A(2x-1)-B(x+3)=3x-5$
展开左侧并合并同类项：
$2Ax - A - Bx - 3B = 3x -5$
$(2A-B)x + (-A-3B) = 3x -5$
根据多项式相等对应系数相等，得方程组：
$\begin{cases}2A - B = 3 \\ -A - 3B = -5 \end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$B=2A-3$，代入第二个方程：
$-A -3(2A-3) = -5$
$-A -6A +9 = -5$
$-7A = -14$
解得$A=2$，将$A=2$代入$B=2A-3$，得$B=2×2 -3=1$。
【答案】
$A=2，B=1$
【知识点】
分式的通分，待定系数法，解二元一次方程组
【点评】
本题是分式运算与方程知识结合的基础综合题，解题关键是利用通分后分子相等、对应系数匹配建立方程组，计算时要注意符号处理，避免通分、去括号环节出现符号错误。
【难度系数】
0.7
3.已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{1}{15}$，求$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值.
答案
3.$\frac{180}{31}$
解析
【分析】
观察所求代数式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的结构，若直接求解x、y、z的值运算量较大，可采用倒数法简化运算：先将所求代数式取倒数，拆分后可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，刚好与已知的三个两两倒数和的等式相关。将三个已知等式相加可得到2倍的$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，计算出三个倒数的和后，再取倒数即可得到原式的结果。
【解析】
设$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$ ①，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{9}$ ②，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{1}{15}$ ③。
将①+②+③，得：
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$
对右边通分计算：
$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{15}{90}+\frac{10}{90}+\frac{6}{90}=\frac{31}{90}$
因此$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{31}{180}$。
对所求代数式取倒数，可得：
$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{31}{180}$
因此$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=\frac{180}{31}$。
【答案】
$\frac{180}{31}$
【知识点】
分式化简求值，倒数法，分式加减运算
【点评】
本题是分式求值类的典型题型，核心是利用整体思想和倒数转化的技巧简化运算，避免了单独求解未知数的复杂计算，熟练掌握此类变形技巧能大幅提高分式运算的效率。
【难度系数】
0.6
观察所求代数式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的结构，若直接求解x、y、z的值运算量较大，可采用倒数法简化运算：先将所求代数式取倒数，拆分后可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，刚好与已知的三个两两倒数和的等式相关。将三个已知等式相加可得到2倍的$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，计算出三个倒数的和后，再取倒数即可得到原式的结果。
【解析】
设$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$ ①，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{9}$ ②，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{1}{15}$ ③。
将①+②+③，得：
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$
对右边通分计算：
$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{15}{90}+\frac{10}{90}+\frac{6}{90}=\frac{31}{90}$
因此$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{31}{180}$。
对所求代数式取倒数，可得：
$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{31}{180}$
因此$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=\frac{180}{31}$。
【答案】
$\frac{180}{31}$
【知识点】
分式化简求值，倒数法，分式加减运算
【点评】
本题是分式求值类的典型题型，核心是利用整体思想和倒数转化的技巧简化运算，避免了单独求解未知数的复杂计算，熟练掌握此类变形技巧能大幅提高分式运算的效率。
【难度系数】
0.6
4.某五金商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同，求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别是多少元？
答案
4.每个甲种零件的进价是8元,每个乙种零件的进价是10元.
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题时先梳理题干中的等量关系：①每个甲种零件的进价=每个乙种零件的进价-2元；②80元购进甲种零件的数量=100元购进乙种零件的数量。我们可以先设甲种零件的进价为未知数，借助关系①用含未知数的式子表示乙种零件的进价，再结合“数量=总价÷单价”的公式，根据关系②列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验根是否符合方程要求和实际意义。
【解析】
解：设每个甲种零件的进价为$x$元，则每个乙种零件的进价为$(x+2)$元。
根据两种零件购进数量相等的关系可列方程：
$\frac{80}{x}=\frac{100}{x+2}$
交叉相乘去分母得：
$80(x+2)=100x$
展开得：
$80x+160=100x$
移项合并同类项得：
$20x=160$
解得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$x(x+2)=8×10=80≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙种零件的进价为$x+2=8+2=10$（元）
【答案】
每个甲种零件的进价是8元，每个乙种零件的进价是10元。
【知识点】
分式方程应用、等量关系建立、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是抓住“购进数量相同”这一关键等量关系建立方程，求解后要注意检验根的合理性，避免出现增根或不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.8
这是分式方程的实际应用题，解题时先梳理题干中的等量关系：①每个甲种零件的进价=每个乙种零件的进价-2元；②80元购进甲种零件的数量=100元购进乙种零件的数量。我们可以先设甲种零件的进价为未知数，借助关系①用含未知数的式子表示乙种零件的进价，再结合“数量=总价÷单价”的公式，根据关系②列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验根是否符合方程要求和实际意义。
【解析】
解：设每个甲种零件的进价为$x$元，则每个乙种零件的进价为$(x+2)$元。
根据两种零件购进数量相等的关系可列方程：
$\frac{80}{x}=\frac{100}{x+2}$
交叉相乘去分母得：
$80(x+2)=100x$
展开得：
$80x+160=100x$
移项合并同类项得：
$20x=160$
解得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$x(x+2)=8×10=80≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙种零件的进价为$x+2=8+2=10$（元）
【答案】
每个甲种零件的进价是8元，每个乙种零件的进价是10元。
【知识点】
分式方程应用、等量关系建立、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是抓住“购进数量相同”这一关键等量关系建立方程，求解后要注意检验根的合理性，避免出现增根或不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.8
