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1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是(
A.1 , 3 , 5
B.$\frac{3}{5}$ , $\frac{4}{5}$ , 1
C.$\sqrt{2}$ , $2\sqrt{2}$ , 3
D.6 , 8 , 9
B
)。A.1 , 3 , 5
B.$\frac{3}{5}$ , $\frac{4}{5}$ , 1
C.$\sqrt{2}$ , $2\sqrt{2}$ , 3
D.6 , 8 , 9
答案
1.B
解析
【分析】
要判断给定边长的三条线段能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理。解题时先找出每组边长中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方对比，若二者相等则可以组成直角三角形，否则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐一分析选项：
A. 最长边为5，$1^2+3^2=1+9=10$，$5^2=25$，$10≠25$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为1，$(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$，$1^2=1$，满足$a^2+b^2=c^2$，可以组成直角三角形；
C. 最长边为3，$(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10$，$3^2=9$，$10≠9$，不能组成直角三角形；
D. 最长边为9，$6^2+8^2=36+64=100$，$9^2=81$，$100≠81$，不能组成直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、实数的平方运算
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题，核心考查对逆定理的理解和基础运算能力，解题时需注意先确定最长边再验证平方关系，计算分数、带根号数的平方时要细心，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
要判断给定边长的三条线段能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理。解题时先找出每组边长中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方对比，若二者相等则可以组成直角三角形，否则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐一分析选项：
A. 最长边为5，$1^2+3^2=1+9=10$，$5^2=25$，$10≠25$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为1，$(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$，$1^2=1$，满足$a^2+b^2=c^2$，可以组成直角三角形；
C. 最长边为3，$(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10$，$3^2=9$，$10≠9$，不能组成直角三角形；
D. 最长边为9，$6^2+8^2=36+64=100$，$9^2=81$，$100≠81$，不能组成直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、实数的平方运算
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题，核心考查对逆定理的理解和基础运算能力，解题时需注意先确定最长边再验证平方关系，计算分数、带根号数的平方时要细心，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
2. 已知正比例函数 $ y = (k + 3)x $，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是(
A.$ k ＞ -3 $
B.$ k ＜ -3 $
C.$ k ＞ 3 $
D.$ k ＜ 3 $
A
B
)。A.$ k ＞ -3 $
B.$ k ＜ -3 $
C.$ k ＞ 3 $
D.$ k ＜ 3 $
A
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=mx$（$m≠0$），当比例系数$m＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$m＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题已知$y$随$x$的增大而减小，因此可推出该函数的比例系数小于0，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(k+3)x$是正比例函数，且$y$随$x$的增大而减小，
根据正比例函数的性质，得比例系数$k+3＜0$，
解这个不等式：移项可得$k＜-3$，
因此$k$的取值范围是$k＜-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，解题的关键是牢记不同增减性下比例系数的正负要求，避免混淆增减性对应的系数符号导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=mx$（$m≠0$），当比例系数$m＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$m＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题已知$y$随$x$的增大而减小，因此可推出该函数的比例系数小于0，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(k+3)x$是正比例函数，且$y$随$x$的增大而减小，
根据正比例函数的性质，得比例系数$k+3＜0$，
解这个不等式：移项可得$k＜-3$，
因此$k$的取值范围是$k＜-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，解题的关键是牢记不同增减性下比例系数的正负要求，避免混淆增减性对应的系数符号导致出错。
【难度系数】
0.8
3.如右图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = 6,BC = 8,点D是线段AB的中点,则CD的长为(
A.5
B.6
C.8
D.10
A
)。A.5
B.6
C.8
D.10
答案
3.A
解析
【分析】
观察题目条件可知△ABC是直角三角形，已知两条直角边的长度，要求斜边AB上的中线CD的长，解题分两步进行：第一步先利用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步根据直角三角形斜边中线的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
∵点D是线段AB的中点，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础常考题，主要考查勾股定理与直角三角形斜边中线性质的结合应用，解题思路清晰，只要熟练掌握相关性质定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
观察题目条件可知△ABC是直角三角形，已知两条直角边的长度，要求斜边AB上的中线CD的长，解题分两步进行：第一步先利用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步根据直角三角形斜边中线的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
∵点D是线段AB的中点，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础常考题，主要考查勾股定理与直角三角形斜边中线性质的结合应用，解题思路清晰，只要熟练掌握相关性质定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.如右图,直线$l_1:y = x + 1$与直线$l_2:y = mx + n$相交于点$P(a,2)$,则关于$x$的不等式$x + 1 ≤ mx + n$的解集为(
A.$x ≤ 1$
B.$x ≥ 1$
C.$x ≤ 2$
D.$x ≥ 2$
A
)。A.$x ≤ 1$
B.$x ≥ 1$
C.$x ≤ 2$
D.$x ≥ 2$
答案
4.A
解析
【分析】
本题是一次函数与一元一次不等式结合的题型，解题思路分为两步：第一步先求出交点P的横坐标a，因为点P同时在直线$l_1$上，将P的纵坐标代入$l_1$的解析式即可求出a；第二步理解不等式$x+1 ≤ mx+n$的几何意义：即直线$l_1$的函数值小于等于直线$l_2$的函数值时对应的x的取值范围，结合两条直线的位置关系，观察图像即可得到解集。
【解析】
1. 求点P的横坐标：
已知点$P(a,2)$在直线$l_1:y=x+1$上，将$y=2$代入解析式得：
$2 = a + 1$
解得$a=1$，即点P的坐标为$(1,2)$。
2. 分析不等式对应的图像关系：
不等式$x+1 ≤ mx+n$表示的是直线$l_1$的函数值不大于直线$l_2$的函数值的情况。观察图像可知，在交点P的左侧（包括交点），直线$l_1$位于直线$l_2$的下方，满足$l_1$的函数值≤$l_2$的函数值，此时对应的x的取值范围是$x ≤ 1$。
因此不等式的解集为$x ≤ 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图像性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题将一次函数和不等式结合考查，核心是利用数形结合的思想，通过函数图像的位置关系判断不等式的解集，解题的关键是先准确求出两直线交点的横坐标。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与一元一次不等式结合的题型，解题思路分为两步：第一步先求出交点P的横坐标a，因为点P同时在直线$l_1$上，将P的纵坐标代入$l_1$的解析式即可求出a；第二步理解不等式$x+1 ≤ mx+n$的几何意义：即直线$l_1$的函数值小于等于直线$l_2$的函数值时对应的x的取值范围，结合两条直线的位置关系，观察图像即可得到解集。
【解析】
1. 求点P的横坐标：
已知点$P(a,2)$在直线$l_1:y=x+1$上，将$y=2$代入解析式得：
$2 = a + 1$
解得$a=1$，即点P的坐标为$(1,2)$。
2. 分析不等式对应的图像关系：
不等式$x+1 ≤ mx+n$表示的是直线$l_1$的函数值不大于直线$l_2$的函数值的情况。观察图像可知，在交点P的左侧（包括交点），直线$l_1$位于直线$l_2$的下方，满足$l_1$的函数值≤$l_2$的函数值，此时对应的x的取值范围是$x ≤ 1$。
因此不等式的解集为$x ≤ 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图像性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题将一次函数和不等式结合考查，核心是利用数形结合的思想，通过函数图像的位置关系判断不等式的解集，解题的关键是先准确求出两直线交点的横坐标。
【难度系数】
0.7
1. 要使代数式$\frac{\sqrt{x + 5}}{3}$有意义，则x的取值范围是
成绩/环
10
9
8
—— 甲选手
------ 乙选手
$x ≥ -5$
。成绩/环
10
9
8
—— 甲选手
------ 乙选手
答案
1.$x ≥ -5$
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的构成：包含二次根式和分母。我们需要分别考虑两部分的限制条件：①二次根式的被开方数必须是非负数；②分母不能为0。本题中分母是常数3，恒不为0，因此只需要满足二次根式的被开方数≥0，再解对应的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使代数式$\frac{\sqrt{x + 5}}{3}$有意义，需保证二次根式的被开方数为非负数：
$x + 5 ≥ 0$
解这个不等式，移项得：
$x ≥ -5$
又因为分母为3，是不为0的常数，无额外限制，因此x的取值范围是$x≥ -5$。
【答案】
$x≥ -5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需先梳理代数式中所有存在限制条件的部分（二次根式、分母等），再结合对应限制列不等式求解，避免遗漏限制条件导致出错。
【难度系数】
0.9
要确定代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的构成：包含二次根式和分母。我们需要分别考虑两部分的限制条件：①二次根式的被开方数必须是非负数；②分母不能为0。本题中分母是常数3，恒不为0，因此只需要满足二次根式的被开方数≥0，再解对应的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使代数式$\frac{\sqrt{x + 5}}{3}$有意义，需保证二次根式的被开方数为非负数：
$x + 5 ≥ 0$
解这个不等式，移项得：
$x ≥ -5$
又因为分母为3，是不为0的常数，无额外限制，因此x的取值范围是$x≥ -5$。
【答案】
$x≥ -5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需先梳理代数式中所有存在限制条件的部分（二次根式、分母等），再结合对应限制列不等式求解，避免遗漏限制条件导致出错。
【难度系数】
0.9
2.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为$s^2_甲,s^2_乙$，则$s^2_甲$
＞
$s^2_乙$。（填“＞”“＜”或“=”）答案
2.＞
解析
【分析】
要比较甲、乙两名选手成绩的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。我们既可以先通过折线图直接观察两人成绩的波动幅度初步判断，也可以提取两人成绩分别计算方差后准确比较，解题时先从图中提取甲、乙五次的射击成绩，再依次计算平均数、方差，最后比较大小即可。
【解析】
首先从折线统计图中提取两人五次测试成绩：
甲的成绩：5环、10环、9环、3环、8环
乙的成绩：8环、6环、8环、6环、7环
1. 计算两人成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{5+10+9+3+8}{5}=\frac{35}{5}=7$
$\overline{x}_乙=\frac{8+6+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$
2. 计算两人成绩的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(5-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2+(3-7)^2+(8-7)^2]$
$=\frac{1}{5}(4+9+4+16+1)=\frac{34}{5}=6.8$
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(8-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]$
$=\frac{1}{5}(1+1+1+1+0)=\frac{4}{5}=0.8$
因为$6.8＞0.8$，所以$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的意义，折线统计图，方差计算
【点评】
本题既可以通过观察折线起伏直接判断数据波动大小，快速得到结果，也可以通过计算准确验证，掌握方差和数据波动程度的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要比较甲、乙两名选手成绩的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。我们既可以先通过折线图直接观察两人成绩的波动幅度初步判断，也可以提取两人成绩分别计算方差后准确比较，解题时先从图中提取甲、乙五次的射击成绩，再依次计算平均数、方差，最后比较大小即可。
【解析】
首先从折线统计图中提取两人五次测试成绩：
甲的成绩：5环、10环、9环、3环、8环
乙的成绩：8环、6环、8环、6环、7环
1. 计算两人成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{5+10+9+3+8}{5}=\frac{35}{5}=7$
$\overline{x}_乙=\frac{8+6+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$
2. 计算两人成绩的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(5-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2+(3-7)^2+(8-7)^2]$
$=\frac{1}{5}(4+9+4+16+1)=\frac{34}{5}=6.8$
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(8-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]$
$=\frac{1}{5}(1+1+1+1+0)=\frac{4}{5}=0.8$
因为$6.8＞0.8$，所以$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的意义，折线统计图，方差计算
【点评】
本题既可以通过观察折线起伏直接判断数据波动大小，快速得到结果，也可以通过计算准确验证，掌握方差和数据波动程度的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十，广斜相并五十步，不知几亩及分厘。”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步，不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有
2
亩。（1亩 = 240平方步）答案
3.2
解析
【分析】
这是一道结合传统文化的勾股定理应用题，解题思路清晰：1. 长方形内角为直角，因此长、宽、对角线满足勾股定理：长²+宽²=对角线²；2. 已知长为30步，宽与对角线之和为50步，可设宽为x步，对角线就为(50-x)步，代入勾股定理列方程即可求出宽；3. 用长乘宽得到田地面积，再按照题目给出的1亩=240平方步的换算关系，将面积换算为亩即可。
【解析】
解：设该长方形田的宽为$ x $步，则对角线长为$ (50-x) $步。
根据长方形中长、宽、对角线符合勾股定理，列方程得：
$ 30^2 + x^2 = (50-x)^2 $
展开右侧：
$ 900 + x^2 = 2500 - 100x + x^2 $
消去两边$ x^2 $，移项计算：
$ 100x = 2500 - 900 $
$ 100x = 1600 $
解得$ x=16 $
田地面积为：$ 30 × 16 = 480 $（平方步）
换算为亩：$ 480 ÷ 240 = 2 $（亩）
【答案】
2
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；单位换算
【点评】
本题以古代数学典籍记载的问题为载体，考查了学生提取有效信息、建立方程模型解决几何实际问题的能力，计算难度较低，只要熟练掌握勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合传统文化的勾股定理应用题，解题思路清晰：1. 长方形内角为直角，因此长、宽、对角线满足勾股定理：长²+宽²=对角线²；2. 已知长为30步，宽与对角线之和为50步，可设宽为x步，对角线就为(50-x)步，代入勾股定理列方程即可求出宽；3. 用长乘宽得到田地面积，再按照题目给出的1亩=240平方步的换算关系，将面积换算为亩即可。
【解析】
解：设该长方形田的宽为$ x $步，则对角线长为$ (50-x) $步。
根据长方形中长、宽、对角线符合勾股定理，列方程得：
$ 30^2 + x^2 = (50-x)^2 $
展开右侧：
$ 900 + x^2 = 2500 - 100x + x^2 $
消去两边$ x^2 $，移项计算：
$ 100x = 2500 - 900 $
$ 100x = 1600 $
解得$ x=16 $
田地面积为：$ 30 × 16 = 480 $（平方步）
换算为亩：$ 480 ÷ 240 = 2 $（亩）
【答案】
2
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；单位换算
【点评】
本题以古代数学典籍记载的问题为载体，考查了学生提取有效信息、建立方程模型解决几何实际问题的能力，计算难度较低，只要熟练掌握勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
