登录
1.根据等式的基本性质,下列各式变形正确的是 （
A.若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,则$a=b$
B.若$a=b$,则$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
C.若$ac=bc$,则$a=b$
D.若$-\frac{1}{3}x=6$,则$x=-2$
A
）A.若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,则$a=b$
B.若$a=b$,则$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
C.若$ac=bc$,则$a=b$
D.若$-\frac{1}{3}x=6$,则$x=-2$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的基本性质，重点牢记“等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0”这个限制条件。接下来逐个分析选项：对于涉及字母c作为除数或乘数的选项，先判断是否明确c不为0；对于D选项，直接通过系数化1计算验证结果是否正确，最终选出变形正确的选项。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐个分析选项：
1. 选项A：$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$成立的前提是分母$c≠0$，根据等式的基本性质2，等式两边同时乘c，可得$a=b$，变形符合规则，正确。
2. 选项B：若$a=b$，只有当$c≠0$时，两边同时除以c才能得到$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，题目未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，变形错误。
3. 选项C：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论a、b取何值等式都成立，无法推出$a=b$，变形错误。
4. 选项D：若$-\frac{1}{3}x=6$，根据等式的基本性质2，两边同时乘$-3$，得$x=6×(-3)=-18$，不是$-2$，计算错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质，有理数乘除运算
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，易错点是忽略“等式两边同除以一个数时，这个数不能为0”的前提条件，以及系数化1时的计算错误，解题时要注意对特殊值0的分类考虑。
【难度系数】
0.7
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的基本性质，重点牢记“等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0”这个限制条件。接下来逐个分析选项：对于涉及字母c作为除数或乘数的选项，先判断是否明确c不为0；对于D选项，直接通过系数化1计算验证结果是否正确，最终选出变形正确的选项。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐个分析选项：
1. 选项A：$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$成立的前提是分母$c≠0$，根据等式的基本性质2，等式两边同时乘c，可得$a=b$，变形符合规则，正确。
2. 选项B：若$a=b$，只有当$c≠0$时，两边同时除以c才能得到$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，题目未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，变形错误。
3. 选项C：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论a、b取何值等式都成立，无法推出$a=b$，变形错误。
4. 选项D：若$-\frac{1}{3}x=6$，根据等式的基本性质2，两边同时乘$-3$，得$x=6×(-3)=-18$，不是$-2$，计算错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质，有理数乘除运算
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，易错点是忽略“等式两边同除以一个数时，这个数不能为0”的前提条件，以及系数化1时的计算错误，解题时要注意对特殊值0的分类考虑。
【难度系数】
0.7
2. 下面的变形正确的是 （
A.由$7-x=13$，得$x=13-7$
B.由$5x=4x+8$，得$5x+4x=8$
C.由$\frac{1}{2}x=1$，得$x=\frac{1}{2}$
D.由$2x-7=5x+2$，得$2x-5x=2+7$
D
）A.由$7-x=13$，得$x=13-7$
B.由$5x=4x+8$，得$5x+4x=8$
C.由$\frac{1}{2}x=1$，得$x=\frac{1}{2}$
D.由$2x-7=5x+2$，得$2x-5x=2+7$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质及移项规则，解题时需结合等式性质逐一验证各选项的变形是否正确。首先明确等式的核心性质：等式两边加/减同一个数（或整式）、乘/除同一个不为0的数，等式仍然成立；移项时需注意，从等式一侧移到另一侧的项必须改变符号，系数化为1时运算要准确。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐个判断选项：
A. 对$7-x=13$移项，将7移到等号右侧需变号，得$-x=13-7$，即$x=7-13$，选项变形时7未变号，错误；
B. 对$5x=4x+8$移项，将4x移到等号左侧需变号，得$5x-4x=8$，选项变形时4x未变号，错误；
C. 对$\frac{1}{2}x=1$系数化为1，两边同时乘2，得$x=2$，选项运算错误；
D. 对$2x-7=5x+2$移项，将5x移到左侧变$-5x$，$-7$移到右侧变$+7$，得$2x-5x=2+7$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质，移项法则，系数化为1
【点评】
本题是等式变形的基础题型，易错点为移项时忘记改变符号、系数化为1时运算出错，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查等式的基本性质及移项规则，解题时需结合等式性质逐一验证各选项的变形是否正确。首先明确等式的核心性质：等式两边加/减同一个数（或整式）、乘/除同一个不为0的数，等式仍然成立；移项时需注意，从等式一侧移到另一侧的项必须改变符号，系数化为1时运算要准确。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐个判断选项：
A. 对$7-x=13$移项，将7移到等号右侧需变号，得$-x=13-7$，即$x=7-13$，选项变形时7未变号，错误；
B. 对$5x=4x+8$移项，将4x移到等号左侧需变号，得$5x-4x=8$，选项变形时4x未变号，错误；
C. 对$\frac{1}{2}x=1$系数化为1，两边同时乘2，得$x=2$，选项运算错误；
D. 对$2x-7=5x+2$移项，将5x移到左侧变$-5x$，$-7$移到右侧变$+7$，得$2x-5x=2+7$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质，移项法则，系数化为1
【点评】
本题是等式变形的基础题型，易错点为移项时忘记改变符号、系数化为1时运算出错，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 由 $2x - 16 = 3x + 5$，得 $2x - 3x = 5 + 16$，此变形是在原等式的两边同时加上了
$16-3x$
.答案
3.$16-3x$
解析
【分析】
解题时结合等式的基本性质1思考即可：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立。首先对比变形前后等式左右两边的项的差异：原等式左边是$2x-16$，变形后左边是$2x-3x$，说明左边要消去$-16$、新增$-3x$；原等式右边是$3x+5$，变形后右边是$5+16$，说明右边要消去$3x$、新增$16$。要同时满足两边的变化，只需推导出让两边同时加减的同一个整式即可。
【解析】
设等式两边同时加上的整式为$A$，结合变形结果可得：
左边变形：$2x - 16 + A = 2x - 3x$
两边同时减去$2x$，得：$-16 + A = -3x$
解得：$A = 16 - 3x$
代入右边验证：$3x + 5 + (16 - 3x) = 5 + 16$，和题目给出的变形结果一致，符合要求。
【答案】
$16-3x$
【知识点】
等式的基本性质1；整式的加减运算
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，核心是理解移项的本质是等式两边同时加减同一个整式，解题时通过对比变形前后等式两边的项的差异，就能快速推导出需要同时加减的整式，不用死记硬背移项规则。
【难度系数】
0.7
解题时结合等式的基本性质1思考即可：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立。首先对比变形前后等式左右两边的项的差异：原等式左边是$2x-16$，变形后左边是$2x-3x$，说明左边要消去$-16$、新增$-3x$；原等式右边是$3x+5$，变形后右边是$5+16$，说明右边要消去$3x$、新增$16$。要同时满足两边的变化，只需推导出让两边同时加减的同一个整式即可。
【解析】
设等式两边同时加上的整式为$A$，结合变形结果可得：
左边变形：$2x - 16 + A = 2x - 3x$
两边同时减去$2x$，得：$-16 + A = -3x$
解得：$A = 16 - 3x$
代入右边验证：$3x + 5 + (16 - 3x) = 5 + 16$，和题目给出的变形结果一致，符合要求。
【答案】
$16-3x$
【知识点】
等式的基本性质1；整式的加减运算
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，核心是理解移项的本质是等式两边同时加减同一个整式，解题时通过对比变形前后等式两边的项的差异，就能快速推导出需要同时加减的整式，不用死记硬背移项规则。
【难度系数】
0.7
4.列等式表示：
(1)x 的 2 倍与－7 的差是 1；
(2)y 的相反数与它的一半的和是 3；
(3)x 的平方与 1 的差是 y 与 x 的和；
(4)x 的平方与 y 的平方之和等于 x 与 y 之和的平方。
(1)x 的 2 倍与－7 的差是 1；
(2)y 的相反数与它的一半的和是 3；
(3)x 的平方与 1 的差是 y 与 x 的和；
(4)x 的平方与 y 的平方之和等于 x 与 y 之和的平方。
答案
4.解:(1)$2x-(-7)=1$.
(2)$-y+\frac{1}{2}y=3$.
(3)$x^2-1=y+x$.
(4)$x^2+y^2=(x+y)^2$.
(2)$-y+\frac{1}{2}y=3$.
(3)$x^2-1=y+x$.
(4)$x^2+y^2=(x+y)^2$.
解析
【分析】
解决这类文字转等式的问题，需先找准关键词对应的数学运算，再按描述的运算顺序列式即可。具体思路：①先提取关键词：“倍”对应乘法、“差”对应减法、“相反数”对应取负、“和”对应加法、“平方”对应二次幂运算；②明确运算的前后主体：“A与B的差”是A减B，“A与B的和”是A加B；③最后根据“是、等于”这类表述用等号连接两边的式子，得到等式。
【解析】
(1) 先表示“x的2倍”为$2x$，“x的2倍与-7的差”为$2x - (-7)$，根据差是1，列等式为$2x-(-7)=1$。
(2) 先表示“y的相反数”为$-y$，“y的一半”为$\frac{1}{2}y$，两者的和为$-y+\frac{1}{2}y$，根据和是3，列等式为$-y+\frac{1}{2}y=3$。
(3) 先表示“x的平方与1的差”为$x^2-1$，“y与x的和”为$y+x$，根据两者相等，列等式为$x^2-1=y+x$。
(4) 先表示“x的平方与y的平方之和”为$x^2+y^2$，“x与y之和的平方”为$(x+y)^2$，根据两者相等，列等式为$x^2+y^2=(x+y)^2$。
【答案】
(1)$2x-(-7)=1$
(2)$-y+\frac{1}{2}y=3$
(3)$x^2-1=y+x$
(4)$x^2+y^2=(x+y)^2$
【知识点】
列代数式，等式表示，乘方的意义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查将文字描述的数量关系转化为数学等式的能力，解题核心是准确匹配关键词对应的运算，理清运算顺序，避免混淆运算的前后主体。
【难度系数】
0.85
解决这类文字转等式的问题，需先找准关键词对应的数学运算，再按描述的运算顺序列式即可。具体思路：①先提取关键词：“倍”对应乘法、“差”对应减法、“相反数”对应取负、“和”对应加法、“平方”对应二次幂运算；②明确运算的前后主体：“A与B的差”是A减B，“A与B的和”是A加B；③最后根据“是、等于”这类表述用等号连接两边的式子，得到等式。
【解析】
(1) 先表示“x的2倍”为$2x$，“x的2倍与-7的差”为$2x - (-7)$，根据差是1，列等式为$2x-(-7)=1$。
(2) 先表示“y的相反数”为$-y$，“y的一半”为$\frac{1}{2}y$，两者的和为$-y+\frac{1}{2}y$，根据和是3，列等式为$-y+\frac{1}{2}y=3$。
(3) 先表示“x的平方与1的差”为$x^2-1$，“y与x的和”为$y+x$，根据两者相等，列等式为$x^2-1=y+x$。
(4) 先表示“x的平方与y的平方之和”为$x^2+y^2$，“x与y之和的平方”为$(x+y)^2$，根据两者相等，列等式为$x^2+y^2=(x+y)^2$。
【答案】
(1)$2x-(-7)=1$
(2)$-y+\frac{1}{2}y=3$
(3)$x^2-1=y+x$
(4)$x^2+y^2=(x+y)^2$
【知识点】
列代数式，等式表示，乘方的意义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查将文字描述的数量关系转化为数学等式的能力，解题核心是准确匹配关键词对应的运算，理清运算顺序，避免混淆运算的前后主体。
【难度系数】
0.85
5.指出下列各等式变形的依据.
(1)由$3=x-2$,得$3+2=x$;
(2)由$-3x=6$,得$x=-2$;
(3)由$3x-2=2x+1$,得$3x-2x=2+1$.
(1)由$3=x-2$,得$3+2=x$;
(2)由$-3x=6$,得$x=-2$;
(3)由$3x-2=2x+1$,得$3x-2x=2+1$.
答案
5.解:(1)变形依据为等式的基本性质1.
(2)变形依据为等式的基本性质2.
(3)变形依据为等式的基本性质1.
(2)变形依据为等式的基本性质2.
(3)变形依据为等式的基本性质1.
解析
【分析】
解题时首先要回忆等式的两条基本性质内容：等式的基本性质1为等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析每个等式的变形操作：若变形是对等式两边做加减操作，对应性质1；若做乘除（除数不为0）操作，对应性质2，即可得到各变形的依据。
【解析】
首先明确等式的两条基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
(1) 等式$3=x-2$变形为$3+2=x$，是给等式两边同时加了2，符合等式基本性质1的要求，故变形依据为等式的基本性质1。
(2) 等式$-3x=6$变形为$x=-2$，是给等式两边同时除以不为0的数-3，符合等式基本性质2的要求，故变形依据为等式的基本性质2。
(3) 等式$3x-2=2x+1$变形为$3x-2x=2+1$，是给等式两边同时减2x、加2，符合等式基本性质1的要求，故变形依据为等式的基本性质1。
【答案】
(1)变形依据为等式的基本性质1；
(2)变形依据为等式的基本性质2；
(3)变形依据为等式的基本性质1。
【知识点】
等式的基本性质1；等式的基本性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心考查对两条等式基本性质的区分和理解，是后续学习解方程、等式变形的重要基础，需要熟练掌握两种性质的适用场景，尤其注意使用等式基本性质2时除数不能为0的限制条件。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆等式的两条基本性质内容：等式的基本性质1为等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析每个等式的变形操作：若变形是对等式两边做加减操作，对应性质1；若做乘除（除数不为0）操作，对应性质2，即可得到各变形的依据。
【解析】
首先明确等式的两条基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
(1) 等式$3=x-2$变形为$3+2=x$，是给等式两边同时加了2，符合等式基本性质1的要求，故变形依据为等式的基本性质1。
(2) 等式$-3x=6$变形为$x=-2$，是给等式两边同时除以不为0的数-3，符合等式基本性质2的要求，故变形依据为等式的基本性质2。
(3) 等式$3x-2=2x+1$变形为$3x-2x=2+1$，是给等式两边同时减2x、加2，符合等式基本性质1的要求，故变形依据为等式的基本性质1。
【答案】
(1)变形依据为等式的基本性质1；
(2)变形依据为等式的基本性质2；
(3)变形依据为等式的基本性质1。
【知识点】
等式的基本性质1；等式的基本性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心考查对两条等式基本性质的区分和理解，是后续学习解方程、等式变形的重要基础，需要熟练掌握两种性质的适用场景，尤其注意使用等式基本性质2时除数不能为0的限制条件。
【难度系数】
0.9
6. 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为$x=c$($c$为常数)的形式：
(1)$x+25=95$；
(2)$x-12=-4$；
(3)$0.3x=12$；
(4)$\dfrac{2}{3}x=-3$。
(1)$x+25=95$；
(2)$x-12=-4$；
(3)$0.3x=12$；
(4)$\dfrac{2}{3}x=-3$。
答案
6.(1)$x=70$ (2)$x=8$ (3)$x=40$ (4)$x=-\frac{9}{2}$
解析
【分析】
解题需运用等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路：首先观察方程形式，若方程含x的一侧有常数项的加减，先用性质1消去常数项，得到“ax=b（a≠0）”的形式，再用性质2将x的系数化为1，即可得到x=c的结果，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 对$x+25=95$，根据等式性质1，两边同时减去25：
$x+25-25=95-25$
计算得：$x=70$
(2) 对$x-12=-4$，根据等式性质1，两边同时加上12：
$x-12+12=-4+12$
计算得：$x=8$
(3) 对$0.3x=12$，根据等式性质2，两边同时除以0.3：
$0.3x÷0.3=12÷0.3$
计算得：$x=40$
(4) 对$\dfrac{2}{3}x=-3$，根据等式性质2，两边同时乘$\dfrac{3}{2}$：
$\dfrac{2}{3}x×\dfrac{3}{2}=-3×\dfrac{3}{2}$
计算得：$x=-\dfrac{9}{2}$
【答案】
(1)$x=70$ (2)$x=8$ (3)$x=40$ (4)$x=-\frac{9}{2}$
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程求解、系数化为1
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查等式基本性质的直接应用，是后续学习解复杂方程的必备基础，计算时需注意符号运算的准确性，处理分数系数时要乘其倒数，避免运算错误。
【难度系数】
0.85
解题需运用等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路：首先观察方程形式，若方程含x的一侧有常数项的加减，先用性质1消去常数项，得到“ax=b（a≠0）”的形式，再用性质2将x的系数化为1，即可得到x=c的结果，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 对$x+25=95$，根据等式性质1，两边同时减去25：
$x+25-25=95-25$
计算得：$x=70$
(2) 对$x-12=-4$，根据等式性质1，两边同时加上12：
$x-12+12=-4+12$
计算得：$x=8$
(3) 对$0.3x=12$，根据等式性质2，两边同时除以0.3：
$0.3x÷0.3=12÷0.3$
计算得：$x=40$
(4) 对$\dfrac{2}{3}x=-3$，根据等式性质2，两边同时乘$\dfrac{3}{2}$：
$\dfrac{2}{3}x×\dfrac{3}{2}=-3×\dfrac{3}{2}$
计算得：$x=-\dfrac{9}{2}$
【答案】
(1)$x=70$ (2)$x=8$ (3)$x=40$ (4)$x=-\frac{9}{2}$
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程求解、系数化为1
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查等式基本性质的直接应用，是后续学习解复杂方程的必备基础，计算时需注意符号运算的准确性，处理分数系数时要乘其倒数，避免运算错误。
【难度系数】
0.85
