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一、选择题
1. 分式$\frac{b}{ax}, -\frac{c}{3bx}, \frac{a}{5cx^3}$的最简公分母是（
A.$5cx^3$
B.$15abcx$
C.$15abcx^3$
D.$15abcx^5$
1. 分式$\frac{b}{ax}, -\frac{c}{3bx}, \frac{a}{5cx^3}$的最简公分母是（
C
）A.$5cx^3$
B.$15abcx$
C.$15abcx^3$
D.$15abcx^5$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定几个分式的最简公分母，我们可以按照固定思路逐步推导：第一步先找各分母系数的最小公倍数；第二步找出所有分母中出现过的不同字母；第三步取每个字母在各分母中的最高次幂，最后将这几部分相乘，得到的结果就是最简公分母，我们按照这个思路分析题目中的三个分母即可。
【解析】
解：先列出三个分式的分母分别为：$ax$、$3bx$、$5cx^3$。
1. 求系数的最小公倍数：三个分母的系数分别是1、3、5，三者的最小公倍数为$1×3×5=15$；
2. 提取所有出现的不同字母：分母中出现的字母有$a$、$b$、$c$、$x$；
3. 取各字母的最高次幂：$a$的最高次为1次，$b$的最高次为1次，$c$的最高次为1次，$x$的最高次为3次；
将以上部分相乘可得最简公分母：$15× a× b× c× x^3=15abcx^3$。
故选C。
【答案】C
【知识点】最简公分母的确定、分式的通分
【点评】本题属于基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，牢记“系数取最小公倍数、不同字母全取、相同字母取最高次幂”的规则即可快速求解。
【难度系数】0.8
要确定几个分式的最简公分母，我们可以按照固定思路逐步推导：第一步先找各分母系数的最小公倍数；第二步找出所有分母中出现过的不同字母；第三步取每个字母在各分母中的最高次幂，最后将这几部分相乘，得到的结果就是最简公分母，我们按照这个思路分析题目中的三个分母即可。
【解析】
解：先列出三个分式的分母分别为：$ax$、$3bx$、$5cx^3$。
1. 求系数的最小公倍数：三个分母的系数分别是1、3、5，三者的最小公倍数为$1×3×5=15$；
2. 提取所有出现的不同字母：分母中出现的字母有$a$、$b$、$c$、$x$；
3. 取各字母的最高次幂：$a$的最高次为1次，$b$的最高次为1次，$c$的最高次为1次，$x$的最高次为3次；
将以上部分相乘可得最简公分母：$15× a× b× c× x^3=15abcx^3$。
故选C。
【答案】C
【知识点】最简公分母的确定、分式的通分
【点评】本题属于基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，牢记“系数取最小公倍数、不同字母全取、相同字母取最高次幂”的规则即可快速求解。
【难度系数】0.8
2. 下列各式计算错误的是（
A.$\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a-b} - \frac{4b}{a-b} = \frac{4(a - b)}{a - b} = 4$
B.$\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{x - 2y}{y^2 - x^2} + \frac{y}{y^2 - x^2} = \frac{2x + x - 2y - y}{x^2 - y^2} = \frac{3(x - y)}{x^2 - y^2} = \frac{3}{x + y}$
C.$\frac{5}{6a^2b} - \frac{2}{3ab^2} + \frac{3}{4abc} = \frac{10bc - 8ac + 9ab}{12a^2b^2c}$
D.$\frac{12}{m^2 - 9} + \frac{2}{3 - m} = \frac{12 - 2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)} = \frac{2}{m + 3}$
D
）A.$\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a-b} - \frac{4b}{a-b} = \frac{4(a - b)}{a - b} = 4$
B.$\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{x - 2y}{y^2 - x^2} + \frac{y}{y^2 - x^2} = \frac{2x + x - 2y - y}{x^2 - y^2} = \frac{3(x - y)}{x^2 - y^2} = \frac{3}{x + y}$
C.$\frac{5}{6a^2b} - \frac{2}{3ab^2} + \frac{3}{4abc} = \frac{10bc - 8ac + 9ab}{12a^2b^2c}$
D.$\frac{12}{m^2 - 9} + \frac{2}{3 - m} = \frac{12 - 2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)} = \frac{2}{m + 3}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查分式加减运算的正误判断，解题思路是结合分式加减运算法则逐一验证每个选项：同分母分式加减时，分母不变，分子相加减后约分；异分母分式加减时先通分转化为同分母分式再计算，注意分母互为相反数时要正确变换符号，最后找出计算错误的选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：三个分式为同分母分式，按法则计算：
$\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a-b} - \frac{4b}{a-b} = \frac{a+3a-4b}{a-b} = \frac{4(a-b)}{a-b} = 4$，计算正确，不符合题意。
选项B：分母$x^2-y^2$与$y^2-x^2$互为相反数，先统一分母为$x^2-y^2$：
$\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{x - 2y}{y^2 - x^2} + \frac{y}{y^2 - x^2} = \frac{2x}{x^2 - y^2} + \frac{x-2y}{x^2 - y^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} = \frac{2x+x-2y-y}{x^2 - y^2} = \frac{3(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{3}{x+y}$，计算正确，不符合题意。
选项C：异分母分式通分，最简公分母为$12a^2b^2c$：
$\frac{5}{6a^2b} = \frac{10bc}{12a^2b^2c}$，$\frac{2}{3ab^2} = \frac{8ac}{12a^2b^2c}$，$\frac{3}{4abc} = \frac{9ab}{12a^2b^2c}$，
因此原式$=\frac{10bc - 8ac + 9ab}{12a^2b^2c}$，计算正确，不符合题意。
选项D：先分解分母$m^2-9=(m+3)(m-3)$，$3-m=-(m-3)$，统一分母为$(m+3)(m-3)$：
$\frac{12}{m^2 - 9} + \frac{2}{3 - m} = \frac{12}{(m+3)(m-3)} - \frac{2}{m-3} = \frac{12 - 2(m+3)}{(m+3)(m-3)} = \frac{12-2m-6}{(m+3)(m-3)} = \frac{-2(m-3)}{(m+3)(m-3)} = -\frac{2}{m+3}$，
选项中结果为$\frac{2}{m+3}$，符号错误，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式通分，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，易错点是处理互为相反数的分母时符号变换错误，以及通分、约分时计算失误，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查分式加减运算的正误判断，解题思路是结合分式加减运算法则逐一验证每个选项：同分母分式加减时，分母不变，分子相加减后约分；异分母分式加减时先通分转化为同分母分式再计算，注意分母互为相反数时要正确变换符号，最后找出计算错误的选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：三个分式为同分母分式，按法则计算：
$\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a-b} - \frac{4b}{a-b} = \frac{a+3a-4b}{a-b} = \frac{4(a-b)}{a-b} = 4$，计算正确，不符合题意。
选项B：分母$x^2-y^2$与$y^2-x^2$互为相反数，先统一分母为$x^2-y^2$：
$\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{x - 2y}{y^2 - x^2} + \frac{y}{y^2 - x^2} = \frac{2x}{x^2 - y^2} + \frac{x-2y}{x^2 - y^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} = \frac{2x+x-2y-y}{x^2 - y^2} = \frac{3(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{3}{x+y}$，计算正确，不符合题意。
选项C：异分母分式通分，最简公分母为$12a^2b^2c$：
$\frac{5}{6a^2b} = \frac{10bc}{12a^2b^2c}$，$\frac{2}{3ab^2} = \frac{8ac}{12a^2b^2c}$，$\frac{3}{4abc} = \frac{9ab}{12a^2b^2c}$，
因此原式$=\frac{10bc - 8ac + 9ab}{12a^2b^2c}$，计算正确，不符合题意。
选项D：先分解分母$m^2-9=(m+3)(m-3)$，$3-m=-(m-3)$，统一分母为$(m+3)(m-3)$：
$\frac{12}{m^2 - 9} + \frac{2}{3 - m} = \frac{12}{(m+3)(m-3)} - \frac{2}{m-3} = \frac{12 - 2(m+3)}{(m+3)(m-3)} = \frac{12-2m-6}{(m+3)(m-3)} = \frac{-2(m-3)}{(m+3)(m-3)} = -\frac{2}{m+3}$，
选项中结果为$\frac{2}{m+3}$，符号错误，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式通分，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，易错点是处理互为相反数的分母时符号变换错误，以及通分、约分时计算失误，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 计算$\frac{m+2n}{n-m}+\frac{n}{m-n}-\frac{2m}{n-m}$的结果是
1. 计算$\frac{m+2n}{n-m}+\frac{n}{m-n}-\frac{2m}{n-m}$的结果是
1
.答案
1.1
解析
【分析】
这是分式加减运算题，解题思路清晰：首先观察各分式的分母，发现m-n和n-m互为相反数，可利用分式基本性质将第二个分式的分母转化为n-m，让三个分式分母统一；其次依据同分母分式加减法法则，保持分母不变，仅对分子做加减运算；最后合并化简分子后约分即可得到结果，计算时要格外注意符号变化，避免因符号出错失分。
【解析】
首先根据分式的基本性质对第二个分式变形，可得：$\frac{n}{m-n}=\frac{n}{-(n-m)}=-\frac{n}{n-m}$
将其代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m+2n}{n-m}-\frac{n}{n-m}-\frac{2m}{n-m}\\&=\frac{(m+2n)-n-2m}{n-m}\\&=\frac{m+2n-n-2m}{n-m}\\&=\frac{n-m}{n-m}\\&=1\end{aligned}$
（注：原式有意义时分母$n-m≠0$，可直接约分）
【答案】
1
【知识点】
1.分式的基本性质 2.同分母分式加减法 3.分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分母互为相反数的分式统一分母的技巧，计算时要做好符号转换，分子加减时准确合并同类项，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.75
这是分式加减运算题，解题思路清晰：首先观察各分式的分母，发现m-n和n-m互为相反数，可利用分式基本性质将第二个分式的分母转化为n-m，让三个分式分母统一；其次依据同分母分式加减法法则，保持分母不变，仅对分子做加减运算；最后合并化简分子后约分即可得到结果，计算时要格外注意符号变化，避免因符号出错失分。
【解析】
首先根据分式的基本性质对第二个分式变形，可得：$\frac{n}{m-n}=\frac{n}{-(n-m)}=-\frac{n}{n-m}$
将其代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m+2n}{n-m}-\frac{n}{n-m}-\frac{2m}{n-m}\\&=\frac{(m+2n)-n-2m}{n-m}\\&=\frac{m+2n-n-2m}{n-m}\\&=\frac{n-m}{n-m}\\&=1\end{aligned}$
（注：原式有意义时分母$n-m≠0$，可直接约分）
【答案】
1
【知识点】
1.分式的基本性质 2.同分母分式加减法 3.分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分母互为相反数的分式统一分母的技巧，计算时要做好符号转换，分子加减时准确合并同类项，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.75
2. 已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}$，则$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值是
-1
。答案
2.-1
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，先对已知等式左边的分式通分化简，再通过交叉相乘去分母，结合完全平方公式推导得到$a^2 + b^2$与$ab$的数量关系；再将待求的代数式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分变形，最后把推导得到的关系整体代入即可求出结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
首先化简已知等式：
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分，得$\frac{a + b}{ab}$，因此已知等式可变形为：
$\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{a + b}$
由题可知$a≠0$，$b≠0$，$a + b≠0$，交叉相乘去分母得：
$(a + b)^2 = ab$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2ab + b^2 = ab$
移项整理得：
$a^2 + b^2 = -ab$
再化简待求式：
对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分，得$\frac{a^2 + b^2}{ab}$
将$a^2 + b^2 = -ab$代入上式：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{-ab}{ab}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心解题思路是通过变形已知条件得到所求代数式需要的整体关系，避免单独求未知量的繁琐，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，先对已知等式左边的分式通分化简，再通过交叉相乘去分母，结合完全平方公式推导得到$a^2 + b^2$与$ab$的数量关系；再将待求的代数式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分变形，最后把推导得到的关系整体代入即可求出结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
首先化简已知等式：
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分，得$\frac{a + b}{ab}$，因此已知等式可变形为：
$\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{a + b}$
由题可知$a≠0$，$b≠0$，$a + b≠0$，交叉相乘去分母得：
$(a + b)^2 = ab$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2ab + b^2 = ab$
移项整理得：
$a^2 + b^2 = -ab$
再化简待求式：
对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分，得$\frac{a^2 + b^2}{ab}$
将$a^2 + b^2 = -ab$代入上式：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{-ab}{ab}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心解题思路是通过变形已知条件得到所求代数式需要的整体关系，避免单独求未知量的繁琐，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
3. 张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地。张华在前半段路程的平均步行速度是$a$ km/h，在后半段路程的平均步行速度是$b$ km/h；李明全程的步行速度是$\frac{a + b}{2}$ km/h. 已知甲乙两地的路程为1 km，且$a≠b$，张华从甲地到乙地所用的时间为
$\frac{a + b}{2ab}$
h；张华和李明先到达乙地的是李明
（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”）。答案
3.$\frac{a + b}{2ab}$ 李明
解析
【分析】
第一问求张华的用时，根据“时间=路程÷速度”，张华分两段走完全程，先分别算出两段路程的用时再相加即可；第二问判断谁先到达，只需先求出李明的全程用时，再和张华的用时比较大小，用时更短的先到，比较两个分式的大小可以采用作差法，结合完全平方公式判断差的正负即可。
【解析】
1. 计算张华从甲地到乙地的用时：
甲乙两地总路程为1km，因此前半段、后半段路程均为$\frac{1}{2}$km。
根据时间计算公式，张华走前半段路程的用时为$\frac{\frac{1}{2}}{a}=\frac{1}{2a}$ h，走后半段路程的用时为$\frac{\frac{1}{2}}{b}=\frac{1}{2b}$ h。
因此张华总用时：
$t_张=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{b+a}{2ab}=\frac{a+b}{2ab}$ h。
2. 比较两人的用时判断谁先到达：
李明全程平均速度为$\frac{a+b}{2}$ km/h，因此李明走完全程的用时：
$t_李=\frac{1}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2}{a+b}$ h。
用作差法比较$t_张$和$t_李$的大小：
$t_张 - t_李 = \frac{a+b}{2ab} - \frac{2}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2ab(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2ab(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
因为a、b均为正数（速度为正），且$a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2ab(a+b)＞0$，因此$t_张 - t_李＞0$，即$t_张＞t_李$，李明用时更短，先到达乙地。
【答案】
$\frac{a + b}{2ab}$；李明
【知识点】
行程问题公式，分式运算，作差法比较大小
【点评】
本题结合行程场景考察分式的运算和大小比较，解题关键是准确根据速度、路程、时间的关系表示出两人的用时，再通过作差法结合完全平方公式判断大小，计算时要注意通分的正确性，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
第一问求张华的用时，根据“时间=路程÷速度”，张华分两段走完全程，先分别算出两段路程的用时再相加即可；第二问判断谁先到达，只需先求出李明的全程用时，再和张华的用时比较大小，用时更短的先到，比较两个分式的大小可以采用作差法，结合完全平方公式判断差的正负即可。
【解析】
1. 计算张华从甲地到乙地的用时：
甲乙两地总路程为1km，因此前半段、后半段路程均为$\frac{1}{2}$km。
根据时间计算公式，张华走前半段路程的用时为$\frac{\frac{1}{2}}{a}=\frac{1}{2a}$ h，走后半段路程的用时为$\frac{\frac{1}{2}}{b}=\frac{1}{2b}$ h。
因此张华总用时：
$t_张=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{b+a}{2ab}=\frac{a+b}{2ab}$ h。
2. 比较两人的用时判断谁先到达：
李明全程平均速度为$\frac{a+b}{2}$ km/h，因此李明走完全程的用时：
$t_李=\frac{1}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2}{a+b}$ h。
用作差法比较$t_张$和$t_李$的大小：
$t_张 - t_李 = \frac{a+b}{2ab} - \frac{2}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2ab(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2ab(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
因为a、b均为正数（速度为正），且$a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2ab(a+b)＞0$，因此$t_张 - t_李＞0$，即$t_张＞t_李$，李明用时更短，先到达乙地。
【答案】
$\frac{a + b}{2ab}$；李明
【知识点】
行程问题公式，分式运算，作差法比较大小
【点评】
本题结合行程场景考察分式的运算和大小比较，解题关键是准确根据速度、路程、时间的关系表示出两人的用时，再通过作差法结合完全平方公式判断大小，计算时要注意通分的正确性，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
4.加工一批零件,甲、乙合作需a小时,甲单独完成需b小时,则乙单独完成需
$\frac{ab}{b - a}$
小时.答案
4.$\frac{ab}{b - a}$
解析
【分析】
这是工程类应用题，解题时我们通常将总工作量看作单位“1”，利用“工作效率=工作总量÷工作时间”的关系推导：第一步先求出甲乙合作的工作效率，第二步求出甲单独做的工作效率，第三步用合作效率减去甲的效率得到乙的工作效率，最后用总工作量除以乙的工作效率就能得到乙单独完成所需的时间，过程中注意遵循分式运算的规则即可。
【解析】
解：将这批零件的总工作量看作单位“1”。
1. 甲乙合作的工作效率：$\mathrm{工作效率}_{合}=\frac{\mathrm{总工作量}}{\mathrm{合作时间}}=\frac{1}{a}$
2. 甲单独做的工作效率：$\mathrm{工作效率}_{甲}=\frac{\mathrm{总工作量}}{\mathrm{甲单独完成时间}}=\frac{1}{b}$
3. 乙的工作效率：$\mathrm{工作效率}_{乙}=\mathrm{工作效率}_{合}-\mathrm{工作效率}_{甲}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}$
4. 乙单独完成的时间：$\mathrm{时间}_{乙}=\frac{\mathrm{总工作量}}{\mathrm{工作效率}_{乙}}=1÷\frac{b - a}{ab}=\frac{ab}{b - a}$
【答案】
$\frac{ab}{b - a}$
【知识点】
1. 工程问题基本关系 2. 分式运算
【点评】
本题是工程问题的常考基础题型，核心解题思路是将工作总量设为单位“1”，通过工作效率的和差关系求出单人工作效率，解题过程中要熟练掌握分式通分、除法的运算规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.7
这是工程类应用题，解题时我们通常将总工作量看作单位“1”，利用“工作效率=工作总量÷工作时间”的关系推导：第一步先求出甲乙合作的工作效率，第二步求出甲单独做的工作效率，第三步用合作效率减去甲的效率得到乙的工作效率，最后用总工作量除以乙的工作效率就能得到乙单独完成所需的时间，过程中注意遵循分式运算的规则即可。
【解析】
解：将这批零件的总工作量看作单位“1”。
1. 甲乙合作的工作效率：$\mathrm{工作效率}_{合}=\frac{\mathrm{总工作量}}{\mathrm{合作时间}}=\frac{1}{a}$
2. 甲单独做的工作效率：$\mathrm{工作效率}_{甲}=\frac{\mathrm{总工作量}}{\mathrm{甲单独完成时间}}=\frac{1}{b}$
3. 乙的工作效率：$\mathrm{工作效率}_{乙}=\mathrm{工作效率}_{合}-\mathrm{工作效率}_{甲}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}$
4. 乙单独完成的时间：$\mathrm{时间}_{乙}=\frac{\mathrm{总工作量}}{\mathrm{工作效率}_{乙}}=1÷\frac{b - a}{ab}=\frac{ab}{b - a}$
【答案】
$\frac{ab}{b - a}$
【知识点】
1. 工程问题基本关系 2. 分式运算
【点评】
本题是工程问题的常考基础题型，核心解题思路是将工作总量设为单位“1”，通过工作效率的和差关系求出单人工作效率，解题过程中要熟练掌握分式通分、除法的运算规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.7
