登录
2. k取何值时，分式方程$\frac{6}{x - 1} = \frac{x + k}{x(x - 1)} - \frac{3}{x}$有解？
答案
$k ≠ 5$ 且 $k ≠ -3$
解析
【分析】
要确定分式方程有解时k的取值，需明确分式方程有解的两个核心要求：一是去分母后得到的整式方程有解，二是整式方程的解不能是使原分式分母为0的增根。解题时先通过去分母将分式方程转化为整式方程，用含k的代数式表示出x，再令x不等于原分式的增根（即x≠0且x≠1），即可求出k的取值范围。
【解析】
原分式方程的分母为x(x-1)，因此增根可能为x=0或x=1（使分母为0的x值）。
给方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$，消去分母得：
$6x = x + k - 3(x - 1)$
展开并整理右边：
$6x = x + k - 3x + 3$
移项、合并同类项：
$6x - x + 3x = k + 3$
$8x = k + 3$
解得：$x = \frac{k + 3}{8}$
∵ 原分式方程有解，
∴ x不能为增根，即：
1. 当$x≠0$时：$\frac{k + 3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$
2. 当$x≠1$时：$\frac{k + 3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$
综上，k的取值为$k ≠ 5$且$k ≠ -3$
【答案】
$k ≠ 5$ 且 $k ≠ -3$
【知识点】
分式方程有解的条件；解分式方程；增根的判定
【点评】
本题是分式方程中常见的求参数取值的题型，解题的关键是牢记分式方程有解需排除增根的情况，避免只求解整式方程而忽略分母不为0的隐含条件，导致漏解。
【难度系数】
0.6
要确定分式方程有解时k的取值，需明确分式方程有解的两个核心要求：一是去分母后得到的整式方程有解，二是整式方程的解不能是使原分式分母为0的增根。解题时先通过去分母将分式方程转化为整式方程，用含k的代数式表示出x，再令x不等于原分式的增根（即x≠0且x≠1），即可求出k的取值范围。
【解析】
原分式方程的分母为x(x-1)，因此增根可能为x=0或x=1（使分母为0的x值）。
给方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$，消去分母得：
$6x = x + k - 3(x - 1)$
展开并整理右边：
$6x = x + k - 3x + 3$
移项、合并同类项：
$6x - x + 3x = k + 3$
$8x = k + 3$
解得：$x = \frac{k + 3}{8}$
∵ 原分式方程有解，
∴ x不能为增根，即：
1. 当$x≠0$时：$\frac{k + 3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$
2. 当$x≠1$时：$\frac{k + 3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$
综上，k的取值为$k ≠ 5$且$k ≠ -3$
【答案】
$k ≠ 5$ 且 $k ≠ -3$
【知识点】
分式方程有解的条件；解分式方程；增根的判定
【点评】
本题是分式方程中常见的求参数取值的题型，解题的关键是牢记分式方程有解需排除增根的情况，避免只求解整式方程而忽略分母不为0的隐含条件，导致漏解。
【难度系数】
0.6
3. 牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶.某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒.
(1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格.
(2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的$\frac{1}{2}$，求本次采购的最少花费.
(1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格.
(2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的$\frac{1}{2}$，求本次采购的最少花费.
答案
(1)全花茶每盒100元。花瓣茶每盒50元 (2)本次采购的最少花费为6700元
解析
【分析】
（1）第一问是分式方程应用题，已知两种花茶价格为2倍关系，可设花瓣茶每盒价格为x元，则全花茶为2x元，再根据“600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程解后要检验是否符合题意。
（2）第二问求最少花费，属于最值类应用题，可设购进花瓣茶m盒，用总数量100盒表示出全花茶的数量，先根据“全花茶的盒数不少于花瓣茶的1/2”列出不等式求出m的取值范围，再写出总花费关于m的函数表达式，根据一次函数的增减性结合m的整数取值，即可求出最小花费。
【解析】
(1) 设购进的花瓣茶每盒价格为x元，则全花茶每盒价格为2x元。
根据题意列方程：
$\frac{600}{x} - \frac{600}{2x} = 6$
化简得：$\frac{600}{x} - \frac{300}{x} = 6$，即$\frac{300}{x}=6$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$2x=100≠0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则全花茶每盒价格为$2×50=100$元。
(2) 设购进花瓣茶m盒，则购进全花茶$(100 - m)$盒，总花费为w元。
根据题意得不等关系：$100 - m ≥ \frac{1}{2}m$
解不等式：$100 ≥ \frac{3}{2}m$，即$m ≤ \frac{200}{3} ≈66.67$
∵m为正整数，
∴m的最大值为66。
总花费$w=50m + 100(100 - m) = -50m + 10000$
∵$-50＜0$，
∴w随m的增大而减小，
∴当m取最大值66时，w取得最小值，
代入得$w=-50×66 + 10000=6700$元。
【答案】
(1)全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元；(2)本次采购的最少花费为6700元
【知识点】
分式方程应用，一元一次不等式应用，一次函数最值
【点评】
本题是生活中常见的采购类应用题，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，要注意分式方程必须检验增根，实际问题中自变量的取值要符合实际意义（如本题中花茶盒数为正整数），结合函数增减性求最值是解决这类经济类最值问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是分式方程应用题，已知两种花茶价格为2倍关系，可设花瓣茶每盒价格为x元，则全花茶为2x元，再根据“600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程解后要检验是否符合题意。
（2）第二问求最少花费，属于最值类应用题，可设购进花瓣茶m盒，用总数量100盒表示出全花茶的数量，先根据“全花茶的盒数不少于花瓣茶的1/2”列出不等式求出m的取值范围，再写出总花费关于m的函数表达式，根据一次函数的增减性结合m的整数取值，即可求出最小花费。
【解析】
(1) 设购进的花瓣茶每盒价格为x元，则全花茶每盒价格为2x元。
根据题意列方程：
$\frac{600}{x} - \frac{600}{2x} = 6$
化简得：$\frac{600}{x} - \frac{300}{x} = 6$，即$\frac{300}{x}=6$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$2x=100≠0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则全花茶每盒价格为$2×50=100$元。
(2) 设购进花瓣茶m盒，则购进全花茶$(100 - m)$盒，总花费为w元。
根据题意得不等关系：$100 - m ≥ \frac{1}{2}m$
解不等式：$100 ≥ \frac{3}{2}m$，即$m ≤ \frac{200}{3} ≈66.67$
∵m为正整数，
∴m的最大值为66。
总花费$w=50m + 100(100 - m) = -50m + 10000$
∵$-50＜0$，
∴w随m的增大而减小，
∴当m取最大值66时，w取得最小值，
代入得$w=-50×66 + 10000=6700$元。
【答案】
(1)全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元；(2)本次采购的最少花费为6700元
【知识点】
分式方程应用，一元一次不等式应用，一次函数最值
【点评】
本题是生活中常见的采购类应用题，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，要注意分式方程必须检验增根，实际问题中自变量的取值要符合实际意义（如本题中花茶盒数为正整数），结合函数增减性求最值是解决这类经济类最值问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
4. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛(WSBK)葡萄牙站SSP组别赛事中,来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠.中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈,也瞬间点燃了国内消费市场的热情.“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台,两连冠后4月的订单暴增,A型号订单量增加200%,B型号订单量增加100%,4月两种型号的摩托车订单量共9400辆.
(1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆?
(2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作,甲组负责检查A型摩托车,乙组负责检查B型摩托车,已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍,最终甲组比乙组提前20天完成检查任务,求乙组每天检查B型号摩托车多少台?
(1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆?
(2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作,甲组负责检查A型摩托车,乙组负责检查B型摩托车,已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍,最终甲组比乙组提前20天完成检查任务,求乙组每天检查B型号摩托车多少台?
答案
(1)3月A型号摩托车订单量为1800台,B型号摩托车订单量为2000台 (2)乙组每天检查B型号摩托车50台
解析
【分析】
(1) 第一问可通过列二元一次方程组求解，首先梳理两个核心等量关系：①3月A型号订单量+3月B型号订单量=3800台；②4月A型号订单量+4月B型号订单量=9400台。注意增加200%即变为原量的3倍，增加100%即变为原量的2倍，设两个未知量代入等量关系即可求解。
(2) 第二问先根据第一问结果算出4月A、B型号的订单总量，设乙组每天检查的数量为未知量，可对应表示出甲组每天检查的数量，再根据“乙组工作时长-甲组工作时长=20天”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合要求。
【解析】
(1) 设3月A型号摩托车订单量为$x$台，B型号摩托车订单量为$y$台，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 3800 \\(1+200\%)x + (1+100\%)y = 9400\end{cases}$
化简第二个方程得：$3x + 2y = 9400$
将第一个方程两边同乘2得：$2x + 2y = 7600$
用$3x + 2y = 9400$减去$2x + 2y = 7600$，得$x = 1800$
把$x=1800$代入$x+y=3800$，得$y = 3800 - 1800 = 2000$
(2) 先计算4月两种型号的订单量：
A型号：$1800×(1+200\%)=5400$（台）
B型号：$2000×(1+100\%)=4000$（台）
设乙组每天检查B型号摩托车$x$台，则甲组每天检查A型号摩托车$1.8x$台，根据题意列方程：
$\dfrac{4000}{x} - \dfrac{5400}{1.8x} = 20$
化简得：$\dfrac{4000}{x} - \dfrac{3000}{x} = 20$
即$\dfrac{1000}{x} = 20$，解得$x=50$
检验：当$x=50$时，$1.8x=90≠0$，$x=50$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)3月A型号摩托车订单量为1800台,B型号摩托车订单量为2000台 (2)乙组每天检查B型号摩托车50台
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用
【点评】
本题结合体育热点背景考查方程的实际应用，需要学生准确梳理题干中的等量关系，同时要注意增长率的正确换算，解分式方程时要牢记检验步骤，整体侧重对学生读题分析、解决实际问题能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过列二元一次方程组求解，首先梳理两个核心等量关系：①3月A型号订单量+3月B型号订单量=3800台；②4月A型号订单量+4月B型号订单量=9400台。注意增加200%即变为原量的3倍，增加100%即变为原量的2倍，设两个未知量代入等量关系即可求解。
(2) 第二问先根据第一问结果算出4月A、B型号的订单总量，设乙组每天检查的数量为未知量，可对应表示出甲组每天检查的数量，再根据“乙组工作时长-甲组工作时长=20天”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合要求。
【解析】
(1) 设3月A型号摩托车订单量为$x$台，B型号摩托车订单量为$y$台，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 3800 \\(1+200\%)x + (1+100\%)y = 9400\end{cases}$
化简第二个方程得：$3x + 2y = 9400$
将第一个方程两边同乘2得：$2x + 2y = 7600$
用$3x + 2y = 9400$减去$2x + 2y = 7600$，得$x = 1800$
把$x=1800$代入$x+y=3800$，得$y = 3800 - 1800 = 2000$
(2) 先计算4月两种型号的订单量：
A型号：$1800×(1+200\%)=5400$（台）
B型号：$2000×(1+100\%)=4000$（台）
设乙组每天检查B型号摩托车$x$台，则甲组每天检查A型号摩托车$1.8x$台，根据题意列方程：
$\dfrac{4000}{x} - \dfrac{5400}{1.8x} = 20$
化简得：$\dfrac{4000}{x} - \dfrac{3000}{x} = 20$
即$\dfrac{1000}{x} = 20$，解得$x=50$
检验：当$x=50$时，$1.8x=90≠0$，$x=50$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)3月A型号摩托车订单量为1800台,B型号摩托车订单量为2000台 (2)乙组每天检查B型号摩托车50台
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用
【点评】
本题结合体育热点背景考查方程的实际应用，需要学生准确梳理题干中的等量关系，同时要注意增长率的正确换算，解分式方程时要牢记检验步骤，整体侧重对学生读题分析、解决实际问题能力的考查。
【难度系数】
0.7
