列一元一次方程解决实际问题时，关键是找出问题中的。

等量关系

【分析】要解决这个问题，需明确列一元一次方程的本质：一元一次方程是含有未知数的等式，而等式的核心是等量关系。因此，列方程解决实际问题时，必须先找到问题中已知量与未知量之间的等量关系，才能构建出符合题意的方程，这是解题的关键步骤。
【解析】列一元一次方程解决实际问题的核心是建立等量关系，因为方程是表示两个量或表达式相等的式子，只有先确定问题中的等量关系，才能合理设出未知数，进而列出一元一次方程求解，因此该过程的关键是找出问题中的等量关系。
【答案】等量关系
【知识点】一元一次方程应用
【点评】本题考查列一元一次方程解决实际问题的基础概念，属于识记类题目，难度较低，是学习方程应用的核心要点。
【难度系数】0.8

年龄变化的基本规律：两人的年龄，同增同减，年龄的差。

不变

【分析】要理解年龄差的变化规律，可通过代数推导验证：假设两人当前年龄分别为$ m $岁和$ n $岁，年龄差为$ m-n $岁；当经过任意时间后，两人年龄同时增加或减少相同的数，计算新的年龄差即可发现规律。
【解析】设两人年龄分别为$ m $岁、$ n $岁，年龄差为$ m-n $岁。经过时间$ t $年后，两人年龄变为$ m+t $岁、$ n+t $岁，此时年龄差为$(m+t)-(n+t)=m-n$，与原年龄差相等；同理，往前推$ t $年，年龄差仍为$ m-n $，因此年龄差不变。
【答案】不变
【知识点】年龄问题的基本规律
【点评】本题是年龄问题的核心基础知识点，通过简单的代数推导即可得出结论，是解决复杂年龄问题的关键前提，难度较低。
【难度系数】0.8

例 1 明明今年过生日时，爷爷对明明说：“今年我的年龄是你年龄的 7 倍，再过 2 年我的年龄就变成你年龄的 6 倍了。”那么，明明今年多少岁？

设明明今年 $ x $ 岁。
根据题意，得 $ 7x + 2 = 6(x + 2) $。
解这个方程：
$ 7x + 2 = 6x + 12 $
$ 7x - 6x = 12 - 2 $
$ x = 10 $。
答：明明今年 10 岁。

【分析】首先设明明今年的年龄为未知数$ x $，根据“今年爷爷年龄是明明的7倍”，可表示出爷爷今年的年龄；再过2年，两人的年龄都增加2岁，此时爷爷年龄是明明的6倍，据此列出一元一次方程，解方程即可求出明明今年的年龄。
【解析】设明明今年$ x $岁，则爷爷今年$ 7x $岁。
根据题意，再过2年爷爷年龄是明明年龄的6倍，列方程：
$ 7x + 2 = 6(x + 2) $
解方程：
去括号得：$ 7x + 2 = 6x + 12 $
移项得：$ 7x - 6x = 12 - 2 $
合并同类项得：$ x = 10 $
【答案】10岁
【知识点】一元一次方程的应用、年龄问题
【点评】本题是基础的年龄问题应用题，核心是利用不同时间点的年龄倍数关系建立方程，关键在于准确表示出两年后两人的年龄，难度适中，适合学生掌握。
【难度系数】0.6

【变式训练 1】 某足球比赛的计分方法如下：胜 1 场得 3 分，平 1 场得 1 分，负 1 场得 0 分。一支球队共比了 14 场，其中负了 5 场，最终得了 19 分。设该球队共平了 $ x $ 场。根据题意，得()

A.$ 3x + 9 - x = 19 $
B.$ 2(9 - x) + x = 19 $
C.$ x(9 - x) = 19 $
D.$ 3(9 - x) + x = 19 $

变式训练1 D

该球队共比赛14场，负了5场，平了$x$场，则胜的场数为$14 - 5 - x=9 - x$场。胜场得分为$3(9 - x)$分，平场得分为$x$分，根据总得分19分，可列方程：$3(9 - x)+x = 19$。
D

例 2 有一个两位数，它十位上的数字比个位上的数字小 4。如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新两位数比原来两位数的 2 倍少 12，求原来的两位数。

设原来的两位数个位上的数字为 $ x $，则十位上的数字为 $ x - 4 $。新两位数十位上的数字为 $ x $，个位上的数字为 $ x - 4 $。
根据题意，得：
$10x + (x - 4) = [10(x - 4) + x] × 2 - 12$
解这个方程：
$11x - 4 = (11x - 40) × 2 - 12$
$11x - 4 = 22x - 80 - 12$
$11x - 4 = 22x - 92$
$11x = 88$
$x = 8$
则十位上的数字为 $ x - 4 = 8 - 4 = 4 $。
原来的两位数为 $ 10 × 4 + 8 = 48 $。
答：原来的两位数为 48。

【分析】
本题是两位数的数字问题，解题思路：①牢记两位数的表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字；②根据“十位数字比个位数字小4”设未知数，设个位数字为$x$，则十位数字为$x-4$；③分别表示原两位数和对调后的新两位数；④依据“新两位数比原两位数的2倍少12”的等量关系列一元一次方程；⑤解方程求出个位数字，进而得到十位数字，最终算出原来的两位数。
【解析】
设原来的两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x - 4$。
原两位数为：$10(x - 4) + x$；
对调后新两位数的十位数字为$x$，个位数字为$x - 4$，新两位数为：$10x + (x - 4)$。
根据题意，新两位数比原两位数的2倍少12，列方程：
$10x + (x - 4) = 2[10(x - 4) + x] - 12$
化简方程：
左边：$11x - 4$；
右边：$2(11x - 40) - 12 = 22x - 92$；
移项得：$11x - 4 = 22x - 92$，
解得：$11x = 88$，$x = 8$。
则十位数字为$x - 4 = 8 - 4 = 4$，
原来的两位数为：$10×4 + 8 = 48$。
【答案】
48
【知识点】
一元一次方程的应用、两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类一元一次方程应用题，核心是掌握两位数的表示规则，准确找等量关系列方程，属于初中数学基础题型，能考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6

【变式训练 2】 一份知识竞赛的试卷有 25 道选择题，做对 1 道题得 4 分，做错 1 道题倒扣 1 分。某同学将这 25 道选择题全做完了，得了 70 分。设该同学做对了 $ x $ 道选择题。根据题意，得()

A.$ 4x - (25 - x) × 1 = 70 $
B.$ 4x - (25 + x) × 1 = 70 $
C.$ 4x + (25 - x) × 1 = 70 $
D.$ 4x - (x - 25) × 1 = 70 $

变式训练2 A

【分析】首先，设做对了$ x $道题，总题数共25道，因此做错的题数为$ (25 - x) $道。做对1道得4分，所以做对题的总得分是$ 4x $分；做错1道倒扣1分，即做错的题需要从总得分中扣除$ (25 - x)×1 $分。根据“总得分=做对得分 - 倒扣分数”的等量关系，可列出对应方程，进而选出正确选项。
【解析】已知做对$ x $道题，则做错的题数为$ 25 - x $道。做对题的得分：$ 4x $分；做错题倒扣的分数：$ (25 - x)×1 $分。结合总得分70分，根据等量关系列方程：$ 4x - (25 - x)×1 = 70 $，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元一次方程的应用
【点评】本题是一元一次方程在实际问题中的基础应用，核心是明确做错题目需倒扣分数的计算逻辑，需注意倒扣分数是从总得分中扣除而非相加，属于易混淆点，整体难度较低。
【难度系数】0.7