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2. 已知 $ P = x + 2 $，$ Q = \dfrac{8x}{x + 2} $。
(1) 当 $ x = 1 $ 时，$ P - Q $ 的值为
(2) 当 $ x ＞ 0 $ 时，判断 $ P $ 与 $ Q $ 的大小关系，并说明理由。
(3) 设 $ y = \dfrac{4}{P} - \dfrac{Q}{12} $，求当 $ x $ 为非负整数时，$ y $ 的整数值。
(1) 当 $ x = 1 $ 时，$ P - Q $ 的值为
$\frac{1}{3}$
。(2) 当 $ x ＞ 0 $ 时，判断 $ P $ 与 $ Q $ 的大小关系，并说明理由。
(3) 设 $ y = \dfrac{4}{P} - \dfrac{Q}{12} $，求当 $ x $ 为非负整数时，$ y $ 的整数值。
答案
(1)$\frac{1}{3}$
(2)$P≥ Q$，理由略
(3)0或2
(2)$P≥ Q$，理由略
(3)0或2
解析
【分析】
(1) 第一问属于直接代入求值类题型，将x=1分别代入P、Q的表达式，再计算P-Q的结果即可；(2) 比较两个代数式大小可采用作差法，计算P-Q的结果后，结合x＞0的条件判断差的正负，即可确定P、Q的大小关系；(3) 先将P、Q代入y的表达式，化简为最简形式，再根据x是非负整数、y是整数的要求，筛选符合条件的取值，进而求出y的整数值，注意要排除使分母为0的情况。
【解析】
(1) 当$x=1$时，$P=1+2=3$，$Q=\dfrac{8×1}{1+2}=\dfrac{8}{3}$，因此$P-Q=3-\dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{3}$。
(2) $P≥ Q$，理由如下：
作差得$P-Q=(x+2)-\dfrac{8x}{x+2}$，通分化简：
$\begin{aligned}P-Q&=\dfrac{(x+2)^2-8x}{x+2}\\&=\dfrac{x^2+4x+4-8x}{x+2}\\&=\dfrac{x^2-4x+4}{x+2}\\&=\dfrac{(x-2)^2}{x+2}\end{aligned}$
因为$x＞0$，所以$x+2＞0$，又因为平方数非负，即$(x-2)^2≥0$，因此$\dfrac{(x-2)^2}{x+2}≥0$，即$P-Q≥0$，故$P≥ Q$。
(3) 由题意将P、Q代入y的表达式：
$\begin{aligned}y&=\dfrac{4}{x+2}-\dfrac{\dfrac{8x}{x+2}}{12}\\&=\dfrac{4}{x+2}-\dfrac{2x}{3(x+2)}\\&=\dfrac{12-2x}{3(x+2)}\\&=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3(x+2)}\end{aligned}$
若y为整数，则$\dfrac{16}{x+2}$必须为整数，即$x+2$是16的正约数。
因为x是非负整数，所以$x+2≥2$，因此$x+2$的可能取值为2、4、8、16：
①当$x+2=2$即$x=0$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×2}=2$，是整数；
②当$x+2=4$即$x=2$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×4}=\dfrac{2}{3}$，不是整数，舍去；
③当$x+2=8$即$x=6$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×8}=0$，是整数；
④当$x+2=16$即$x=14$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×16}=-\dfrac{1}{3}$，不是整数，舍去；
因此y的整数值为0或2。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $P≥ Q$；(3) $0$或$2$
【知识点】
代数式求值；作差法比较大小；分式化简
【点评】
本题综合考查代数式运算、大小比较和分式整数解的求解，整体难度适中，第三小问易错点为化简计算错误，或筛选约数时漏判取值是否符合整数要求。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问属于直接代入求值类题型，将x=1分别代入P、Q的表达式，再计算P-Q的结果即可；(2) 比较两个代数式大小可采用作差法，计算P-Q的结果后，结合x＞0的条件判断差的正负，即可确定P、Q的大小关系；(3) 先将P、Q代入y的表达式，化简为最简形式，再根据x是非负整数、y是整数的要求，筛选符合条件的取值，进而求出y的整数值，注意要排除使分母为0的情况。
【解析】
(1) 当$x=1$时，$P=1+2=3$，$Q=\dfrac{8×1}{1+2}=\dfrac{8}{3}$，因此$P-Q=3-\dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{3}$。
(2) $P≥ Q$，理由如下：
作差得$P-Q=(x+2)-\dfrac{8x}{x+2}$，通分化简：
$\begin{aligned}P-Q&=\dfrac{(x+2)^2-8x}{x+2}\\&=\dfrac{x^2+4x+4-8x}{x+2}\\&=\dfrac{x^2-4x+4}{x+2}\\&=\dfrac{(x-2)^2}{x+2}\end{aligned}$
因为$x＞0$，所以$x+2＞0$，又因为平方数非负，即$(x-2)^2≥0$，因此$\dfrac{(x-2)^2}{x+2}≥0$，即$P-Q≥0$，故$P≥ Q$。
(3) 由题意将P、Q代入y的表达式：
$\begin{aligned}y&=\dfrac{4}{x+2}-\dfrac{\dfrac{8x}{x+2}}{12}\\&=\dfrac{4}{x+2}-\dfrac{2x}{3(x+2)}\\&=\dfrac{12-2x}{3(x+2)}\\&=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3(x+2)}\end{aligned}$
若y为整数，则$\dfrac{16}{x+2}$必须为整数，即$x+2$是16的正约数。
因为x是非负整数，所以$x+2≥2$，因此$x+2$的可能取值为2、4、8、16：
①当$x+2=2$即$x=0$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×2}=2$，是整数；
②当$x+2=4$即$x=2$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×4}=\dfrac{2}{3}$，不是整数，舍去；
③当$x+2=8$即$x=6$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×8}=0$，是整数；
④当$x+2=16$即$x=14$时，$y=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3×16}=-\dfrac{1}{3}$，不是整数，舍去；
因此y的整数值为0或2。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $P≥ Q$；(3) $0$或$2$
【知识点】
代数式求值；作差法比较大小；分式化简
【点评】
本题综合考查代数式运算、大小比较和分式整数解的求解，整体难度适中，第三小问易错点为化简计算错误，或筛选约数时漏判取值是否符合整数要求。
【难度系数】
0.65
3. 已知$a,b,x,y$是有理数，且$|x - a| + (y + b)^2 = 0$.
求$\frac{a^2 + ay - bx + b^2}{x + y}$
$\frac{a^2 + ay + bx - b^2}{a + b}$的值.
求$\frac{a^2 + ay - bx + b^2}{x + y}$
$\frac{a^2 + ay + bx - b^2}{a + b}$的值.答案
3.1
解析
【分析】
首先利用非负数的性质解题：绝对值和偶次幂都是非负数，二者相加等于0，说明每一项都为0，据此可推出$x=a$、$y=-b$。再处理分式除法，先将除法转化为乘法，再把$x=a$、$y=-b$代入分式，对分子进行化简、因式分解，最后约分即可得到结果。
【解析】
∵ $|x-a|≥0$，$(y+b)^2≥0$，且$|x-a|+(y+b)^2=0$
∴ 根据非负数的性质得：$x-a=0$，$y+b=0$，即$x=a$，$y=-b$。
分式除法先转化为乘法：
原式$=\frac{a^2 + ay - bx + b^2}{x + y} × \frac{a + b}{a^2 + ay + bx - b^2}$
将$x=a$，$y=-b$代入：
第一个分式的分子：$a^2+a·(-b)-b· a +b^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
第一个分式的分母：$x+y=a+(-b)=a-b$
第二个分式的分母：$a^2+a·(-b)+b· a -b^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
代入化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-b)^2}{a-b} × \frac{a+b}{(a+b)(a-b)}\\&=(a-b) × \frac{1}{a-b}\\&=1\end{aligned}$
（本题隐含$a+b≠0$，$a-b≠0$，保证原式有意义）
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；分式乘除运算；因式分解
【点评】
本题是代数综合基础题，解题核心是先通过非负数的性质得到变量间的关系，再代入分式化简，计算时要注意因式分解的正确应用，避免约分出错。
【难度系数】
0.7
首先利用非负数的性质解题：绝对值和偶次幂都是非负数，二者相加等于0，说明每一项都为0，据此可推出$x=a$、$y=-b$。再处理分式除法，先将除法转化为乘法，再把$x=a$、$y=-b$代入分式，对分子进行化简、因式分解，最后约分即可得到结果。
【解析】
∵ $|x-a|≥0$，$(y+b)^2≥0$，且$|x-a|+(y+b)^2=0$
∴ 根据非负数的性质得：$x-a=0$，$y+b=0$，即$x=a$，$y=-b$。
分式除法先转化为乘法：
原式$=\frac{a^2 + ay - bx + b^2}{x + y} × \frac{a + b}{a^2 + ay + bx - b^2}$
将$x=a$，$y=-b$代入：
第一个分式的分子：$a^2+a·(-b)-b· a +b^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
第一个分式的分母：$x+y=a+(-b)=a-b$
第二个分式的分母：$a^2+a·(-b)+b· a -b^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
代入化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-b)^2}{a-b} × \frac{a+b}{(a+b)(a-b)}\\&=(a-b) × \frac{1}{a-b}\\&=1\end{aligned}$
（本题隐含$a+b≠0$，$a-b≠0$，保证原式有意义）
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；分式乘除运算；因式分解
【点评】
本题是代数综合基础题，解题核心是先通过非负数的性质得到变量间的关系，再代入分式化简，计算时要注意因式分解的正确应用，避免约分出错。
【难度系数】
0.7
4. 先化简,再求值:$\dfrac{x^2 -8x +16}{x^2 +2x} ÷ ( \dfrac{12}{x+2} -x +2 ) + \dfrac{1}{x+4}$,其中$x$与$1,3$为$△ ABC$的三边长,且$x$为整数.
答案
4.$\frac{4}{21}$
解析
【分析】
解题时分为两步：①先化简分式，按照运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，将其通分合并后，再把分式除法转化为乘法约分，最后和后面的分式通分相加，得到最简结果；②再根据三角形三边关系确定x的取值范围，结合x为整数的条件得到x的可能值，同时要注意分式有意义的要求（分母不为0、除数不为0），排除不符合的x值，最后将合法的x代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简原式：
首先对各部分因式分解、通分：
$\dfrac{x^2 -8x +16}{x^2 +2x} = \dfrac{(x-4)^2}{x(x+2)}$
计算括号内的部分：
$\dfrac{12}{x+2} -x +2 = \dfrac{12}{x+2} - (x-2) = \dfrac{12 - (x-2)(x+2)}{x+2} = \dfrac{12 - x^2 +4}{x+2} = \dfrac{16 - x^2}{x+2} = \dfrac{(4-x)(4+x)}{x+2}$
将除法转化为乘法计算：
$\dfrac{(x-4)^2}{x(x+2)} ÷ \dfrac{(4-x)(4+x)}{x+2} = \dfrac{(x-4)^2}{x(x+2)} × \dfrac{x+2}{(4-x)(4+x)} = \dfrac{4-x}{x(x+4)}$
再和后面的分式相加：
$\dfrac{4-x}{x(x+4)} + \dfrac{1}{x+4} = \dfrac{4-x}{x(x+4)} + \dfrac{x}{x(x+4)} = \dfrac{4}{x(x+4)}$
2. 确定x的取值：
因为x与1、3是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：
$3-1 ＜ x ＜ 3+1$，即$2 ＜ x ＜4$
又因为x为整数，所以x可能为3
再验证分式有意义的条件：分母不能为0，除数不能为0，即$x≠0，x≠-2，x≠±4$，x=3满足所有条件
3. 代入计算：
将x=3代入$\dfrac{4}{x(x+4)}$得：
$\dfrac{4}{3×(3+4)} = \dfrac{4}{21}$
【答案】
$\dfrac{4}{21}$
【知识点】
分式化简求值，三角形三边关系，分式有意义的条件
【点评】
本题综合了分式运算和几何性质的考查，运算时要注意分式运算的顺序和约分的正确性，确定x值时不要遗漏分式有意义的限制条件，避免出现代入错误的情况。
【难度系数】
0.6
解题时分为两步：①先化简分式，按照运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，将其通分合并后，再把分式除法转化为乘法约分，最后和后面的分式通分相加，得到最简结果；②再根据三角形三边关系确定x的取值范围，结合x为整数的条件得到x的可能值，同时要注意分式有意义的要求（分母不为0、除数不为0），排除不符合的x值，最后将合法的x代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简原式：
首先对各部分因式分解、通分：
$\dfrac{x^2 -8x +16}{x^2 +2x} = \dfrac{(x-4)^2}{x(x+2)}$
计算括号内的部分：
$\dfrac{12}{x+2} -x +2 = \dfrac{12}{x+2} - (x-2) = \dfrac{12 - (x-2)(x+2)}{x+2} = \dfrac{12 - x^2 +4}{x+2} = \dfrac{16 - x^2}{x+2} = \dfrac{(4-x)(4+x)}{x+2}$
将除法转化为乘法计算：
$\dfrac{(x-4)^2}{x(x+2)} ÷ \dfrac{(4-x)(4+x)}{x+2} = \dfrac{(x-4)^2}{x(x+2)} × \dfrac{x+2}{(4-x)(4+x)} = \dfrac{4-x}{x(x+4)}$
再和后面的分式相加：
$\dfrac{4-x}{x(x+4)} + \dfrac{1}{x+4} = \dfrac{4-x}{x(x+4)} + \dfrac{x}{x(x+4)} = \dfrac{4}{x(x+4)}$
2. 确定x的取值：
因为x与1、3是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：
$3-1 ＜ x ＜ 3+1$，即$2 ＜ x ＜4$
又因为x为整数，所以x可能为3
再验证分式有意义的条件：分母不能为0，除数不能为0，即$x≠0，x≠-2，x≠±4$，x=3满足所有条件
3. 代入计算：
将x=3代入$\dfrac{4}{x(x+4)}$得：
$\dfrac{4}{3×(3+4)} = \dfrac{4}{21}$
【答案】
$\dfrac{4}{21}$
【知识点】
分式化简求值，三角形三边关系，分式有意义的条件
【点评】
本题综合了分式运算和几何性质的考查，运算时要注意分式运算的顺序和约分的正确性，确定x值时不要遗漏分式有意义的限制条件，避免出现代入错误的情况。
【难度系数】
0.6
