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18. 如图，工程队铺设一条公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设。若∠ABC=120°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数是
$80°$
。答案
18. $80°$
解析
【分析】
这是平行线间的拐角角度计算问题，解题核心是通过作辅助线将未知角和已知角建立关联。已知AB//DE，直接求∠BCD没有条件，因此过拐点C作CF平行于AB，根据平行公理的推论可得CF也平行于DE，再结合平行线的内错角、同旁内角性质，即可推导得出∠BCD的度数。
【解析】
解：过点C作CF//AB。
∵AB//DE，
∴CF//AB//DE，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCF=∠ABC=120°，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CDE+∠DCF=180°，
∵∠CDE=140°，
∴∠DCF=180°-140°=40°，
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=120°-40°=80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题关键是掌握拐角类平行线问题的辅助线作法，过拐点作已知直线的平行线即可快速将已知角和未知角建立联系，难度不大，需要熟练掌握这类辅助线的用法。
【难度系数】
0.7
这是平行线间的拐角角度计算问题，解题核心是通过作辅助线将未知角和已知角建立关联。已知AB//DE，直接求∠BCD没有条件，因此过拐点C作CF平行于AB，根据平行公理的推论可得CF也平行于DE，再结合平行线的内错角、同旁内角性质，即可推导得出∠BCD的度数。
【解析】
解：过点C作CF//AB。
∵AB//DE，
∴CF//AB//DE，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCF=∠ABC=120°，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CDE+∠DCF=180°，
∵∠CDE=140°，
∴∠DCF=180°-140°=40°，
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=120°-40°=80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题关键是掌握拐角类平行线问题的辅助线作法，过拐点作已知直线的平行线即可快速将已知角和未知角建立联系，难度不大，需要熟练掌握这类辅助线的用法。
【难度系数】
0.7
19.如图,将一副三角尺的两直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,∠D=45°.若绕顶点C转动三角板DCE,当∠BCD的度数为
$105°$或$75°$
时,DE//AB.答案
19. $105°$或$75°$
解析
【分析】
解答本题首先要明确两个三角尺的固定角度：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，故∠B=60°；Rt△DCE中，∠DCE=90°，∠D=45°，故∠E=45°。要使DE//AB，需结合平行线的判定与性质分析，由于三角板DCE绕C转动时，存在两种不同的位置能满足DE与AB平行，因此需要分情况计算∠BCD的度数，避免漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当CD在AC的右侧，DE//AB时：
过点C作CF//AB，
∵DE//AB，
∴CF//AB//DE。
由平行线内错角相等可得：∠A=∠ACF=30°，∠D=∠DCF=45°，
因此∠ACD=∠DCF - ∠ACF=45°-30°=15°，
又
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB + ∠ACD=90°+15°=105°。
2. 当CD在AC与BC之间，DE//AB时：
过点C作CF//AB，
∵DE//AB，
∴CF//AB//DE。
由平行线内错角相等可得：∠A=∠ACF=30°，∠D=∠DCF=45°，
因此∠ACD=∠DCF - ∠ACF=45°-30°=15°，
又
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB - ∠ACD=90°-15°=75°。
综上，∠BCD的度数为105°或75°。
【答案】
$105°$或$75°$
【知识点】
平行线的性质；角度运算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平行线性质的应用，解题的关键是考虑到三角板转动存在两种符合条件的位置，易错点是只考虑一种情况导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解答本题首先要明确两个三角尺的固定角度：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，故∠B=60°；Rt△DCE中，∠DCE=90°，∠D=45°，故∠E=45°。要使DE//AB，需结合平行线的判定与性质分析，由于三角板DCE绕C转动时，存在两种不同的位置能满足DE与AB平行，因此需要分情况计算∠BCD的度数，避免漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当CD在AC的右侧，DE//AB时：
过点C作CF//AB，
∵DE//AB，
∴CF//AB//DE。
由平行线内错角相等可得：∠A=∠ACF=30°，∠D=∠DCF=45°，
因此∠ACD=∠DCF - ∠ACF=45°-30°=15°，
又
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB + ∠ACD=90°+15°=105°。
2. 当CD在AC与BC之间，DE//AB时：
过点C作CF//AB，
∵DE//AB，
∴CF//AB//DE。
由平行线内错角相等可得：∠A=∠ACF=30°，∠D=∠DCF=45°，
因此∠ACD=∠DCF - ∠ACF=45°-30°=15°，
又
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB - ∠ACD=90°-15°=75°。
综上，∠BCD的度数为105°或75°。
【答案】
$105°$或$75°$
【知识点】
平行线的性质；角度运算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平行线性质的应用，解题的关键是考虑到三角板转动存在两种符合条件的位置，易错点是只考虑一种情况导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
20. 如图，已知$AB// CD$，$∠ 1+∠ 2=180°$。
(1)请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由。
(2)若$CE⊥ AE$，垂足为E，$∠ 2=140°$，试求$∠ FAB$的度数。
(1)请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由。
(2)若$CE⊥ AE$，垂足为E，$∠ 2=140°$，试求$∠ FAB$的度数。
答案
20. 解：(1) $AD // EC$. 理由：$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ 1= ∠ ADC$. $\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$,
$\therefore ∠ 2+∠ ADC=180°$. $\therefore AD// EC$.
(2) $\because AD // EC, CE ⊥ AE, \therefore AD ⊥ AE$.
$\therefore ∠ FAD=90°$. $\because ∠ 1+∠ 2=180°, ∠ 2=140°, \therefore ∠ 1=40°$. $\therefore ∠ FAB=∠ FAD-∠ 1=90°-40°=50°$.
$\therefore ∠ 1= ∠ ADC$. $\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$,
$\therefore ∠ 2+∠ ADC=180°$. $\therefore AD// EC$.
(2) $\because AD // EC, CE ⊥ AE, \therefore AD ⊥ AE$.
$\therefore ∠ FAD=90°$. $\because ∠ 1+∠ 2=180°, ∠ 2=140°, \therefore ∠ 1=40°$. $\therefore ∠ FAB=∠ FAD-∠ 1=90°-40°=50°$.
解析
【分析】
(1) 要判断AD与EC的位置关系，可从平行线的判定条件入手。首先根据已知AB//CD，利用平行线的性质可得内错角∠1=∠ADC，再结合∠1+∠2=180°等量代换得到∠ADC+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”即可推出AD与EC的位置关系。
(2) 求∠FAB的度数时，先由AD//EC、CE⊥AE可推出AD⊥AE，得到∠FAD=90°；再根据∠1+∠2=180°算出∠1的度数，最后用∠FAD减去∠1即可求出∠FAB的度数。
【解析】
(1) $AD // EC$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ ADC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，
$\therefore ∠ 2 + ∠ ADC = 180°$（等量代换），
$\therefore AD// EC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because AD// EC$，$CE⊥ AE$，
$\therefore AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ FAD = 90°$。
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，$∠ 2 = 140°$，
$\therefore ∠ 1 = 180° - 140° = 40°$，
$\therefore ∠ FAB = ∠ FAD - ∠ 1 = 90° - 40° = 50°$。
【答案】
(1) $AD// EC$，理由见解析；
(2) $∠ FAB=50°$
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题侧重考查平行线相关定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，结合已知条件逐步推导角度关系即可完成求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断AD与EC的位置关系，可从平行线的判定条件入手。首先根据已知AB//CD，利用平行线的性质可得内错角∠1=∠ADC，再结合∠1+∠2=180°等量代换得到∠ADC+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”即可推出AD与EC的位置关系。
(2) 求∠FAB的度数时，先由AD//EC、CE⊥AE可推出AD⊥AE，得到∠FAD=90°；再根据∠1+∠2=180°算出∠1的度数，最后用∠FAD减去∠1即可求出∠FAB的度数。
【解析】
(1) $AD // EC$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ ADC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，
$\therefore ∠ 2 + ∠ ADC = 180°$（等量代换），
$\therefore AD// EC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because AD// EC$，$CE⊥ AE$，
$\therefore AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ FAD = 90°$。
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，$∠ 2 = 140°$，
$\therefore ∠ 1 = 180° - 140° = 40°$，
$\therefore ∠ FAB = ∠ FAD - ∠ 1 = 90° - 40° = 50°$。
【答案】
(1) $AD// EC$，理由见解析；
(2) $∠ FAB=50°$
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题侧重考查平行线相关定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，结合已知条件逐步推导角度关系即可完成求解。
【难度系数】
0.8
