三、解答题
1. 如图，在$□ ABCD$中，$BE$，$DG$分别平分$∠ ABC$，$∠ ADC$，交$AC$于点$E$，$G$.
(1)求证：$BE = DG$，$BE// DG$.
(2)过点$E$作$EF ⊥ AB$于点$F$，已知$EF = 3$，$□ ABCD$的周长为$28$，求$□ ABCD$的面积.

1.(1)略 (2)42

【分析】
(1) 要证$BE=DG$且$BE// DG$，先利用平行四边形的性质得到边、角的等量关系，结合角平分线的定义推出$△ ADG$和$△ CBE$全等的条件，由全等得线段相等、对应角相等，再通过等角的补角相等得到内错角相等，即可证明两直线平行。
(2) 求平行四边形面积，先由周长推出$AB+BC=14$，再利用角平分线的性质得到点$E$到$BC$的距离等于$EF$，将$△ ABC$的面积拆分为$△ ABE$和$△ CBE$的面积和，结合$AB+BC$的和求出$△ ABC$的面积，平行四边形面积是$△ ABC$面积的2倍，即可得结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD// BC$，$∠ ADC=∠ ABC$，
$\therefore ∠ DAG=∠ BCE$。
$\because DG$平分$∠ ADC$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ADG=\frac{1}{2}∠ ADC$，$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC$，
$\therefore ∠ ADG=∠ CBE$。
在$△ ADG$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ DAG=∠ BCE \\AD=CB \\∠ ADG=∠ CBE\end{cases}$
$\therefore △ ADG≌△ CBE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DG=BE$，$∠ AGD=∠ CEB$，
$\therefore 180°-∠ AGD=180°-∠ CEB$，即$∠ DGE=∠ BEG$，
$\therefore BE// DG$。
(2) 解：过点$E$作$EH⊥ BC$于点$H$，
$\because BE$平分$∠ ABC$，$EF⊥ AB$，$EH⊥ BC$，
$\therefore EH=EF=3$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because □ ABCD$的周长为$28$，
$\therefore 2(AB+BC)=28$，即$AB+BC=14$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ABE}+S_{△ CBE} \\&=\frac{1}{2}AB· EF+\frac{1}{2}BC· EH \\&=\frac{1}{2}×3×(AB+BC) \\&=\frac{1}{2}×3×14=21\end{aligned}$
$\because$ 平行四边形的面积是与其等底等高的三角形面积的2倍，
$\therefore S_{□ ABCD}=2S_{△ ABC}=2×21=42$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{42}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题将平行四边形、全等三角形、角平分线性质结合考查，解题的关键是灵活运用几何性质转化边角关系，第(2)问利用拆分法求三角形面积的思路可以简化计算，需要熟练掌握基础几何定理的应用。
【难度系数】
0.65

2. 如图，在$□ ABCD$中，已知对角线AC和BD相交于点O，$△ AOB$的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和.

2.26

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可得到OA是AC的一半、OB是BD的一半，因此AC与BD的和可以转化为OA与OB和的2倍。再结合已知的△AOB周长和AB的长度，先求出OA+OB的值，最后乘2即可得到两条对角线的总和。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$
∵△AOB的周长为25，即$OA+OB+AB=25$，且已知$AB=12$
∴$OA+OB=25-AB=25-12=13$
∴$AC+BD=2OA+2OB=2(OA+OB)=2×13=26$
【答案】
26
【知识点】
平行四边形对角线性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质，将待求的对角线和转化为三角形中两条线段和的倍数关系，结合周长条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 定义:如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍,那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”,如图,$□ ABCD$为“倍线平行四边形”($BD ＞ AC$),对角线$AC,BD$相交于点$O$,$AC ⊥ AB$,$AB = 2\sqrt{2}$,求$BC$的长.

3.$2\sqrt{3}$

【分析】
首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可将两条对角线BD、AC的倍数关系转化为OB与OA的倍数关系；其次结合AC⊥AB的条件，可知△OAB为直角三角形，结合已知AB的长度，通过勾股定理可求出OA的长度，进而得到AC的长度；最后在Rt△BAC中再次使用勾股定理就能求出BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵□ABCD是“倍线平行四边形”且$BD＞AC$，
∴$BD=3AC$，
∴$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×3AC=3×\frac{1}{2}AC=3OA$。
∵$AC⊥AB$，
∴$∠OAB=90°$，即△OAB是直角三角形，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：$OA^2 + AB^2 = OB^2$，
将$AB=2\sqrt{2}$，$OB=3OA$代入得：
$OA^2 + (2\sqrt{2})^2 = (3OA)^2$，
即$OA^2 + 8 = 9OA^2$，
整理得$8OA^2=8$，解得$OA=1$（线段长度为正，舍去负根），
∴$AC=2OA=2×1=2$。
在Rt△BAC中，$∠BAC=90°$，由勾股定理得：
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12$，
∴$BC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查平行四边形性质和勾股定理的应用，解题核心是通过平行四边形对角线的性质转化对角线的倍数关系，再结合直角三角形的勾股定理逐步求解即可。
【难度系数】
0.7