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7. 如图，$b// c$，$a⊥ b$，$∠1=130°$，则$∠2$的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时从已知条件入手推导：首先由$a⊥b$可得出a与b的夹角为$90°$；再结合$b// c$，根据平行线的性质可推出a也垂直于c，即a与c的夹角为$90°$。接下来分析已知角$∠1$，它和相邻的角构成平角，可算出该相邻角的度数，再结合三角形内角和、对顶角相等的性质，就能求出与$∠2$相等的角的度数，最终得到$∠2$的大小。
【解析】
解：延长直线a，交直线c于点M。
1. 根据垂直的定义：$\because a ⊥ b$，$\therefore$a与b的夹角为$90°$。
2. 根据平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条，$\because b // c$，$\therefore a ⊥ c$，即a与c的夹角$∠ AMC=90°$。
3. $\because ∠1=130°$，且$∠1$和它的邻补角组成平角，$\therefore$该邻补角的度数为$180°-130°=50°$。
4. 在交点处构成的三角形中，根据三角形内角和为$180°$，可得与$∠2$对顶的角的度数为：$180°-90°-50°=40°$。
5. 根据对顶角相等的性质，可得$∠2=40°$。
【答案】
B
【知识点】
垂直的性质，平行线的性质，对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考察平行线、垂直、角的相关性质的综合运用，解题的关键是通过简单的辅助线建立已知角和未知角的关联，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件入手推导：首先由$a⊥b$可得出a与b的夹角为$90°$；再结合$b// c$，根据平行线的性质可推出a也垂直于c，即a与c的夹角为$90°$。接下来分析已知角$∠1$，它和相邻的角构成平角，可算出该相邻角的度数，再结合三角形内角和、对顶角相等的性质，就能求出与$∠2$相等的角的度数，最终得到$∠2$的大小。
【解析】
解：延长直线a，交直线c于点M。
1. 根据垂直的定义：$\because a ⊥ b$，$\therefore$a与b的夹角为$90°$。
2. 根据平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条，$\because b // c$，$\therefore a ⊥ c$，即a与c的夹角$∠ AMC=90°$。
3. $\because ∠1=130°$，且$∠1$和它的邻补角组成平角，$\therefore$该邻补角的度数为$180°-130°=50°$。
4. 在交点处构成的三角形中，根据三角形内角和为$180°$，可得与$∠2$对顶的角的度数为：$180°-90°-50°=40°$。
5. 根据对顶角相等的性质，可得$∠2=40°$。
【答案】
B
【知识点】
垂直的性质，平行线的性质，对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考察平行线、垂直、角的相关性质的综合运用，解题的关键是通过简单的辅助线建立已知角和未知角的关联，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$AB// CD$，图中$∠α$，$∠β$，$∠\gamma$之间的关系是 （
A.$∠α+∠β+∠\gamma=180°$
B.$∠α-∠β+∠\gamma=180°$
C.$∠α+∠β-∠\gamma=180°$
D.$∠α+∠β+∠\gamma=360°$
C
）A.$∠α+∠β+∠\gamma=180°$
B.$∠α-∠β+∠\gamma=180°$
C.$∠α+∠β-∠\gamma=180°$
D.$∠α+∠β+∠\gamma=360°$
答案
8.C
解析
【分析】
本题考查平行线中角的数量关系推导，解题思路如下：首先观察图形特征，AB和CD平行但存在折线，这类问题常规解法是过折线的拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质（同旁内角互补、内错角相等），将三个角的关系转化为可计算的等量关系，最终推导得出三者的关系式。
【解析】
过∠β的顶点作EF//AB，
∵ AB//CD（已知），
∴ EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
① 由AB//EF，可得：∠α + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）；
② 由EF//CD，可得：∠FED = ∠γ（两直线平行，内错角相等）；
又
∵ ∠β = ∠AEF + ∠FED，
∴ ∠AEF = ∠β - ∠FED = ∠β - ∠γ，
将∠AEF代入①的式子可得：
∠α + ∠β - ∠γ = 180°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，等量代换，辅助线构造
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题技巧是遇到平行线间存在折线的问题时，过拐点作平行线，即可将分散的角建立联系，进而推导角的数量关系，该方法是解决这类题型的常用思路。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线中角的数量关系推导，解题思路如下：首先观察图形特征，AB和CD平行但存在折线，这类问题常规解法是过折线的拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质（同旁内角互补、内错角相等），将三个角的关系转化为可计算的等量关系，最终推导得出三者的关系式。
【解析】
过∠β的顶点作EF//AB，
∵ AB//CD（已知），
∴ EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
① 由AB//EF，可得：∠α + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）；
② 由EF//CD，可得：∠FED = ∠γ（两直线平行，内错角相等）；
又
∵ ∠β = ∠AEF + ∠FED，
∴ ∠AEF = ∠β - ∠FED = ∠β - ∠γ，
将∠AEF代入①的式子可得：
∠α + ∠β - ∠γ = 180°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，等量代换，辅助线构造
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题技巧是遇到平行线间存在折线的问题时，过拐点作平行线，即可将分散的角建立联系，进而推导角的数量关系，该方法是解决这类题型的常用思路。
【难度系数】
0.7
9.如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A'处,点B落在点B'处.若∠2=40°,则图中∠1的度数是
115°
.答案
9. $115°$
解析
【分析】
解决本题需要结合长方形和折叠的性质推导角度关系：首先，长方形对边平行且四个角都是直角，折叠前后图形的对应角相等；我们可以先通过已知的∠2，利用直角三角形两锐角互余求出∠A'FC的度数，再根据平角的性质和折叠得到的等角关系，建立关于∠1的等式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠C=90°，AD//BC。
由折叠的性质可得：折叠前后对应角相等，即∠1=∠EFB'，∠B'=∠B=90°。
在Rt△A'FC中，∠2=40°，∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠A'FC=90°-∠2=90°-40°=50°。
∵ 点F在BC边上，BC为直线，∠1与∠EFB'相等且存在重叠部分∠A'FC，因此有：
∠1 + ∠EFB' - ∠A'FC = 180°，
将∠EFB'=∠1，∠A'FC=50°代入得：
2∠1 - 50° = 180°，
解得∠1=115°。
【答案】
$115°$
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于几何角度计算的中等难度题，重点考查折叠变换的性质和直角三角形的角度关系，解题的关键是准确找到折叠前后相等的角，理清重叠部分的角度关系，避免漏算或多算重叠角。
【难度系数】
0.6
解决本题需要结合长方形和折叠的性质推导角度关系：首先，长方形对边平行且四个角都是直角，折叠前后图形的对应角相等；我们可以先通过已知的∠2，利用直角三角形两锐角互余求出∠A'FC的度数，再根据平角的性质和折叠得到的等角关系，建立关于∠1的等式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠C=90°，AD//BC。
由折叠的性质可得：折叠前后对应角相等，即∠1=∠EFB'，∠B'=∠B=90°。
在Rt△A'FC中，∠2=40°，∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠A'FC=90°-∠2=90°-40°=50°。
∵ 点F在BC边上，BC为直线，∠1与∠EFB'相等且存在重叠部分∠A'FC，因此有：
∠1 + ∠EFB' - ∠A'FC = 180°，
将∠EFB'=∠1，∠A'FC=50°代入得：
2∠1 - 50° = 180°，
解得∠1=115°。
【答案】
$115°$
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于几何角度计算的中等难度题，重点考查折叠变换的性质和直角三角形的角度关系，解题的关键是准确找到折叠前后相等的角，理清重叠部分的角度关系，避免漏算或多算重叠角。
【难度系数】
0.6
10. 山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（$AM// BD// CN$），且每两个支撑架之间的索道均是直的. 若$∠ MAB=60°$，$∠ NCB=40°$，则$∠ ABC$的度数为
100°
.答案
10. $100°$
解析
【分析】
已知索道支撑架AM、BD、CN互相平行，要求∠ABC的度数，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线内错角相等的性质，将∠ABC拆分为两个分别与已知角度相等的角，再求和就能得到结果。具体思考路径：首先过点B作平行于AM的直线，根据平行公理的推论，这条直线也平行于CN，再分别利用两直线平行内错角相等，求出拆分后的两个角的度数，相加即为∠ABC的度数。
【解析】
解：过点B作$BE// AM$。
$\because AM// CN$（已知），$BE// AM$
$\therefore BE// CN$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\because BE// AM$
$\therefore ∠ ABE = ∠ MAB = 60°$（两直线平行，内错角相等）
$\because BE// CN$
$\therefore ∠ CBE = ∠ NCB = 40°$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABE + ∠ CBE = 60° + 40° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题的关键是合理作出辅助线，将所求角拆分为两个可通过平行线性质求出度数的角，从而快速得到结果。
【难度系数】
0.7
已知索道支撑架AM、BD、CN互相平行，要求∠ABC的度数，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线内错角相等的性质，将∠ABC拆分为两个分别与已知角度相等的角，再求和就能得到结果。具体思考路径：首先过点B作平行于AM的直线，根据平行公理的推论，这条直线也平行于CN，再分别利用两直线平行内错角相等，求出拆分后的两个角的度数，相加即为∠ABC的度数。
【解析】
解：过点B作$BE// AM$。
$\because AM// CN$（已知），$BE// AM$
$\therefore BE// CN$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\because BE// AM$
$\therefore ∠ ABE = ∠ MAB = 60°$（两直线平行，内错角相等）
$\because BE// CN$
$\therefore ∠ CBE = ∠ NCB = 40°$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABE + ∠ CBE = 60° + 40° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题的关键是合理作出辅助线，将所求角拆分为两个可通过平行线性质求出度数的角，从而快速得到结果。
【难度系数】
0.7
11.如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4=180°,试说明:∠1=∠2.(请通过填空完善下列推理过程)
解:因为∠3+∠4=180°(已知),
∠FHD=∠4(
所以∠3+
所以FG//BD(
所以∠1=
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=
所以
解:因为∠3+∠4=180°(已知),
∠FHD=∠4(
对顶角相等
),所以∠3+
$∠ FHD$
=180°.所以FG//BD(
同旁内角互补，两直线平行
).所以∠1=
$∠ ABD$
(两直线平行，同位角相等
).因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=
$∠ 2$
(角平分线的定义
).所以
$∠ 1=∠ 2$
.答案
11. 对顶角相等 $∠ FHD$ 同旁内角互补，两直线平行 $∠ ABD$ 两直线平行，同位角相等 $∠ 2$ 角平分线的定义 $∠ 1=∠ 2$
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，可结合已知条件先推导FG与BD平行，再结合平行线的性质和角平分线的定义完成等量代换。首先观察到∠4与∠FHD是对顶角，结合已知∠3+∠4=180°，可推出∠3与∠FHD互补，根据平行线判定定理得到FG//BD；再由平行线的性质得∠1等于∠ABD，最后结合BD平分∠ABC的条件，通过角平分线定义和等量代换即可得到∠1=∠2。
【解析】
解:因为∠3+∠4=180°(已知),
∠FHD=∠4( 对顶角相等 ),
所以∠3+ $\boldsymbol{∠FHD}$ =180°.
所以FG//BD( 同旁内角互补，两直线平行 ).
所以∠1= $\boldsymbol{∠ABD}$ ( 两直线平行，同位角相等 ).
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD= $\boldsymbol{∠2}$ ( 角平分线的定义 ).
所以 $\boldsymbol{∠1=∠2}$ .
【答案】
依次填入：对顶角相等；∠FHD；同旁内角互补，两直线平行；∠ABD；两直线平行，同位角相等；∠2；角平分线的定义；∠1=∠2
【知识点】
对顶角的性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础推理题，重点考查基础几何定理的应用和逻辑推导能力，解题的关键是理清角与角之间的位置和数量关系，熟练掌握相关定理完成推导。
【难度系数】
0.8
要证明∠1=∠2，可结合已知条件先推导FG与BD平行，再结合平行线的性质和角平分线的定义完成等量代换。首先观察到∠4与∠FHD是对顶角，结合已知∠3+∠4=180°，可推出∠3与∠FHD互补，根据平行线判定定理得到FG//BD；再由平行线的性质得∠1等于∠ABD，最后结合BD平分∠ABC的条件，通过角平分线定义和等量代换即可得到∠1=∠2。
【解析】
解:因为∠3+∠4=180°(已知),
∠FHD=∠4( 对顶角相等 ),
所以∠3+ $\boldsymbol{∠FHD}$ =180°.
所以FG//BD( 同旁内角互补，两直线平行 ).
所以∠1= $\boldsymbol{∠ABD}$ ( 两直线平行，同位角相等 ).
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD= $\boldsymbol{∠2}$ ( 角平分线的定义 ).
所以 $\boldsymbol{∠1=∠2}$ .
【答案】
依次填入：对顶角相等；∠FHD；同旁内角互补，两直线平行；∠ABD；两直线平行，同位角相等；∠2；角平分线的定义；∠1=∠2
【知识点】
对顶角的性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础推理题，重点考查基础几何定理的应用和逻辑推导能力，解题的关键是理清角与角之间的位置和数量关系，熟练掌握相关定理完成推导。
【难度系数】
0.8
