登录
9. 有100瓶饮料，其中有3瓶质量出现问题，从中任意拿一瓶，拿出合格品的可能性是（
A.$\frac{3}{100}$
B.$\frac{97}{100}$
C.$\frac{3}{97}$
D.$\frac{1}{97}$
B
）A.$\frac{3}{100}$
B.$\frac{97}{100}$
C.$\frac{3}{97}$
D.$\frac{1}{97}$
答案
9. B
解析
【分析】
要计算拿出合格品的可能性，首先需要先求出合格品的数量，再用合格品的数量除以饮料的总数量，得到合格品占总数量的几分之几，这个结果就是拿出合格品的可能性。我们已知总共有100瓶饮料，其中3瓶质量有问题，所以先通过总数量减去不合格的数量算出合格品的数量，再用合格品数除以总数量就能得到答案。
【解析】
第一步：计算合格品的数量
总共有100瓶饮料，其中3瓶不合格，因此合格品数量为：$100 - 3 = 97$（瓶）
第二步：计算拿出合格品的可能性
拿出合格品的可能性就是合格品数量占总数量的几分之几，用除法计算：
$97 ÷ 100 = \frac{97}{100}$
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
可能性计算、求一个数是另一个数的几分之几
【点评】
这道题属于基础类的可能性计算题目，解题的核心是先准确求出合格品的数量，再结合“求一个数占另一个数的几分之几用除法”的知识点计算即可，掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
要计算拿出合格品的可能性，首先需要先求出合格品的数量，再用合格品的数量除以饮料的总数量，得到合格品占总数量的几分之几，这个结果就是拿出合格品的可能性。我们已知总共有100瓶饮料，其中3瓶质量有问题，所以先通过总数量减去不合格的数量算出合格品的数量，再用合格品数除以总数量就能得到答案。
【解析】
第一步：计算合格品的数量
总共有100瓶饮料，其中3瓶不合格，因此合格品数量为：$100 - 3 = 97$（瓶）
第二步：计算拿出合格品的可能性
拿出合格品的可能性就是合格品数量占总数量的几分之几，用除法计算：
$97 ÷ 100 = \frac{97}{100}$
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
可能性计算、求一个数是另一个数的几分之几
【点评】
这道题属于基础类的可能性计算题目，解题的核心是先准确求出合格品的数量，再结合“求一个数占另一个数的几分之几用除法”的知识点计算即可，掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
10. 如果一堂数学课40分钟，甲班做了10分钟的练习，乙班做练习的时间占整堂课的$\frac{1}{4}$，哪个班用来做练习的时间多 （
A.甲班
B.乙班
C.一样多
D.无法确定
C
）A.甲班
B.乙班
C.一样多
D.无法确定
答案
10. C
解析
【分析】
要比较哪个班做练习的时间多，需要先算出乙班的练习时长，再和甲班的10分钟对比。解题时先明确单位“1”是整堂课的总时长40分钟，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，就能得到乙班的练习时间，最后做大小比较即可。
【解析】
第一步：计算乙班做练习的时间，整堂课40分钟，乙班做练习的时间占整堂课的$\frac{1}{4}$，因此乙班练习时长为：
$40×\frac{1}{4}=10$（分钟）
第二步：对比两个班的练习时长，甲班练习时长是10分钟，$10分钟=10分钟$，因此两个班做练习的时间一样多。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”的识别，数的大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是掌握“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”的规则，要注意不能直接将分数和时间数值直接对比，必须先统一计算出相同单位的量再比较。
【难度系数】
0.9
要比较哪个班做练习的时间多，需要先算出乙班的练习时长，再和甲班的10分钟对比。解题时先明确单位“1”是整堂课的总时长40分钟，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，就能得到乙班的练习时间，最后做大小比较即可。
【解析】
第一步：计算乙班做练习的时间，整堂课40分钟，乙班做练习的时间占整堂课的$\frac{1}{4}$，因此乙班练习时长为：
$40×\frac{1}{4}=10$（分钟）
第二步：对比两个班的练习时长，甲班练习时长是10分钟，$10分钟=10分钟$，因此两个班做练习的时间一样多。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”的识别，数的大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是掌握“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”的规则，要注意不能直接将分数和时间数值直接对比，必须先统一计算出相同单位的量再比较。
【难度系数】
0.9
11. 两个奇数相乘，积一定是 （
A.素数
B.偶数
C.奇数
D.合数
C
）A.素数
B.偶数
C.奇数
D.合数
答案
11. C
解析
【分析】
解题时可以先回忆奇数、偶数、素数、合数的相关概念，优先采用举实例排除法（符合学段知识掌握水平），先列举不同的两个奇数相乘的例子，再逐一核对每个选项是否符合，也可以从奇数的定义出发：奇数不能被2整除，因此两个奇数的乘积里不含因数2，可直接判断奇偶性，再排除其他错误选项即可。
【解析】
我们可以通过举例结合概念逐一判断：
1. 先明确概念：奇数是不能被2整除的数，素数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，偶数是能被2整除的数。
2. 举例子验证：
例1：取两个奇数1和3，乘积是1×3=3。3是奇数、素数，由此可知积不一定是偶数，也不一定是合数，排除B、D选项。
例2：取两个奇数3和5，乘积是3×5=15。15是奇数、合数，由此可知积不一定是素数，排除A选项。
3. 所有两个奇数相乘的积都不能被2整除，因此一定是奇数，C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
奇数的性质；素数与合数；偶数的特征
【点评】
本题考查整数分类相关的基础概念辨析，解题时用举反例的方法能快速排除错误选项，要注意特殊奇数1的乘积情况，避免误判积一定是合数。
【难度系数】
0.8
解题时可以先回忆奇数、偶数、素数、合数的相关概念，优先采用举实例排除法（符合学段知识掌握水平），先列举不同的两个奇数相乘的例子，再逐一核对每个选项是否符合，也可以从奇数的定义出发：奇数不能被2整除，因此两个奇数的乘积里不含因数2，可直接判断奇偶性，再排除其他错误选项即可。
【解析】
我们可以通过举例结合概念逐一判断：
1. 先明确概念：奇数是不能被2整除的数，素数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，偶数是能被2整除的数。
2. 举例子验证：
例1：取两个奇数1和3，乘积是1×3=3。3是奇数、素数，由此可知积不一定是偶数，也不一定是合数，排除B、D选项。
例2：取两个奇数3和5，乘积是3×5=15。15是奇数、合数，由此可知积不一定是素数，排除A选项。
3. 所有两个奇数相乘的积都不能被2整除，因此一定是奇数，C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
奇数的性质；素数与合数；偶数的特征
【点评】
本题考查整数分类相关的基础概念辨析，解题时用举反例的方法能快速排除错误选项，要注意特殊奇数1的乘积情况，避免误判积一定是合数。
【难度系数】
0.8
12. 成轴对称的两个图形，对称轴至少有 （
A.2条
B.3条
C.1条
D.4条
C
）A.2条
B.3条
C.1条
D.4条
答案
12. C
解析
【分析】
首先回忆成轴对称的两个图形的定义：两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合，就说明这两个图形成轴对称，这条直线就是它们的对称轴。题目问“至少有几条”，也就是找成轴对称的两个图形最少的对称轴数量。我们可以结合常见例子思考：比如两个一模一样的三角形摆放成轴对称，就只有1条对称轴，不存在对称轴数量为0的成轴对称图形，所以最少就是1条。
【解析】
根据成轴对称的定义：如果两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，就称这两个图形成轴对称，这条直线就是它们的对称轴。
成轴对称的两个图形必然存在至少1条能让它们对折重合的直线，普通的成轴对称图形（如两个成轴对称的三角形）仅1条对称轴，因此对称轴至少有1条。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的定义
2. 对称轴的认识
【点评】
本题考查轴对称相关的基础概念，解题的关键是明确成轴对称的两个图形的特征，不要和单个轴对称图形的对称轴数量混淆，属于基础概念题。
【难度系数】
0.9
首先回忆成轴对称的两个图形的定义：两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合，就说明这两个图形成轴对称，这条直线就是它们的对称轴。题目问“至少有几条”，也就是找成轴对称的两个图形最少的对称轴数量。我们可以结合常见例子思考：比如两个一模一样的三角形摆放成轴对称，就只有1条对称轴，不存在对称轴数量为0的成轴对称图形，所以最少就是1条。
【解析】
根据成轴对称的定义：如果两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，就称这两个图形成轴对称，这条直线就是它们的对称轴。
成轴对称的两个图形必然存在至少1条能让它们对折重合的直线，普通的成轴对称图形（如两个成轴对称的三角形）仅1条对称轴，因此对称轴至少有1条。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的定义
2. 对称轴的认识
【点评】
本题考查轴对称相关的基础概念，解题的关键是明确成轴对称的两个图形的特征，不要和单个轴对称图形的对称轴数量混淆，属于基础概念题。
【难度系数】
0.9
四、解答题
13. 有一张长方形硬纸片，长70厘米，宽50厘米。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是多少厘米？
13. 有一张长方形硬纸片，长70厘米，宽50厘米。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是多少厘米？
答案
13. 最大是10厘米
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目的三个要求：剪出的正方形大小相同、剪完没有剩余、边长最大。要满足剪后没有剩余，说明小正方形的边长必须同时是长方形长70厘米和宽50厘米的因数，也就是70和50的公因数；要边长最大，就是求70和50的最大公因数，所以解题核心是计算70和50的最大公因数。
【解析】
我们用短除法求70和50的最大公因数：
1. 把70和50放入短除号，先除以两个数共有的质因数2，得到商35和25；
2. 再除以35和25共有的质因数5，得到商7和5，此时7和5只有公因数1，互为质数，停止短除；
3. 把所有除数相乘得到最大公因数：$2×5=10$。
因此剪出的小正方形的边长最大是10厘米。
【答案】
10厘米
【知识点】
公因数概念、最大公因数计算、最大公因数实际应用
【点评】
这是最大公因数在实际场景中的典型应用题，解题关键是将“无剩余、边长最大”的实际要求转化为求两个数的最大公因数的数学问题，能有效锻炼学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确题目的三个要求：剪出的正方形大小相同、剪完没有剩余、边长最大。要满足剪后没有剩余，说明小正方形的边长必须同时是长方形长70厘米和宽50厘米的因数，也就是70和50的公因数；要边长最大，就是求70和50的最大公因数，所以解题核心是计算70和50的最大公因数。
【解析】
我们用短除法求70和50的最大公因数：
1. 把70和50放入短除号，先除以两个数共有的质因数2，得到商35和25；
2. 再除以35和25共有的质因数5，得到商7和5，此时7和5只有公因数1，互为质数，停止短除；
3. 把所有除数相乘得到最大公因数：$2×5=10$。
因此剪出的小正方形的边长最大是10厘米。
【答案】
10厘米
【知识点】
公因数概念、最大公因数计算、最大公因数实际应用
【点评】
这是最大公因数在实际场景中的典型应用题，解题关键是将“无剩余、边长最大”的实际要求转化为求两个数的最大公因数的数学问题，能有效锻炼学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
14. 一个长方体的玻璃缸，长5 dm、宽4 dm、高4 dm，水深3 dm。如果投入一块棱长为2 dm的正方体铁块，缸里的水面上升多少分米？
答案
14. 缸里的水面上升0.4 dm
解析
【分析】
解题时首先要明确核心原理：铁块完全浸没在水中时，上升部分的水的体积和正方体铁块的体积相等。思考步骤如下：1. 先判断铁块是否完全浸没：铁块棱长2dm，原有水深3dm，因此铁块会完全沉入水中；2. 计算铁块体积，也就是上升的水的体积；3. 计算玻璃缸的底面积；4. 用上升的水的体积除以缸的底面积，即可得到水面上升的高度，最后验证上升后水面是否超过缸高，排除水溢出的情况。
【解析】
解：第一步：计算正方体铁块的体积
正方体体积=棱长×棱长×棱长
$2×2×2=8$（立方分米）
第二步：计算玻璃缸的底面积
底面积=长×宽
$5×4=20$（平方分米）
第三步：计算水面上升高度
上升高度=上升的水的体积÷玻璃缸底面积
$8÷20=0.4$（分米）
验证：放入铁块后总水深为$3+0.4=3.4\mathrm{dm}$，小于玻璃缸高度4dm，水不会溢出，结果有效。
【答案】
缸里的水面上升0.4 dm
【知识点】
正方体体积计算，长方体体积计算，排水法求体积
【点评】
本题是排水法应用的典型基础题，解题关键是抓住浸没的物体体积等于上升部分水的体积，计算后可通过验证水面是否溢出保证结果的准确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确核心原理：铁块完全浸没在水中时，上升部分的水的体积和正方体铁块的体积相等。思考步骤如下：1. 先判断铁块是否完全浸没：铁块棱长2dm，原有水深3dm，因此铁块会完全沉入水中；2. 计算铁块体积，也就是上升的水的体积；3. 计算玻璃缸的底面积；4. 用上升的水的体积除以缸的底面积，即可得到水面上升的高度，最后验证上升后水面是否超过缸高，排除水溢出的情况。
【解析】
解：第一步：计算正方体铁块的体积
正方体体积=棱长×棱长×棱长
$2×2×2=8$（立方分米）
第二步：计算玻璃缸的底面积
底面积=长×宽
$5×4=20$（平方分米）
第三步：计算水面上升高度
上升高度=上升的水的体积÷玻璃缸底面积
$8÷20=0.4$（分米）
验证：放入铁块后总水深为$3+0.4=3.4\mathrm{dm}$，小于玻璃缸高度4dm，水不会溢出，结果有效。
【答案】
缸里的水面上升0.4 dm
【知识点】
正方体体积计算，长方体体积计算，排水法求体积
【点评】
本题是排水法应用的典型基础题，解题关键是抓住浸没的物体体积等于上升部分水的体积，计算后可通过验证水面是否溢出保证结果的准确性。
【难度系数】
0.7
15. 学校要粉刷新教室。已知教室的长是8 m，宽是6 m，高是3 m，门窗的面积是20.4 m²，门窗、地板不粉刷。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
16. 五(1)班有40个同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？(每行或每列不少于2人)
16. 五(1)班有40个同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？(每行或每列不少于2人)
答案
15. 需要花费669.6元
16. 可以排成2行、4行、5行、8行、10行、20行，共有6种排法
16. 可以排成2行、4行、5行、8行、10行、20行，共有6种排法
解析
【分析】
第15题：解决本题首先要明确粉刷区域的范围：教室的地板和门窗不粉刷，所以只需计算长方体教室除底面外的5个面的总面积，再减去门窗的面积，就能得到实际粉刷的面积，最后用实际粉刷面积乘每平方米的涂料费，即可算出总花费。
第16题：要使每行人数相等，说明行数和每行的人数都是总人数40的因数。题目要求每行或每列不少于2人，也就是行数和每行人数都不能为1，我们先找出40的所有正因数，再排除不符合要求的情况，剩下的因数就是可行的行数，统计可行行数的数量就是总排法数。
【解析】
15. 首先计算需要粉刷的5个面的总面积：
顶面面积：$8×6 = 48(m²)$
前后两个侧面面积：$2×8×3 = 48(m²)$
左右两个侧面面积：$2×6×3 = 36(m²)$
5个面总面积：$48 + 48 + 36 = 132(m²)$
减去门窗面积得到实际粉刷面积：$132 - 20.4 = 111.6(m²)$
总花费：$111.6×6 = 669.6(元)$
16. 先找出40的所有正因数：1、2、4、5、8、10、20、40
根据每行或每列不少于2人的要求，排除行数为1（对应每行40人，每列仅1人）和行数为40（对应每行仅1人）的情况，剩余可行的行数为2、4、5、8、10、20，共6种排法。
【答案】
15. 需要花费669.6元
16. 可以排成2行、4行、5行、8行、10行、20行，共有6种排法
【知识点】
长方体表面积应用、因数的应用
【点评】
两道题均是生活场景类的数学应用题，第15题解题关键是结合实际场景准确判断需要计算的面，避免误算底面或忘记扣除门窗面积；第16题解题关键是明确排法和因数的对应关系，结合限制条件筛选符合要求的因数即可。
【难度系数】
0.7
第15题：解决本题首先要明确粉刷区域的范围：教室的地板和门窗不粉刷，所以只需计算长方体教室除底面外的5个面的总面积，再减去门窗的面积，就能得到实际粉刷的面积，最后用实际粉刷面积乘每平方米的涂料费，即可算出总花费。
第16题：要使每行人数相等，说明行数和每行的人数都是总人数40的因数。题目要求每行或每列不少于2人，也就是行数和每行人数都不能为1，我们先找出40的所有正因数，再排除不符合要求的情况，剩下的因数就是可行的行数，统计可行行数的数量就是总排法数。
【解析】
15. 首先计算需要粉刷的5个面的总面积：
顶面面积：$8×6 = 48(m²)$
前后两个侧面面积：$2×8×3 = 48(m²)$
左右两个侧面面积：$2×6×3 = 36(m²)$
5个面总面积：$48 + 48 + 36 = 132(m²)$
减去门窗面积得到实际粉刷面积：$132 - 20.4 = 111.6(m²)$
总花费：$111.6×6 = 669.6(元)$
16. 先找出40的所有正因数：1、2、4、5、8、10、20、40
根据每行或每列不少于2人的要求，排除行数为1（对应每行40人，每列仅1人）和行数为40（对应每行仅1人）的情况，剩余可行的行数为2、4、5、8、10、20，共6种排法。
【答案】
15. 需要花费669.6元
16. 可以排成2行、4行、5行、8行、10行、20行，共有6种排法
【知识点】
长方体表面积应用、因数的应用
【点评】
两道题均是生活场景类的数学应用题，第15题解题关键是结合实际场景准确判断需要计算的面，避免误算底面或忘记扣除门窗面积；第16题解题关键是明确排法和因数的对应关系，结合限制条件筛选符合要求的因数即可。
【难度系数】
0.7
