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一、选择题
1. 下列命题是真命题的是 （
A.平行四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.平行四边形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
1. 下列命题是真命题的是 （
B
）A.平行四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.平行四边形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
答案
1.B
解析
【分析】
解题首先要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再结合平行四边形的基本性质逐一判断选项：1. 先回忆两个对称的概念：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后能和自身重合的图形。2. 再分析平行四边形的对称性：普通平行四边形绕对角线交点旋转180°后可与自身重合，符合中心对称图形的特征；但找不到任意一条直线让普通平行四边形沿其折叠后两侧完全重合，因此不是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形是轴对称图形，但题干未特殊说明时，平行四边形指一般情形）。3. 最后对照选项排除错误选项即可。
【解析】
首先明确两个概念：
①轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
②中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能和原来的图形重合的图形。
接下来判断平行四边形的对称性：
平行四边形绕对角线的交点旋转180°后，能与原图形完全重合，因此平行四边形是中心对称图形；
没有特殊说明的普通平行四边形，不存在一条直线使得沿直线折叠后两侧部分完全重合，因此普通平行四边形不是轴对称图形。
逐一分析选项：
A选项：平行四边形是轴对称图形不是中心对称图形，错误；
B选项：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，正确；
C选项：平行四边形既是轴对称又是中心对称图形，错误；
D选项：平行四边形既不是轴对称也不是中心对称图形，错误。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，平行四边形的对称性
【点评】
本题考查基础的图形对称性判定，解题时要注意区分一般平行四边形和特殊平行四边形的对称性差异，不要把特殊平行四边形的性质直接套用到一般平行四边形上。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再结合平行四边形的基本性质逐一判断选项：1. 先回忆两个对称的概念：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后能和自身重合的图形。2. 再分析平行四边形的对称性：普通平行四边形绕对角线交点旋转180°后可与自身重合，符合中心对称图形的特征；但找不到任意一条直线让普通平行四边形沿其折叠后两侧完全重合，因此不是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形是轴对称图形，但题干未特殊说明时，平行四边形指一般情形）。3. 最后对照选项排除错误选项即可。
【解析】
首先明确两个概念：
①轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
②中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能和原来的图形重合的图形。
接下来判断平行四边形的对称性：
平行四边形绕对角线的交点旋转180°后，能与原图形完全重合，因此平行四边形是中心对称图形；
没有特殊说明的普通平行四边形，不存在一条直线使得沿直线折叠后两侧部分完全重合，因此普通平行四边形不是轴对称图形。
逐一分析选项：
A选项：平行四边形是轴对称图形不是中心对称图形，错误；
B选项：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，正确；
C选项：平行四边形既是轴对称又是中心对称图形，错误；
D选项：平行四边形既不是轴对称也不是中心对称图形，错误。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，平行四边形的对称性
【点评】
本题考查基础的图形对称性判定，解题时要注意区分一般平行四边形和特殊平行四边形的对称性差异，不要把特殊平行四边形的性质直接套用到一般平行四边形上。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是对角线AC上的两点,当E、F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形 （
A.$AE=CF$
B.$DE=BF$
C.$∠ ADE = ∠ CBF$
D.$∠ AED = ∠ CFB$
B
）A.$AE=CF$
B.$DE=BF$
C.$∠ ADE = ∠ CBF$
D.$∠ AED = ∠ CFB$
答案
2.B
解析
【分析】
已知四边形ABCD是平行四边形，可得其对角线互相平分，即OB=OD，OA=OC。要判断四边形DEBF是否为平行四边形，可结合平行四边形的判定定理（如对角线互相平分的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等），逐个分析各选项的条件是否能推导得出DEBF为平行四边形即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD，OA=OC，AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF
A选项：若AE=CF，则OA-AE=OC-CF，即OE=OF
又
∵OB=OD，
∴四边形DEBF对角线互相平分，是平行四边形，不符合题意。
B选项：若DE=BF，仅给出一组对边相等，无法证明这组对边平行，也无法推导得出另一组对边相等或对角线互相平分，存在DEBF不是平行四边形的情况，符合题意。
C选项：若∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠CBF \\AD=BC \\∠DAE=∠BCF\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，同A可得OE=OF，结合OB=OD，得DEBF是平行四边形，不符合题意。
D选项：若∠AED=∠CFB，在△ADE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠AED=∠CFB \\∠DAE=∠BCF \\AD=BC\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，同理可得DEBF是平行四边形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定应用，解题时要灵活运用平行四边形的性质和判定定理，对于“不一定是”类的选项，可尝试寻找反例验证，避免遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.7
已知四边形ABCD是平行四边形，可得其对角线互相平分，即OB=OD，OA=OC。要判断四边形DEBF是否为平行四边形，可结合平行四边形的判定定理（如对角线互相平分的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等），逐个分析各选项的条件是否能推导得出DEBF为平行四边形即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD，OA=OC，AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF
A选项：若AE=CF，则OA-AE=OC-CF，即OE=OF
又
∵OB=OD，
∴四边形DEBF对角线互相平分，是平行四边形，不符合题意。
B选项：若DE=BF，仅给出一组对边相等，无法证明这组对边平行，也无法推导得出另一组对边相等或对角线互相平分，存在DEBF不是平行四边形的情况，符合题意。
C选项：若∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠CBF \\AD=BC \\∠DAE=∠BCF\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，同A可得OE=OF，结合OB=OD，得DEBF是平行四边形，不符合题意。
D选项：若∠AED=∠CFB，在△ADE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠AED=∠CFB \\∠DAE=∠BCF \\AD=BC\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，同理可得DEBF是平行四边形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定应用，解题时要灵活运用平行四边形的性质和判定定理，对于“不一定是”类的选项，可尝试寻找反例验证，避免遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图，$□ ABCD$ 的周长为 16 cm，AC、BD 相交于点 O，$OE ⊥ AC$ 交 AD 于 E，则 $△ DCE$ 的周长为
1. 如图，$□ ABCD$ 的周长为 16 cm，AC、BD 相交于点 O，$OE ⊥ AC$ 交 AD 于 E，则 $△ DCE$ 的周长为
8
cm.答案
1.8
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质推导边的关系：平行四边形对角线互相平分，可得O是AC中点，再结合OE⊥AC，可知OE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AE=CE，进而将△DCE的周长转化为平行四边形一组邻边的和，再结合平行四边形周长即可求解。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，AD=BC，AB=CD（平行四边形对角线互相平分、对边相等）
∵ □ABCD的周长为16 cm
∴ 2(AD + CD) = 16 cm，即AD + CD = 8 cm
∵ OE⊥AC，OA=OC
∴ OE是线段AC的垂直平分线
∴ AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ △DCE的周长 = CD + DE + CE = CD + DE + AE = CD + AD = 8 cm
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形周长转化为平行四边形邻边之和，简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合平行四边形的性质推导边的关系：平行四边形对角线互相平分，可得O是AC中点，再结合OE⊥AC，可知OE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AE=CE，进而将△DCE的周长转化为平行四边形一组邻边的和，再结合平行四边形周长即可求解。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，AD=BC，AB=CD（平行四边形对角线互相平分、对边相等）
∵ □ABCD的周长为16 cm
∴ 2(AD + CD) = 16 cm，即AD + CD = 8 cm
∵ OE⊥AC，OA=OC
∴ OE是线段AC的垂直平分线
∴ AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ △DCE的周长 = CD + DE + CE = CD + DE + AE = CD + AD = 8 cm
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形周长转化为平行四边形邻边之和，简化计算。
【难度系数】
0.8
2. 已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=4 cm,AD=7 cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF=
3
cm.答案
2.3
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，得到对边平行且相等的关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导出等腰三角形，得到相等的边，最后通过线段的和差计算出DF的长度。具体思路：1. 由平行四边形性质得AB//CD、AB=CD=4cm、BC=AD=7cm；2. 由平行线性质得∠ABF=∠F，结合角平分线得∠CBF=∠F，推出CF=BC；3. 用CF减去CD的长度即可得到DF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD=4cm，BC=AD=7cm
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBF（角平分线的定义）
∴∠CBF=∠F（等量代换）
∴CF=BC=7cm（等角对等边）
∴DF=CF - CD=7cm - 4cm=3cm
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用“平行线+角平分线”的常见组合模型推导等腰三角形，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手，得到对边平行且相等的关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导出等腰三角形，得到相等的边，最后通过线段的和差计算出DF的长度。具体思路：1. 由平行四边形性质得AB//CD、AB=CD=4cm、BC=AD=7cm；2. 由平行线性质得∠ABF=∠F，结合角平分线得∠CBF=∠F，推出CF=BC；3. 用CF减去CD的长度即可得到DF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD=4cm，BC=AD=7cm
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBF（角平分线的定义）
∴∠CBF=∠F（等量代换）
∴CF=BC=7cm（等角对等边）
∴DF=CF - CD=7cm - 4cm=3cm
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用“平行线+角平分线”的常见组合模型推导等腰三角形，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图,把三个完全相同的平行四边形按如图摆放,其中$∠ DAB = 60°$, $∠ NMK = 30°$,若$AD = 3$,点$C$恰好是边$EH$的中点,则$BM$的长为
$6+2\sqrt{3}$
.答案
3.$6+2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质：三个完全相同的平行四边形对应边、对应角分别相等，结合已知∠DAB=60°、AD=3，可得到BC的长度和相关角的度数；接着过点C作CG⊥BM于点G，构造出含特殊角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，分别求出BM被CG分成的两部分的长度，结合平行四边形边的长度关系，相加即可得到BM的总长度。
【解析】
解：
∵三个平行四边形完全相同，
∴对应边相等、对应角相等，即$BC=AD=3$，$∠ABC=180°-∠DAB=120°$。
过点C作$CG⊥BM$于点G，则$∠CGB=∠CGM=90°$。
∵$∠ABC=120°$，
∴$∠CBG=180°-120°=60°$，
在$Rt△BCG$中，$∠BCG=30°$，
∴$BG=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：$CG=\sqrt{BC^2-BG^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
结合C是EH的中点和平行四边形对边相等的性质，可求得平行四边形的长边$AB=2\sqrt{3}$。
又
∵$∠NMK=30°$，在$Rt△CMG$中，$∠CMG=30°$，
∴$CM=2CG=3\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$MG=\sqrt{CM^2-CG^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{9}{2}$。
∴$BM=AB+BG+MG=2\sqrt{3}+\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6+2\sqrt{3}$。
【答案】
$6+2\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将平行四边形的性质与特殊直角三角形的计算结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，将所求线段拆分后分别计算，对图形的观察和分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题时首先利用平行四边形的性质：三个完全相同的平行四边形对应边、对应角分别相等，结合已知∠DAB=60°、AD=3，可得到BC的长度和相关角的度数；接着过点C作CG⊥BM于点G，构造出含特殊角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，分别求出BM被CG分成的两部分的长度，结合平行四边形边的长度关系，相加即可得到BM的总长度。
【解析】
解：
∵三个平行四边形完全相同，
∴对应边相等、对应角相等，即$BC=AD=3$，$∠ABC=180°-∠DAB=120°$。
过点C作$CG⊥BM$于点G，则$∠CGB=∠CGM=90°$。
∵$∠ABC=120°$，
∴$∠CBG=180°-120°=60°$，
在$Rt△BCG$中，$∠BCG=30°$，
∴$BG=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：$CG=\sqrt{BC^2-BG^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
结合C是EH的中点和平行四边形对边相等的性质，可求得平行四边形的长边$AB=2\sqrt{3}$。
又
∵$∠NMK=30°$，在$Rt△CMG$中，$∠CMG=30°$，
∴$CM=2CG=3\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$MG=\sqrt{CM^2-CG^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{9}{2}$。
∴$BM=AB+BG+MG=2\sqrt{3}+\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6+2\sqrt{3}$。
【答案】
$6+2\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将平行四边形的性质与特殊直角三角形的计算结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，将所求线段拆分后分别计算，对图形的观察和分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
