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三、解答题（共 40 分）
13. （8 分）如图，直线$AB ⊥ CO$于点$O$，且$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ BOD$，求$∠ COD$的度数。
13. （8 分）如图，直线$AB ⊥ CO$于点$O$，且$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ BOD$，求$∠ COD$的度数。
答案
13. 解：因为 $ ∠ AOD + ∠ BOD = 180^{\circ} $，
$ ∠ AOD = \frac{1}{2} ∠ BOD $，
所以 $ ∠ AOD + 2 ∠ AOD = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ AOD = 60^{\circ} $。
因为 $ AB ⊥ CO $，所以 $ ∠ AOC = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ COD = ∠ AOC - ∠ AOD $
$ = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $。
$ ∠ AOD = \frac{1}{2} ∠ BOD $，
所以 $ ∠ AOD + 2 ∠ AOD = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ AOD = 60^{\circ} $。
因为 $ AB ⊥ CO $，所以 $ ∠ AOC = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ COD = ∠ AOC - ∠ AOD $
$ = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $。
解析
【分析】
要计算∠COD的度数，首先利用邻补角的和为180°，结合已知∠AOD与∠BOD的数量关系求出∠AOD；再根据AB⊥CO得到∠AOC=90°，最后通过角的和差关系计算∠COD。
【解析】
1. 因为点O在直线AB上，所以∠AOD与∠BOD是邻补角，根据邻补角的性质可得：
∠AOD + ∠BOD = 180°。
2. 已知∠AOD = $\frac{1}{2}$∠BOD，即∠BOD = 2∠AOD，将其代入上式：
∠AOD + 2∠AOD = 180°，
化简得3∠AOD = 180°，解得∠AOD = 60°。
3. 因为AB⊥CO，根据垂直的定义可知：
∠AOC = 90°。
4. 观察图形，∠COD = ∠AOC - ∠AOD，代入数值计算：
∠COD = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
邻补角、垂直的性质、角的和差
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查邻补角性质、垂直定义及角的和差运算，解题关键是先通过邻补角关系求出∠AOD，再结合垂直性质计算目标角，难度较低。
【难度系数】
0.6
要计算∠COD的度数，首先利用邻补角的和为180°，结合已知∠AOD与∠BOD的数量关系求出∠AOD；再根据AB⊥CO得到∠AOC=90°，最后通过角的和差关系计算∠COD。
【解析】
1. 因为点O在直线AB上，所以∠AOD与∠BOD是邻补角，根据邻补角的性质可得：
∠AOD + ∠BOD = 180°。
2. 已知∠AOD = $\frac{1}{2}$∠BOD，即∠BOD = 2∠AOD，将其代入上式：
∠AOD + 2∠AOD = 180°，
化简得3∠AOD = 180°，解得∠AOD = 60°。
3. 因为AB⊥CO，根据垂直的定义可知：
∠AOC = 90°。
4. 观察图形，∠COD = ∠AOC - ∠AOD，代入数值计算：
∠COD = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
邻补角、垂直的性质、角的和差
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查邻补角性质、垂直定义及角的和差运算，解题关键是先通过邻补角关系求出∠AOD，再结合垂直性质计算目标角，难度较低。
【难度系数】
0.6
14. （10 分）如图，已知点$O$在直线$AB$上，$CD // AB$，$OE$平分$∠ BOD$，$OE ⊥ OF$于点$O$。若$∠ CDO = 62^{\circ}$，求$∠ BOE$，$∠ DOF$的度数。
答案
14. 解：因为 $ CD // AB $，
所以 $ ∠ CDO + ∠ DOB = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ CDO = 62^{\circ} $，
所以 $ ∠ DOB = 180^{\circ} - ∠ CDO $
$ = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ} $。
因为 $ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，
所以 $ ∠ BOE = ∠ EOD = \frac{1}{2} ∠ BOD $
$ = \frac{1}{2} × 118^{\circ} = 59^{\circ} $。
因为 $ OE ⊥ OF $，所以 $ ∠ EOF = 90^{\circ} $。
因为 $ ∠ EOF = ∠ EOD + ∠ DOF $，
所以 $ ∠ DOF = ∠ EOF - ∠ EOD $
$ = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} $。
所以 $ ∠ CDO + ∠ DOB = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ CDO = 62^{\circ} $，
所以 $ ∠ DOB = 180^{\circ} - ∠ CDO $
$ = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ} $。
因为 $ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，
所以 $ ∠ BOE = ∠ EOD = \frac{1}{2} ∠ BOD $
$ = \frac{1}{2} × 118^{\circ} = 59^{\circ} $。
因为 $ OE ⊥ OF $，所以 $ ∠ EOF = 90^{\circ} $。
因为 $ ∠ EOF = ∠ EOD + ∠ DOF $，
所以 $ ∠ DOF = ∠ EOF - ∠ EOD $
$ = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} $。
解析
【分析】
要解决本题，首先利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出∠BOD的度数；再根据角平分线的定义计算∠BOE；最后结合垂直的定义和角的和差关系，求出∠DOF的度数。
【解析】
1. 因为 $ CD // AB $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ CDO + ∠ DOB = 180° $。
2. 已知 $ ∠ CDO = 62° $，代入得 $ ∠ DOB = 180° - 62° = 118° $。
3. 因为 $ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，根据角平分线的定义，$ ∠ BOE = ∠ EOD = \frac{1}{2}∠ BOD $，因此 $ ∠ BOE = \frac{1}{2} × 118° = 59° $。
4. 因为 $ OE ⊥ OF $，根据垂直的定义，$ ∠ EOF = 90° $。又因为 $ ∠ EOF = ∠ EOD + ∠ DOF $，所以 $ ∠ DOF = ∠ EOF - ∠ EOD = 90° - 59° = 31° $。
【答案】
$ ∠ BOE = 59° $，$ ∠ DOF = 31° $
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质
【点评】
本题考查平行线、角平分线及垂直的基本性质，解题核心是利用平行线的同旁内角互补求出中间角，再结合角平分线和垂直关系计算目标角度，属于基础几何题，侧重对基本性质的应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出∠BOD的度数；再根据角平分线的定义计算∠BOE；最后结合垂直的定义和角的和差关系，求出∠DOF的度数。
【解析】
1. 因为 $ CD // AB $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ CDO + ∠ DOB = 180° $。
2. 已知 $ ∠ CDO = 62° $，代入得 $ ∠ DOB = 180° - 62° = 118° $。
3. 因为 $ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，根据角平分线的定义，$ ∠ BOE = ∠ EOD = \frac{1}{2}∠ BOD $，因此 $ ∠ BOE = \frac{1}{2} × 118° = 59° $。
4. 因为 $ OE ⊥ OF $，根据垂直的定义，$ ∠ EOF = 90° $。又因为 $ ∠ EOF = ∠ EOD + ∠ DOF $，所以 $ ∠ DOF = ∠ EOF - ∠ EOD = 90° - 59° = 31° $。
【答案】
$ ∠ BOE = 59° $，$ ∠ DOF = 31° $
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质
【点评】
本题考查平行线、角平分线及垂直的基本性质，解题核心是利用平行线的同旁内角互补求出中间角，再结合角平分线和垂直关系计算目标角度，属于基础几何题，侧重对基本性质的应用。
【难度系数】
0.6
15. （10 分）如图，$CD ⊥ AB$于点$D$，点$E$在$BC$上，$EF ⊥ AB$于点$F$，点$G$在$AC$上，$∠ 1 = ∠ 2$。
（1）$DG // BC$吗？为什么？
（2）如果$∠ B = 54^{\circ}$，且$∠ ACD = 35^{\circ}$，求$∠ 3$的度数。
（1）$DG // BC$吗？为什么？
（2）如果$∠ B = 54^{\circ}$，且$∠ ACD = 35^{\circ}$，求$∠ 3$的度数。
答案
15. 解：（1）$ DG // BC $。理由如下：
因为 $ CD ⊥ AB $，$ EF ⊥ AB $，
所以 $ ∠ CDF = ∠ BFE = 90^{\circ} $，
所以 $ CD // EF $，所以 $ ∠ 2 = ∠ BCD $。
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，
所以 $ ∠ 1 = ∠ BCD $，所以 $ DG // BC $。
（2）因为 $ ∠ BFE = 90^{\circ} $，$ ∠ B = 54^{\circ} $，
$ ∠ B + ∠ 2 + ∠ BFE = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ 2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} $。
因为 $ CD // EF $，所以 $ ∠ BCD = ∠ 2 = 36^{\circ} $。
因为 $ BC // DG $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD $
$ = 35^{\circ} + 36^{\circ} = 71^{\circ} $。
因为 $ CD ⊥ AB $，$ EF ⊥ AB $，
所以 $ ∠ CDF = ∠ BFE = 90^{\circ} $，
所以 $ CD // EF $，所以 $ ∠ 2 = ∠ BCD $。
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，
所以 $ ∠ 1 = ∠ BCD $，所以 $ DG // BC $。
（2）因为 $ ∠ BFE = 90^{\circ} $，$ ∠ B = 54^{\circ} $，
$ ∠ B + ∠ 2 + ∠ BFE = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ 2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} $。
因为 $ CD // EF $，所以 $ ∠ BCD = ∠ 2 = 36^{\circ} $。
因为 $ BC // DG $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD $
$ = 35^{\circ} + 36^{\circ} = 71^{\circ} $。
解析
【分析】
要解决这道题，需分两小问逐步推导：第一问判断DG是否平行BC，先由CD、EF都垂直AB，根据“垂直于同一直线的两条直线平行”得到CD//EF，再利用平行线性质得∠2=∠BCD，结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到内错角∠1=∠BCD，进而判定DG//BC；第二问求∠3，先在Rt△BEF中用直角三角形两锐角互余算出∠2，再由CD//EF得∠BCD=∠2，接着根据DG//BC，利用平行线性质得∠3=∠ACB，最后代入∠ACD和∠BCD的数值计算即可。
【解析】
（1）$DG // BC$，理由如下：
∵ $CD ⊥ AB$，$EF ⊥ AB$，
∴ $∠CDF = ∠BFE = 90°$，
∴ $CD // EF$（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴ $∠2 = ∠BCD$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $∠1 = ∠BCD$（等量代换），
∴ $DG // BC$（内错角相等，两直线平行）。
（2）在$Rt△BEF$中，$∠BFE = 90°$，$∠B = 54°$，
∴ $∠2 = 180° - ∠BFE - ∠B = 180° - 90° - 54° = 36°$，
∵ $CD // EF$，
∴ $∠BCD = ∠2 = 36°$（两直线平行，同位角相等），
∵ $DG // BC$，
∴ $∠3 = ∠ACB$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 35° + 36° = 71°$，
∴ $∠3 = 71°$。
【答案】
（1）$DG // BC$，理由见解析；（2）$∠3 = 71°$。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、直角三角形内角和
【点评】
本题为几何基础题，核心考查平行线的判定与性质的应用，以及直角三角形的角度计算，解题关键是熟练运用平行线的相关定理，结合已知条件完成等量代换，属于巩固几何基础的典型题目。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分两小问逐步推导：第一问判断DG是否平行BC，先由CD、EF都垂直AB，根据“垂直于同一直线的两条直线平行”得到CD//EF，再利用平行线性质得∠2=∠BCD，结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到内错角∠1=∠BCD，进而判定DG//BC；第二问求∠3，先在Rt△BEF中用直角三角形两锐角互余算出∠2，再由CD//EF得∠BCD=∠2，接着根据DG//BC，利用平行线性质得∠3=∠ACB，最后代入∠ACD和∠BCD的数值计算即可。
【解析】
（1）$DG // BC$，理由如下：
∵ $CD ⊥ AB$，$EF ⊥ AB$，
∴ $∠CDF = ∠BFE = 90°$，
∴ $CD // EF$（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴ $∠2 = ∠BCD$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $∠1 = ∠BCD$（等量代换），
∴ $DG // BC$（内错角相等，两直线平行）。
（2）在$Rt△BEF$中，$∠BFE = 90°$，$∠B = 54°$，
∴ $∠2 = 180° - ∠BFE - ∠B = 180° - 90° - 54° = 36°$，
∵ $CD // EF$，
∴ $∠BCD = ∠2 = 36°$（两直线平行，同位角相等），
∵ $DG // BC$，
∴ $∠3 = ∠ACB$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 35° + 36° = 71°$，
∴ $∠3 = 71°$。
【答案】
（1）$DG // BC$，理由见解析；（2）$∠3 = 71°$。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、直角三角形内角和
【点评】
本题为几何基础题，核心考查平行线的判定与性质的应用，以及直角三角形的角度计算，解题关键是熟练运用平行线的相关定理，结合已知条件完成等量代换，属于巩固几何基础的典型题目。
【难度系数】
0.6
16. （12 分）如图，已知点$A$在线段$EC$上，$AD ⊥ BC$于点$D$，$EF ⊥ BC$于点$F$，且$AD$平分$∠ BAC$。
（1）$AD$与$EF$平行吗？为什么？
（2）$∠ 3$与$∠ E$相等吗？为什么？
（1）$AD$与$EF$平行吗？为什么？
（2）$∠ 3$与$∠ E$相等吗？为什么？
答案
16. 解：（1）$ AD // EF $。理由如下：
因为 $ AD ⊥ BC $，$ EF ⊥ BC $，
所以 $ ∠ EFD = ∠ ADC = 90^{\circ} $，
所以 $ AD // EF $。
（2）$ ∠ 3 = ∠ E $。理由如下：
因为 $ AD // EF $，
所以 $ ∠ 1 = ∠ E $，$ ∠ 2 = ∠ 3 $。
因为 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，
所以 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ E $。
因为 $ AD ⊥ BC $，$ EF ⊥ BC $，
所以 $ ∠ EFD = ∠ ADC = 90^{\circ} $，
所以 $ AD // EF $。
（2）$ ∠ 3 = ∠ E $。理由如下：
因为 $ AD // EF $，
所以 $ ∠ 1 = ∠ E $，$ ∠ 2 = ∠ 3 $。
因为 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，
所以 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，
所以 $ ∠ 3 = ∠ E $。
解析
【分析】
（1）要判断AD与EF是否平行，可根据平行线的判定定理：两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行，结合已知AD和EF都垂直于BC，即可得出结论。
（2）要证明∠3与∠E相等，先利用（1）中AD//EF，根据平行线的性质得到相关角相等，再结合AD平分∠BAC得到的角相等，通过等量代换即可推导得出。
【解析】
（1）$AD // EF$，理由如下：
$\because AD ⊥ BC$，$EF ⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ EFD = ∠ ADC = 90°$（垂直的定义），
$\therefore AD // EF$（同位角相等，两直线平行）。
（2）$∠ 3 = ∠ E$，理由如下：
由（1）知$AD // EF$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ E$（两直线平行，同位角相等），
$∠ 2 = ∠ 3$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AD$平分$∠ BAC$（已知），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ 3 = ∠ E$（等量代换）。
【答案】
（1）$AD // EF$，理由见解析；（2）$∠ 3 = ∠ E$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的判定和性质，结合角平分线的定义进行等量代换，属于基础几何证明题，侧重考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要判断AD与EF是否平行，可根据平行线的判定定理：两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行，结合已知AD和EF都垂直于BC，即可得出结论。
（2）要证明∠3与∠E相等，先利用（1）中AD//EF，根据平行线的性质得到相关角相等，再结合AD平分∠BAC得到的角相等，通过等量代换即可推导得出。
【解析】
（1）$AD // EF$，理由如下：
$\because AD ⊥ BC$，$EF ⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ EFD = ∠ ADC = 90°$（垂直的定义），
$\therefore AD // EF$（同位角相等，两直线平行）。
（2）$∠ 3 = ∠ E$，理由如下：
由（1）知$AD // EF$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ E$（两直线平行，同位角相等），
$∠ 2 = ∠ 3$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AD$平分$∠ BAC$（已知），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ 3 = ∠ E$（等量代换）。
【答案】
（1）$AD // EF$，理由见解析；（2）$∠ 3 = ∠ E$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的判定和性质，结合角平分线的定义进行等量代换，属于基础几何证明题，侧重考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
