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12.(8分)已知关于$x$的多项式$x^4 + 2ax^3 - 9 + x^3 - bx^2 + 4x^3$中不含$x^3$与$x^2$的项.求代数式$3(a^2 - 2b^2 - 2) - 2(a^2 - 2b^2 - 3)$的值.
答案
12.解:$x^4+2ax^3-9+x^3-bx^2+4x^3=x^4+(2a+1+4)x^3-bx^2-9$,
因为多项式中不含$x^3$与$x^2$的项,
所以$2a+1+4=0,-b=0$,
所以$a=-2.5,b=0$,
所以$3(a^2-2b^2-2)-2(a^2-2b^2-3)$
$=3a^2-6b^2-6-2a^2+4b^2+6$
$=a^2-2b^2=(-2.5)^2-2×0^2=6.25$.
因为多项式中不含$x^3$与$x^2$的项,
所以$2a+1+4=0,-b=0$,
所以$a=-2.5,b=0$,
所以$3(a^2-2b^2-2)-2(a^2-2b^2-3)$
$=3a^2-6b^2-6-2a^2+4b^2+6$
$=a^2-2b^2=(-2.5)^2-2×0^2=6.25$.
解析
【分析】
解决本题分两步思考：第一步处理给定的多项式，“多项式中不含$x^3$与$x^2$的项”意味着这两项的系数都为0，所以首先要对多项式合并同类项，分别整理出$x^3$、$x^2$项的系数，令系数等于0，即可求出$a$、$b$的值。第二步处理待求值的代数式，为了简化计算，先对代数式去括号、合并同类项化简，再将$a$、$b$的值代入化简后的式子计算即可。
【解析】
先对给定的多项式合并同类项：
$x^4 + 2ax^3 - 9 + x^3 - bx^2 + 4x^3 = x^4 + (2a + 1 + 4)x^3 - bx^2 - 9 = x^4 + (2a+5)x^3 - bx^2 -9$
因为多项式不含$x^3$和$x^2$的项，所以这两项的系数为0，可得：
$\begin{cases}2a + 5 = 0 \\ -b = 0 \end{cases}$
解得：$a = -2.5$，$b = 0$
再化简待求值的代数式：
$3(a^2 - 2b^2 - 2) - 2(a^2 - 2b^2 - 3)$
$= 3a^2 - 6b^2 - 6 - 2a^2 + 4b^2 + 6$
$= a^2 - 2b^2$
将$a=-2.5$，$b=0$代入化简后的式子：
原式$= (-2.5)^2 - 2×0^2 = 6.25 - 0 = 6.25$
【答案】
$6.25$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；整式化简求值
【点评】
本题核心考点是整式中“不含某项”的含义，即该项系数为0，解题时先合并同类项求出参数值，再化简目标整式代入计算即可，需要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解决本题分两步思考：第一步处理给定的多项式，“多项式中不含$x^3$与$x^2$的项”意味着这两项的系数都为0，所以首先要对多项式合并同类项，分别整理出$x^3$、$x^2$项的系数，令系数等于0，即可求出$a$、$b$的值。第二步处理待求值的代数式，为了简化计算，先对代数式去括号、合并同类项化简，再将$a$、$b$的值代入化简后的式子计算即可。
【解析】
先对给定的多项式合并同类项：
$x^4 + 2ax^3 - 9 + x^3 - bx^2 + 4x^3 = x^4 + (2a + 1 + 4)x^3 - bx^2 - 9 = x^4 + (2a+5)x^3 - bx^2 -9$
因为多项式不含$x^3$和$x^2$的项，所以这两项的系数为0，可得：
$\begin{cases}2a + 5 = 0 \\ -b = 0 \end{cases}$
解得：$a = -2.5$，$b = 0$
再化简待求值的代数式：
$3(a^2 - 2b^2 - 2) - 2(a^2 - 2b^2 - 3)$
$= 3a^2 - 6b^2 - 6 - 2a^2 + 4b^2 + 6$
$= a^2 - 2b^2$
将$a=-2.5$，$b=0$代入化简后的式子：
原式$= (-2.5)^2 - 2×0^2 = 6.25 - 0 = 6.25$
【答案】
$6.25$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；整式化简求值
【点评】
本题核心考点是整式中“不含某项”的含义，即该项系数为0，解题时先合并同类项求出参数值，再化简目标整式代入计算即可，需要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
13.(10分)给出定义如下:我们称使等式$a-b=ab+2$的成立的一对有理数$a,b$为“相伴有理数对”,记为$(a,b)$.
如$3-\frac{1}{4}=3×\frac{1}{4}+2,5-\frac{1}{2}=5×\frac{1}{2}+2$,所以数对$(3,\frac{1}{4}),(5,\frac{1}{2})$都是“相伴有理数对”.
(1)数对$(-2,\frac{1}{3}),(-\frac{1}{2},-5)$中,是“相伴有理数对”的是________;
(2)若$(a,b)$是“相伴有理数对”,求$3ab - a + \frac{1}{2}(a + b - 5ab) + 1$的值.
如$3-\frac{1}{4}=3×\frac{1}{4}+2,5-\frac{1}{2}=5×\frac{1}{2}+2$,所以数对$(3,\frac{1}{4}),(5,\frac{1}{2})$都是“相伴有理数对”.
(1)数对$(-2,\frac{1}{3}),(-\frac{1}{2},-5)$中,是“相伴有理数对”的是________;
(2)若$(a,b)$是“相伴有理数对”,求$3ab - a + \frac{1}{2}(a + b - 5ab) + 1$的值.
答案
13.(1)$(-\frac{1}{2},-5)$
(2)解:根据题意可知,$a-b=ab+2$,则$ab-a+b=-2$,
原式$=3ab-a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-\frac{5}{2}ab+1$
$=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+1$
$=\frac{1}{2}(ab-a+b)+1$
$=\frac{1}{2}×(-2)+1$
$=0$.
(2)解:根据题意可知,$a-b=ab+2$,则$ab-a+b=-2$,
原式$=3ab-a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-\frac{5}{2}ab+1$
$=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+1$
$=\frac{1}{2}(ab-a+b)+1$
$=\frac{1}{2}×(-2)+1$
$=0$.
解析
【分析】
（1）判断“相伴有理数对”的核心是验证数对是否满足定义式$a-b=ab+2$，只需将数对中的a、b分别代入等式左右两边计算，若两边结果相等则为“相伴有理数对”，反之则不是。
（2）第二问先根据新定义得到a与b的等量关系，再将所求整式通过去括号、合并同类项化简，最后将a、b的等量关系整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
（1）验证数对$(-2,\frac{1}{3})$：
左边$a-b=-2-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$，右边$ab+2=(-2)×\frac{1}{3}+2=\frac{4}{3}$，左边≠右边，不是“相伴有理数对”；
验证数对$(-\frac{1}{2},-5)$：
左边$a-b=-\frac{1}{2}-(-5)=\frac{9}{2}$，右边$ab+2=(-\frac{1}{2})×(-5)+2=\frac{9}{2}$，左边=右边，是“相伴有理数对”。
（2）解：
∵$(a,b)$是“相伴有理数对”，
∴$a-b=ab+2$，移项得$ab-a+b=-2$。
化简原式：
$\begin{aligned}&3ab - a + \frac{1}{2}(a + b - 5ab) + 1\\=&3ab - a + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b - \frac{5}{2}ab + 1\\=&\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + 1\\=&\frac{1}{2}(ab - a + b) + 1\end{aligned}$
将$ab-a+b=-2$代入得：
原式$=\frac{1}{2}×(-2)+1=-1+1=0$。
【答案】
(1)$(-\frac{1}{2},-5)$；(2)$0$
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，整体代入法
【点评】
本题结合新定义考查整式的运算能力，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，第二问运用整体代入思想可大幅简化计算过程，能有效考查代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
（1）判断“相伴有理数对”的核心是验证数对是否满足定义式$a-b=ab+2$，只需将数对中的a、b分别代入等式左右两边计算，若两边结果相等则为“相伴有理数对”，反之则不是。
（2）第二问先根据新定义得到a与b的等量关系，再将所求整式通过去括号、合并同类项化简，最后将a、b的等量关系整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
（1）验证数对$(-2,\frac{1}{3})$：
左边$a-b=-2-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$，右边$ab+2=(-2)×\frac{1}{3}+2=\frac{4}{3}$，左边≠右边，不是“相伴有理数对”；
验证数对$(-\frac{1}{2},-5)$：
左边$a-b=-\frac{1}{2}-(-5)=\frac{9}{2}$，右边$ab+2=(-\frac{1}{2})×(-5)+2=\frac{9}{2}$，左边=右边，是“相伴有理数对”。
（2）解：
∵$(a,b)$是“相伴有理数对”，
∴$a-b=ab+2$，移项得$ab-a+b=-2$。
化简原式：
$\begin{aligned}&3ab - a + \frac{1}{2}(a + b - 5ab) + 1\\=&3ab - a + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b - \frac{5}{2}ab + 1\\=&\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + 1\\=&\frac{1}{2}(ab - a + b) + 1\end{aligned}$
将$ab-a+b=-2$代入得：
原式$=\frac{1}{2}×(-2)+1=-1+1=0$。
【答案】
(1)$(-\frac{1}{2},-5)$；(2)$0$
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，整体代入法
【点评】
本题结合新定义考查整式的运算能力，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，第二问运用整体代入思想可大幅简化计算过程，能有效考查代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
14.(10分)如图,一个长方形运动场被分隔成A,B,A,B,C共5个区,A区是边长为a m的正方形,C区是边长为b m的正方形.
(1)列式表示每个B区长方形场地的周长,并将式子化简;
(2)列式表示整个长方形运动场的周长,并将式子化简;
(3)如果$a=20,b=10$,求整个长方形运动场的面积.
(1)列式表示每个B区长方形场地的周长,并将式子化简;
(2)列式表示整个长方形运动场的周长,并将式子化简;
(3)如果$a=20,b=10$,求整个长方形运动场的面积.
答案
14.解:(1)由题意,得B区的长为$(a+b)\mathrm{m}$,宽为$(a-b)\mathrm{m}$,
所以每个B区长方形场地的周长为$2[(a+b)+(a-b)]=2(a+b+a-b)=4a(\mathrm{m})$.
(2)整个长方形运动场的周长为$2[(a+a+b)+(a+a-b)]=2(a+a+b+a+a-b)=8a(\mathrm{m})$.
(3)当$a=20,b=10$时,整个长方形运动场的长为$a+a+b=50(\mathrm{m})$,宽为$a+a-b=30(\mathrm{m})$,
所以整个长方形运动场的面积为$50×30=1500(\mathrm{m}^2)$.
所以每个B区长方形场地的周长为$2[(a+b)+(a-b)]=2(a+b+a-b)=4a(\mathrm{m})$.
(2)整个长方形运动场的周长为$2[(a+a+b)+(a+a-b)]=2(a+a+b+a+a-b)=8a(\mathrm{m})$.
(3)当$a=20,b=10$时,整个长方形运动场的长为$a+a+b=50(\mathrm{m})$,宽为$a+a-b=30(\mathrm{m})$,
所以整个长方形运动场的面积为$50×30=1500(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
解决本题的核心是结合图形先确定各边的长度关系：
(1) 求B区周长首先要确定B区长方形的长和宽：观察图形可得，B区的长等于A区边长加C区边长，宽等于A区边长减C区边长，再代入长方形周长公式化简即可；
(2) 求整个大长方形的周长，先确定大长方形的长和宽：长等于两个A区边长加C区边长，宽等于两个A区边长减C区边长，再代入周长公式化简；
(3) 求整个运动场的面积，先代入a、b的值算出大长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积即可。
【解析】
(1) 由图形可知，B区长方形的长为$(a+b)\mathrm{m}$，宽为$(a-b)\mathrm{m}$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得：
周长$=2[(a+b)+(a-b)] = 2(a+b+a-b) = 4a(\mathrm{m})$
(2) 整个长方形运动场的长为$a+a+b=(2a+b)\mathrm{m}$，宽为$a+a-b=(2a-b)\mathrm{m}$，代入周长公式可得：
周长$=2[(2a+b)+(2a-b)] = 2(2a+b+2a-b) = 8a(\mathrm{m})$
(3) 当$a=20,b=10$时，
大长方形的长：$2a+b=2×20+10=50(\mathrm{m})$
大长方形的宽：$2a-b=2×20-10=30(\mathrm{m})$
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得面积$=50×30=1500(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $4a\ \mathrm{m}$；
(2) $8a\ \mathrm{m}$；
(3) $1500\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；整式加减运算；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是图形与代数结合的基础应用题，解题关键是通过观察图形准确得到各线段的长度关系，再结合长方形周长、面积公式列式计算，计算过程中注意整式加减的去括号、合并同类项法则的正确应用。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是结合图形先确定各边的长度关系：
(1) 求B区周长首先要确定B区长方形的长和宽：观察图形可得，B区的长等于A区边长加C区边长，宽等于A区边长减C区边长，再代入长方形周长公式化简即可；
(2) 求整个大长方形的周长，先确定大长方形的长和宽：长等于两个A区边长加C区边长，宽等于两个A区边长减C区边长，再代入周长公式化简；
(3) 求整个运动场的面积，先代入a、b的值算出大长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积即可。
【解析】
(1) 由图形可知，B区长方形的长为$(a+b)\mathrm{m}$，宽为$(a-b)\mathrm{m}$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得：
周长$=2[(a+b)+(a-b)] = 2(a+b+a-b) = 4a(\mathrm{m})$
(2) 整个长方形运动场的长为$a+a+b=(2a+b)\mathrm{m}$，宽为$a+a-b=(2a-b)\mathrm{m}$，代入周长公式可得：
周长$=2[(2a+b)+(2a-b)] = 2(2a+b+2a-b) = 8a(\mathrm{m})$
(3) 当$a=20,b=10$时，
大长方形的长：$2a+b=2×20+10=50(\mathrm{m})$
大长方形的宽：$2a-b=2×20-10=30(\mathrm{m})$
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得面积$=50×30=1500(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $4a\ \mathrm{m}$；
(2) $8a\ \mathrm{m}$；
(3) $1500\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；整式加减运算；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是图形与代数结合的基础应用题，解题关键是通过观察图形准确得到各线段的长度关系，再结合长方形周长、面积公式列式计算，计算过程中注意整式加减的去括号、合并同类项法则的正确应用。
【难度系数】
0.7
15.(14分)某商场销售一种微波炉和电磁炉,微波炉每台定价800元,电磁炉每台定价200元.“十一”期间商场决定开展促销活动,活动期间向客户提供两种优惠方案.
方案一:买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二:微波炉和电磁炉都按定价的90%付款.
现某客户要到该商场购买微波炉10台,电磁炉x台(x＞10).
(1)若该客户按方案一购买,需付款
(均用含x的代数式表示)
(2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
(3)当x=30时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方案,并计算需付款多少元.
方案一:买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二:微波炉和电磁炉都按定价的90%付款.
现某客户要到该商场购买微波炉10台,电磁炉x台(x＞10).
(1)若该客户按方案一购买,需付款
(200x+6000)
元;若该客户按方案二购买,需付款(180x+7200)
元.(均用含x的代数式表示)
(2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
(3)当x=30时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方案,并计算需付款多少元.
答案
15.(1)$(200x+6000)$ $(180x+7200)$
(2)解:当$x=30$时,方案一:$200×30+6000=12000$(元),
方案二:$180×30+7200=12600$(元).
因为$12000＜12600$,
所以按方案一购买较为合算.
(3)解:先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉,再按方案二购买20台电磁炉.
需付款$800×10+200×(30-10)×90\%=11600$(元).
(2)解:当$x=30$时,方案一:$200×30+6000=12000$(元),
方案二:$180×30+7200=12600$(元).
因为$12000＜12600$,
所以按方案一购买较为合算.
(3)解:先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉,再按方案二购买20台电磁炉.
需付款$800×10+200×(30-10)×90\%=11600$(元).
解析
【分析】
第(1)问先明确两种优惠规则：方案一买1台微波炉送1台电磁炉，买10台微波炉会赠送10台电磁炉，客户需x台电磁炉(x＞10)，仅需额外支付(x-10)台电磁炉的费用，加10台微波炉的总定价化简即可得方案一的付款额；方案二所有商品按定价90%付款，分别计算10台微波炉和x台电磁炉的折后总价，相加化简即可得方案二的付款额。第(2)问将x=30代入(1)的两个代数式求值，比较大小即可判断哪种方案合算。第(3)问灵活组合两种优惠规则：优先用方案一拿赠送的电磁炉，剩余电磁炉用方案二的折扣，计算总付款即可得到更省钱的方案。
【解析】
(1) 方案一：10台微波炉费用为$800×10=8000$元，赠送10台电磁炉，还需购买$(x-10)$台电磁炉，费用为$200(x-10)$元，总付款为$8000+200(x-10)=200x+6000$元；
方案二：10台微波炉折后价为$800×10×90\%=7200$元，x台电磁炉折后价为$200x×90\%=180x$元，总付款为$7200+180x=180x+7200$元。
(2) 当$x=30$时，
方案一付款：$200×30+6000=12000$(元)
方案二付款：$180×30+7200=12600$(元)
因为$12000＜12600$，所以按方案一购买较为合算。
(3) 更省钱的购买方案：先按方案一购买10台微波炉，获赠10台电磁炉，剩余$30-10=20$台电磁炉按方案二购买。
总付款：$800×10+200×20×90\%=8000+3600=11600$(元)
【答案】
(1) $(200x+6000)$；$(180x+7200)$
(2) 按方案一购买较为合算
(3) 先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，需付款11600元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案设计
【点评】
本题结合生活促销场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解不同优惠的计算规则，设计最优方案时要灵活组合优惠规则，降低总支出。
【难度系数】
0.7
第(1)问先明确两种优惠规则：方案一买1台微波炉送1台电磁炉，买10台微波炉会赠送10台电磁炉，客户需x台电磁炉(x＞10)，仅需额外支付(x-10)台电磁炉的费用，加10台微波炉的总定价化简即可得方案一的付款额；方案二所有商品按定价90%付款，分别计算10台微波炉和x台电磁炉的折后总价，相加化简即可得方案二的付款额。第(2)问将x=30代入(1)的两个代数式求值，比较大小即可判断哪种方案合算。第(3)问灵活组合两种优惠规则：优先用方案一拿赠送的电磁炉，剩余电磁炉用方案二的折扣，计算总付款即可得到更省钱的方案。
【解析】
(1) 方案一：10台微波炉费用为$800×10=8000$元，赠送10台电磁炉，还需购买$(x-10)$台电磁炉，费用为$200(x-10)$元，总付款为$8000+200(x-10)=200x+6000$元；
方案二：10台微波炉折后价为$800×10×90\%=7200$元，x台电磁炉折后价为$200x×90\%=180x$元，总付款为$7200+180x=180x+7200$元。
(2) 当$x=30$时，
方案一付款：$200×30+6000=12000$(元)
方案二付款：$180×30+7200=12600$(元)
因为$12000＜12600$，所以按方案一购买较为合算。
(3) 更省钱的购买方案：先按方案一购买10台微波炉，获赠10台电磁炉，剩余$30-10=20$台电磁炉按方案二购买。
总付款：$800×10+200×20×90\%=8000+3600=11600$(元)
【答案】
(1) $(200x+6000)$；$(180x+7200)$
(2) 按方案一购买较为合算
(3) 先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，需付款11600元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案设计
【点评】
本题结合生活促销场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解不同优惠的计算规则，设计最优方案时要灵活组合优惠规则，降低总支出。
【难度系数】
0.7
