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12. 如图,光在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,∠1=48°,∠2=158°,则∠3的度数为 (
A.68°
B.70°
C.78°
D.80°
B
)A.68°
B.70°
C.78°
D.80°
答案
12.B
解析
【分析】
解题时先明确题中的平行条件：水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，所有水平的界面和虚线也互相平行。首先利用平行线的同旁内角互补求出右侧光线与水面的锐角夹角，再通过平行线的同位角相等得到左侧光线与水面的同位置夹角，结合已知的∠1，将两个角度相加即可得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 图中所有水平直线（水面、水平虚线）互相平行，且水中两条入射光线平行
∴ 右侧入射光线与水面的锐角夹角为 $180° - ∠2 = 180° - 158° = 22°$
根据两直线平行，同位角相等，左侧入射光线与水面的锐角夹角也为22°
又
∵ 空气中两条折射光线平行，水平直线互相平行
∴ 折射光线与水面的锐角夹角等于$∠1 = 48°$
结合平行线同位角相等的性质，可得$∠3 = 48° + 22° = 70°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合光的折射场景考查平行线性质的实际应用，需要将生活中的平行关系转化为几何模型，利用平行线的角度运算规则求解，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题中的平行条件：水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，所有水平的界面和虚线也互相平行。首先利用平行线的同旁内角互补求出右侧光线与水面的锐角夹角，再通过平行线的同位角相等得到左侧光线与水面的同位置夹角，结合已知的∠1，将两个角度相加即可得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 图中所有水平直线（水面、水平虚线）互相平行，且水中两条入射光线平行
∴ 右侧入射光线与水面的锐角夹角为 $180° - ∠2 = 180° - 158° = 22°$
根据两直线平行，同位角相等，左侧入射光线与水面的锐角夹角也为22°
又
∵ 空气中两条折射光线平行，水平直线互相平行
∴ 折射光线与水面的锐角夹角等于$∠1 = 48°$
结合平行线同位角相等的性质，可得$∠3 = 48° + 22° = 70°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合光的折射场景考查平行线性质的实际应用，需要将生活中的平行关系转化为几何模型，利用平行线的角度运算规则求解，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
13.如图，添加一个条件：
$∠ 3=∠ 4$(答案不唯一)
，使AB//CD。答案
13. $∠ 3=∠ 4$(答案不唯一)
解析
【分析】要判定AB//CD，首先回忆平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两直线平行。接下来观察图形，找到直线AB、CD被第三条直线所截形成的对应角：若被AC所截，可得内错角∠3和∠4；若被BE所截，可得同位角∠B和∠5、同旁内角∠B和∠BCD，只需添加对应角相等或互补的条件即可。
【解析】根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，当添加条件∠3=∠4时，∠3和∠4是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等即可推出AB//CD。除此之外，添加∠B=∠5（同位角相等，两直线平行）、∠B+∠BCD=180°（同旁内角互补，两直线平行）等条件也可满足要求，答案不唯一。
【答案】∠3=∠4（答案不唯一）
【知识点】1.平行线的判定 2.内错角的识别
【点评】本题属于开放性基础题，需要结合图形找准两条被截直线和截线，识别对应位置关系的角，熟练运用平行线的判定定理即可解题。
【难度系数】0.8
【解析】根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，当添加条件∠3=∠4时，∠3和∠4是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等即可推出AB//CD。除此之外，添加∠B=∠5（同位角相等，两直线平行）、∠B+∠BCD=180°（同旁内角互补，两直线平行）等条件也可满足要求，答案不唯一。
【答案】∠3=∠4（答案不唯一）
【知识点】1.平行线的判定 2.内错角的识别
【点评】本题属于开放性基础题，需要结合图形找准两条被截直线和截线，识别对应位置关系的角，熟练运用平行线的判定定理即可解题。
【难度系数】0.8
14.将直尺和直角三角板如图摆放，已知∠2=60°，则∠1的度数是
$30°$
。答案
14. $30°$
解析
【分析】
解题时首先明确两个隐含条件：一是直尺的上下两条对边互相平行，二是直角三角板的直角为90°。我们可以利用平行线的性质，将∠2转化到与∠1共顶点的位置，此时可发现∠1与∠2的和恰好等于三角板的直角90°，代入∠2的度数即可求出∠1的大小。
【解析】
解：
∵直尺的上下两边互相平行，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得与∠2相等的同位角和∠1共同组成三角板的直角，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
已知∠2=60°，
∴∠1 = 90° - 60° = 30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
平行线的性质，直角的定义，角度计算
【点评】
本题结合日常学习工具考查几何基础知识点，解题的关键是挖掘图形中的隐含条件，利用平行线的性质建立两个角的数量关系，属于基础类考题，注重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个隐含条件：一是直尺的上下两条对边互相平行，二是直角三角板的直角为90°。我们可以利用平行线的性质，将∠2转化到与∠1共顶点的位置，此时可发现∠1与∠2的和恰好等于三角板的直角90°，代入∠2的度数即可求出∠1的大小。
【解析】
解：
∵直尺的上下两边互相平行，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得与∠2相等的同位角和∠1共同组成三角板的直角，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
已知∠2=60°，
∴∠1 = 90° - 60° = 30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
平行线的性质，直角的定义，角度计算
【点评】
本题结合日常学习工具考查几何基础知识点，解题的关键是挖掘图形中的隐含条件，利用平行线的性质建立两个角的数量关系，属于基础类考题，注重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
15.如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点B，A分别落在点$B'$，$A'$位置上，$FB'$与AD的交点为G.若$∠DGF=110°$，则$∠A'EF$的度数为
$125°$
.答案
15. $125°$
解析
【分析】
本题是长方形折叠的角度计算问题，解题思路如下：首先利用长方形对边平行的性质，通过内错角相等求出∠BFG的度数；再根据折叠前后对应角相等的性质，计算出∠EFB的度数；接着利用平行线同旁内角互补的性质求出∠AEF的度数；最后根据折叠前后对应角相等，得到∠A'EF与∠AEF相等，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DGF=∠BFG（两直线平行，内错角相等），
∵∠DGF=110°，
∴∠BFG=110°，
由折叠的性质可得：∠EFB=∠EFB'，且∠EFB + ∠EFB' = ∠BFG=110°，
∴∠EFB=110°÷2=55°，
又
∵AD//BC，
∴∠AEF + ∠EFB=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠AEF=180° - 55°=125°，
由折叠的性质可知∠A'EF=∠AEF，
∴∠A'EF=125°。
【答案】
$125°$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角度运算
【点评】
本题属于几何折叠类的常规考题，重点考查对平行线性质和折叠性质的理解运用，解题时只要理清折叠前后的等角关系，结合平行线的角度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是长方形折叠的角度计算问题，解题思路如下：首先利用长方形对边平行的性质，通过内错角相等求出∠BFG的度数；再根据折叠前后对应角相等的性质，计算出∠EFB的度数；接着利用平行线同旁内角互补的性质求出∠AEF的度数；最后根据折叠前后对应角相等，得到∠A'EF与∠AEF相等，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DGF=∠BFG（两直线平行，内错角相等），
∵∠DGF=110°，
∴∠BFG=110°，
由折叠的性质可得：∠EFB=∠EFB'，且∠EFB + ∠EFB' = ∠BFG=110°，
∴∠EFB=110°÷2=55°，
又
∵AD//BC，
∴∠AEF + ∠EFB=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠AEF=180° - 55°=125°，
由折叠的性质可知∠A'EF=∠AEF，
∴∠A'EF=125°。
【答案】
$125°$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角度运算
【点评】
本题属于几何折叠类的常规考题，重点考查对平行线性质和折叠性质的理解运用，解题时只要理清折叠前后的等角关系，结合平行线的角度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
16.如图，将一副三角尺和一张对边平行的纸条如图摆放，则∠α的度数是
$15°$
。答案
16. $15°$
解析
【分析】
解题时首先明确两个已知条件：一是纸条对边互相平行，可应用平行线的内错角相等的性质；二是一副三角尺的角度是固定的，等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°。接下来结合图形找角度的和差关系：平行线形成的内错角为45°，该角等于30°与∠α的和，据此列式即可求出∠α的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，等腰直角三角尺的锐角为45°，另一块三角尺的较小锐角为30°。
∵纸条的上下对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$45°=30°+∠α$
∴$∠α=45°-30°=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质、三角尺角度特征、角度计算
【点评】
本题属于基础几何题，将常见的三角尺与平行线结合考察，解题的关键是熟记三角尺的固定角度，熟练运用平行线的性质找到角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个已知条件：一是纸条对边互相平行，可应用平行线的内错角相等的性质；二是一副三角尺的角度是固定的，等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°。接下来结合图形找角度的和差关系：平行线形成的内错角为45°，该角等于30°与∠α的和，据此列式即可求出∠α的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，等腰直角三角尺的锐角为45°，另一块三角尺的较小锐角为30°。
∵纸条的上下对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$45°=30°+∠α$
∴$∠α=45°-30°=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质、三角尺角度特征、角度计算
【点评】
本题属于基础几何题，将常见的三角尺与平行线结合考察，解题的关键是熟记三角尺的固定角度，熟练运用平行线的性质找到角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
17. 如图1，$∠ DEF=24°$，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中$∠ CFE$的度数是
$108°$
。答案
17. $108°$
解析
【分析】
首先利用长方形对边平行的性质，由两直线平行内错角相等，可得∠EFB与已知∠DEF的度数相等；再结合折叠的核心性质：折叠前后对应角大小不变，先求出第一次折叠后∠GFC的度数；最后第二次折叠后，用∠GFC减去∠EFG即可得到∠CFE的度数。
【解析】
解：
∵长方形ABCD的对边AD//BC，
∴根据两直线平行，内错角相等，可得∠EFB = ∠DEF = 24°。
第一次沿EF折叠后，由折叠的性质可知∠EFG = ∠EFB = 24°，
则图2中∠GFC = 180° - ∠EFB - ∠EFG = 180° - 2×24° = 132°。
第二次沿GF折叠后，∠CFE = ∠GFC - ∠EFG = 132° - 24° = 108°。
【答案】
108°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的常见题型，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合平行线的性质梳理各角度之间的关系，计算时注意不要遗漏折叠重叠的角度即可。
【难度系数】
0.65
首先利用长方形对边平行的性质，由两直线平行内错角相等，可得∠EFB与已知∠DEF的度数相等；再结合折叠的核心性质：折叠前后对应角大小不变，先求出第一次折叠后∠GFC的度数；最后第二次折叠后，用∠GFC减去∠EFG即可得到∠CFE的度数。
【解析】
解：
∵长方形ABCD的对边AD//BC，
∴根据两直线平行，内错角相等，可得∠EFB = ∠DEF = 24°。
第一次沿EF折叠后，由折叠的性质可知∠EFG = ∠EFB = 24°，
则图2中∠GFC = 180° - ∠EFB - ∠EFG = 180° - 2×24° = 132°。
第二次沿GF折叠后，∠CFE = ∠GFC - ∠EFG = 132° - 24° = 108°。
【答案】
108°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的常见题型，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合平行线的性质梳理各角度之间的关系，计算时注意不要遗漏折叠重叠的角度即可。
【难度系数】
0.65
