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三、解答题
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者。
(1)如图1所示的是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A = ∠B = ∠CED = 90°，请推导勾股定理。
(2)如图2，在△ABC中，AC = 10，BC = 17，AB = 21，CH ⊥ AB，垂足为H，求CH的长。
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者。
(1)如图1所示的是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A = ∠B = ∠CED = 90°，请推导勾股定理。
(2)如图2，在△ABC中，AC = 10，BC = 17，AB = 21，CH ⊥ AB，垂足为H，求CH的长。
答案
(1) 把图 1 看作直角梯形,面积为$\frac{1}{2} (a + b) (a + b)$。同时,三角形面积和为$2 × \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$。由面积相等得:$\frac{1}{2}(a + b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$,展开化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
(2)8。
(2)8。
解析
【分析】
(1) 推导勾股定理可采用等面积法：将图1视为直角梯形，分别用梯形面积公式、分割为三个直角三角形求和两种方法计算梯形总面积，两个计算结果相等，化简等式即可得到勾股定理的表达式。
(2) CH是Rt△ACH和Rt△BCH的公共直角边，可设AH=x，用21-x表示BH的长度，分别在两个直角三角形中根据勾股定理表示出CH²，联立得到方程求解x，再代入计算即可得到CH的长度。
【解析】
(1) 观察图1，该图形为上底长a、下底长b、高为(a+b)的直角梯形：
直角梯形的面积为 $\displaystyle S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
同时该梯形可分割为3个直角三角形，面积之和为 $\displaystyle S=2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$；
由两种方法计算的面积相等，可得：
$\displaystyle \frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2得：$(a+b)^2=2ab+c^2$
展开左边并化简：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去2ab后得 $a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 设$AH=x$，则$BH=AB-AH=21-x$，
$\because CH⊥ AB$，$\therefore △ ACH$和$△ BCH$均为直角三角形，
根据勾股定理，在$Rt△ ACH$中：$CH^2=AC^2-AH^2=10^2-x^2$，
在$Rt△ BCH$中：$CH^2=BC^2-BH^2=17^2-(21-x)^2$，
联立两式得：$100-x^2=289-(21-x)^2$，
展开右边化简：$100-x^2=289-(441-42x+x^2)$，
$100-x^2=42x-152-x^2$，
消去$-x^2$后解得：$42x=252$，$x=6$，
代入$Rt△ ACH$得：$CH=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
(1) 推导得勾股定理$a^2+b^2=c^2$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
勾股定理证明，勾股定理，方程思想
【点评】
本题包含勾股定理的证明与实际应用两部分，第一问通过等面积法直观推导勾股定理，有助于理解定理的本质；第二问是勾股定理的典型应用题型，通过公共边建立方程求解，能有效锻炼数形结合能力与运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 推导勾股定理可采用等面积法：将图1视为直角梯形，分别用梯形面积公式、分割为三个直角三角形求和两种方法计算梯形总面积，两个计算结果相等，化简等式即可得到勾股定理的表达式。
(2) CH是Rt△ACH和Rt△BCH的公共直角边，可设AH=x，用21-x表示BH的长度，分别在两个直角三角形中根据勾股定理表示出CH²，联立得到方程求解x，再代入计算即可得到CH的长度。
【解析】
(1) 观察图1，该图形为上底长a、下底长b、高为(a+b)的直角梯形：
直角梯形的面积为 $\displaystyle S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
同时该梯形可分割为3个直角三角形，面积之和为 $\displaystyle S=2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$；
由两种方法计算的面积相等，可得：
$\displaystyle \frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2得：$(a+b)^2=2ab+c^2$
展开左边并化简：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去2ab后得 $a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 设$AH=x$，则$BH=AB-AH=21-x$，
$\because CH⊥ AB$，$\therefore △ ACH$和$△ BCH$均为直角三角形，
根据勾股定理，在$Rt△ ACH$中：$CH^2=AC^2-AH^2=10^2-x^2$，
在$Rt△ BCH$中：$CH^2=BC^2-BH^2=17^2-(21-x)^2$，
联立两式得：$100-x^2=289-(21-x)^2$，
展开右边化简：$100-x^2=289-(441-42x+x^2)$，
$100-x^2=42x-152-x^2$，
消去$-x^2$后解得：$42x=252$，$x=6$，
代入$Rt△ ACH$得：$CH=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
(1) 推导得勾股定理$a^2+b^2=c^2$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
勾股定理证明，勾股定理，方程思想
【点评】
本题包含勾股定理的证明与实际应用两部分，第一问通过等面积法直观推导勾股定理，有助于理解定理的本质；第二问是勾股定理的典型应用题型，通过公共边建立方程求解，能有效锻炼数形结合能力与运算能力。
【难度系数】
0.7
四、综合实践活动
物理课上,老师带着学习小组进行物理实验,同学们将一根长度固定的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在物体C上,滑块B放置在水平轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降,实验初始状态如图1所示,物体C静止在水平轨道上,物体C到滑块B的水平距离是30厘米,物体C到定滑轮A的垂直距离是40厘米。(定滑轮A、滑块B和物体C的形状和大小忽略不计)
(1)求绳子的总长度是多少厘米；
(2)如图2,若滑块水平向左滑动45厘米,则此时物体C上升了
物理课上,老师带着学习小组进行物理实验,同学们将一根长度固定的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在物体C上,滑块B放置在水平轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降,实验初始状态如图1所示,物体C静止在水平轨道上,物体C到滑块B的水平距离是30厘米,物体C到定滑轮A的垂直距离是40厘米。(定滑轮A、滑块B和物体C的形状和大小忽略不计)
(1)求绳子的总长度是多少厘米；
(2)如图2,若滑块水平向左滑动45厘米,则此时物体C上升了
35
厘米。答案
(1)90 厘米。
(2)35
(2)35
解析
【分析】
(1) 求绳子总长度时，先明确初始状态绳子分为AB、AC两段，AC是定滑轮A到物体C的垂直距离为40cm，BC是水平距离为30cm，△ABC为直角三角形，先用勾股定理求出AB的长度，再将AB与AC的长度相加即可得到总绳长。
(2) 滑块左滑45cm后，A到水平轨道的垂直高度不变，滑块到A点正下方的水平距离变为原来的30cm加45cm，再次用勾股定理求出此时绳子AB段的长度；结合总绳长不变的特点，求出此时A到物体C的距离，用A到轨道的垂直高度减去这个距离，就是物体C上升的高度。
【解析】
(1) 初始状态下，由题意得AC⊥BC，AC=40cm，BC=30cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50\mathrm{cm}$
绳子总长度为$AB+AC=50+40=90\mathrm{cm}$。
(2) 滑块向左滑动45cm后，B₁到A点正下方的水平距离为$30+45=75\mathrm{cm}$，A到水平轨道的垂直高度仍为40cm，
在Rt△AB₁C'中，根据勾股定理：
$AB_1=\sqrt{75^2+40^2}=\sqrt{5625+1600}=\sqrt{7225}=85\mathrm{cm}$
绳子总长度不变，此时A到物体C的距离$AC'=90-85=5\mathrm{cm}$，
物体C上升的高度为$40-5=35\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 90厘米；(2) 35
【知识点】
勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合物理实验场景考查勾股定理的运用，解题的核心是抓住定滑轮高度不变、绳子总长度不变两个隐含条件，能够将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求绳子总长度时，先明确初始状态绳子分为AB、AC两段，AC是定滑轮A到物体C的垂直距离为40cm，BC是水平距离为30cm，△ABC为直角三角形，先用勾股定理求出AB的长度，再将AB与AC的长度相加即可得到总绳长。
(2) 滑块左滑45cm后，A到水平轨道的垂直高度不变，滑块到A点正下方的水平距离变为原来的30cm加45cm，再次用勾股定理求出此时绳子AB段的长度；结合总绳长不变的特点，求出此时A到物体C的距离，用A到轨道的垂直高度减去这个距离，就是物体C上升的高度。
【解析】
(1) 初始状态下，由题意得AC⊥BC，AC=40cm，BC=30cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50\mathrm{cm}$
绳子总长度为$AB+AC=50+40=90\mathrm{cm}$。
(2) 滑块向左滑动45cm后，B₁到A点正下方的水平距离为$30+45=75\mathrm{cm}$，A到水平轨道的垂直高度仍为40cm，
在Rt△AB₁C'中，根据勾股定理：
$AB_1=\sqrt{75^2+40^2}=\sqrt{5625+1600}=\sqrt{7225}=85\mathrm{cm}$
绳子总长度不变，此时A到物体C的距离$AC'=90-85=5\mathrm{cm}$，
物体C上升的高度为$40-5=35\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 90厘米；(2) 35
【知识点】
勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合物理实验场景考查勾股定理的运用，解题的核心是抓住定滑轮高度不变、绳子总长度不变两个隐含条件，能够将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
