7. 根据等式的基本性质，若等式$ m=n $可以变形得到$ m+a=n-b $，则$ a,b $应满足的条件是 （）

A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.$ a=0,b=0 $

7.A

【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立。我们先将变形后的等式右边改写为n加上一个数的形式，再对比等式两边添加的代数式，就能得到a和b的关系，最后结合选项判断即可。
【解析】
已知等式$m=n$，根据等式的基本性质1，若等式两边同时加同一个数或整式，等式仍然成立。
变形后的等式为$m+a=n-b$，可将右边整理为$n+(-b)$，即等式左边加了$a$，右边加了$-b$，因此需满足：
$a=-b$
移项得$a+b=0$，根据相反数的定义：和为0的两个数互为相反数，可知$a$和$b$互为相反数。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；相反数的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考察等式基本性质的应用以及相反数概念的理解，解题的核心是抓住等式变形时两边同时添加的代数式必须相等，再推导a、b的关系即可。
【难度系数】
0.8

8. 下列等式的变形中,不一定正确的是
（）

A.如果 $ac^2 = bc^2$，那么 $a = b$
B.如果 $a - c = b - c$，那么 $a = b$
C.如果 $a = b$，那么 $a - c = b - c$
D.如果 $a(c^2 + 1) = b(c^2 + 1)$，那么 $a = b$

8.A

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时需先明确等式的两条基本性质，再逐一分析每个选项的变形是否符合性质要求，尤其要注意等式两边同时除以同一个数时，该数不能为0，需判断除数是否可能为0，从而确定变形是否一定正确。
【解析】
根据等式的基本性质逐一判断：
1. 分析选项A：若$ac^2 = bc^2$，当$c=0$时，$c^2=0$，此时无论$a$、$b$取何值，等式两边都等于0，因此无法推出$a=b$，该变形不一定正确；
2. 分析选项B：根据等式性质1，等式两边同时加上同一个数$c$，可得$a - c + c = b - c + c$，即$a = b$，变形一定正确；
3. 分析选项C：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数$c$，可得$a - c = b - c$，变形一定正确；
4. 分析选项D：由于$c^2≥0$，因此$c^2 + 1≥1$，即$c^2 + 1$恒不为0，根据等式性质2，等式两边同时除以不为0的$c^2 + 1$，可得$a = b$，变形一定正确。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质，平方的非负性
【点评】
本题是等式变形的典型易错题，核心易错点是忽略等式两边同时除以的数可能为0的情况，解题时遇到含平方的系数要先判断系数是否可能为0，再确定变形是否成立。
【难度系数】
0.7

9. 如图,○,□,△分别表示三种不同的物体,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也保持平衡,那么第三架天平的右边应放的物体是 ()


A.□□
B.□□□
C.□□□□
D.□□□□□

9.D

【分析】
天平平衡意味着左右两侧物体的总质量相等，我们可以先将三种物体的质量设为未知数，根据前两架天平的平衡关系列出对应的等式，通过等量代换推导出○、△分别与□的质量关系，再计算第三架天平左侧的总质量相当于多少个□的质量，即可确定右侧应放的物体。
【解析】
设○的质量为$x$，△的质量为$y$，□的质量为$z$。
根据第一架天平平衡可得：$2x = y + z$ ①
根据第二架天平平衡可得：$x + z = y$ ②
将②代入①，得：$2x = (x+z) + z$
化简得：$2x = x + 2z$，根据等式的性质，两边同时减去$x$，得$x=2z$，即1个○的质量等于2个□的质量。
把$x=2z$代入②，得$y=2z + z=3z$，即1个△的质量等于3个□的质量。
第三架天平左侧总质量为$x + y = 2z + 3z = 5z$，即等于5个□的质量，因此右侧应放5个□。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的场景考查等量关系的推导，解题的关键是准确理解天平平衡的含义，通过代入消元的方法推导出不同物体质量的数量关系，能够锻炼学生的逻辑推理能力和对等式性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

10.若$3x^2 - 4x - 5 = 7$，则$x^2 - \frac{4}{3}x =$.

10.4

【分析】
首先观察已知等式和所求代数式的结构关系，可发现所求代数式中二次项、一次项的系数，恰好是已知等式中对应含x项系数的$\frac{1}{3}$，因此无需计算x的具体值，先对已知等式移项整理得到$3x^2-4x$的取值，再利用等式的性质将等式两边同时除以3，即可直接得到所求代数式的值，用整体代入的思路解题更简便。
【解析】
解：已知$3x^2 - 4x - 5 = 7$，
1. 移项合并常数项：将等号左侧的常数项$-5$移到等号右侧，得
$3x^2 - 4x = 7 + 5$，计算得$3x^2 - 4x = 12$；
2. 利用等式的性质变形：将上述等式两边同时除以3，得
$\frac{3x^2 - 4x}{3} = \frac{12}{3}$，拆分左侧后即得$x^2 - \frac{4}{3}x = 4$。
【答案】
4
【知识点】
等式的性质、整体代入求值、代数式求值
【点评】
本题核心是考查对代数式系数的敏感度和整体思想的运用，不需要求出未知数x的具体值，通过对已知等式做简单变形即可得到结果，能有效避免复杂计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8

11.已知$4m+2n-5=m+5n$,利用等式的基本性质比较$m$与$n$的大小关系:$m$ $n$.(填“＞”“＜”或“=”)

11.$＞$

【分析】
要比较m与n的大小，可通过判断m-n的正负来实现。我们可以利用等式的基本性质，对已知等式逐步变形，将含m、n的项移到等式同一侧，常数项移到另一侧，整理得到m-n的取值，进而判断大小。
【解析】
已知$4m+2n-5=m+5n$，
根据等式的基本性质1，等式两边同时减去$m$，得：$3m+2n-5=5n$；
再根据等式的基本性质1，等式两边同时减去$5n$，得：$3m-3n-5=0$；
再根据等式的基本性质1，等式两边同时加5，得：$3m-3n=5$；
提取公因式得：$3(m-n)=5$；
根据等式的基本性质2，等式两边同时除以3，得：$m-n=\frac{5}{3}$；
因为$\frac{5}{3}＞0$，即$m-n＞0$，所以$m＞n$。
【答案】
$＞$
【知识点】
1.等式的基本性质 2.作差法比较大小
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查等式基本性质的应用，解题关键是通过合理变形得到两数的差值，根据差值的正负判断大小，熟练掌握等式变形的规则就能快速求解。
【难度系数】
0.8

12.在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明根据是等式的哪一条性质以及是怎样变形的.
(1)如果$-\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{5}$,那么$x=$,根据;
(2)如果$-2x=2y$,那么$x=$,根据;
(3)如果$\dfrac{2}{3}x=4$,那么$x=$,根据;
(4)如果$x=3x+2$,那么$x-$$=2$,根据.

12.(1)$-2y$ 等式的基本性质2,两边都乘$-10$
(2)$-y$ 等式的基本性质2,两边都除以$-2$
(3)$6$ 等式的基本性质2,两边都乘$\frac{3}{2}$
(4)$3x$ 等式的基本性质1,两边都减去$3x$

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两条基本性质：性质1是等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时针对每一小问，观察等式需要变形得到的目标形式，确定等式两边需要进行的统一运算，再对应选择适用的等式性质即可。
【解析】
(1) 观察等式左边为$-\dfrac{x}{10}$，要得到$x$，需给等式两边同时乘$-10$：
左边：$-\dfrac{x}{10}×(-10)=x$，右边：$\dfrac{y}{5}×(-10)=-2y$，依据是等式的基本性质2。
(2) 观察等式左边为$-2x$，要得到$x$，需给等式两边同时除以$-2$：
左边：$-2x÷(-2)=x$，右边：$2y÷(-2)=-y$，依据是等式的基本性质2。
(3) 观察等式左边为$\dfrac{2}{3}x$，要得到$x$，需给等式两边同时乘$\dfrac{3}{2}$：
左边：$\dfrac{2}{3}x×\dfrac{3}{2}=x$，右边：$4×\dfrac{3}{2}=6$，依据是等式的基本性质2。
(4) 观察等式右边为$3x+2$，要得到常数项2，需给等式两边同时减去$3x$：
左边：$x-3x$，右边：$3x+2-3x=2$，依据是等式的基本性质1。
【答案】
(1)$-2y$ 等式的基本性质2,两边都乘$-10$
(2)$-y$ 等式的基本性质2,两边都除以$-2$
(3)$6$ 等式的基本性质2,两边都乘$\frac{3}{2}$
(4)$3x$ 等式的基本性质1,两边都减去$3x$
【知识点】
等式的基本性质1；等式的基本性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是注意等式变形时两边必须进行完全相同的运算，应用等式性质2时要注意除数不能为0，熟练掌握两条性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

13. 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为$x=c$($c$为常数)的形式：
(1)$2x - 2 = 5$；
(2)$3 = 2x + 1$；
(3)$\frac{1}{3}x + 3 = -6$；
(4)$5x + 1 = 2x + 10$。

13.(1)$x=\frac{7}{2}$ (2)$x=1$ (3)$x=-27$ (4)$x=3$

【分析】
本题要求利用等式的基本性质将等式变形为$x=c$的形式，解题核心是熟练运用等式的两个基本性质：①等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题思路为：先通过等式性质1将所有含$x$的项移到等式左侧、常数项移到等式右侧，合并同类项后，再通过等式性质2将$x$的系数化为1，即可得到$x=c$的形式。
【解析】
(1) 对等式$2x - 2 = 5$变形：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时加2，得$2x - 2 + 2 = 5 + 2$，化简为$2x = 7$；
第二步，根据等式性质2，等式两边同时除以2，得$x = \frac{7}{2}$。
(2) 对等式$3 = 2x + 1$变形：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时减1，得$3 - 1 = 2x + 1 - 1$，化简为$2 = 2x$；
第二步，根据等式性质2，等式两边同时除以2，得$x = 1$。
(3) 对等式$\frac{1}{3}x + 3 = -6$变形：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时减3，得$\frac{1}{3}x + 3 - 3 = -6 - 3$，化简为$\frac{1}{3}x = -9$；
第二步，根据等式性质2，等式两边同时乘3，得$x = -27$。
(4) 对等式$5x + 1 = 2x + 10$变形：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时减$2x$，得$5x + 1 - 2x = 2x + 10 - 2x$，化简为$3x + 1 = 10$；
第二步，再根据等式性质1，等式两边同时减1，得$3x + 1 - 1 = 10 - 1$，化简为$3x = 9$；
第三步，根据等式性质2，等式两边同时除以3，得$x = 3$。
【答案】
(1)$x=\frac{7}{2}$ (2)$x=1$ (3)$x=-27$ (4)$x=3$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，是后续求解复杂方程的必备基础，解题时需注意等式两边必须同时进行相同的加减乘除运算，避免出现单侧变形、漏乘常数项等错误。
【难度系数】
0.85

14.某同学对$3a-2b=2a-2b$进行变形，两边都加上$2b$，得$3a=2a$，两边都除以$a$，得$3=2$.你能指出他错在哪里了吗？

14.解:$a$是有可能等于0的,当$a=0$时,不符合等式的基本性质,即不能两边都除以$a$.

【分析】
要找出变形的错误，需结合等式的基本性质逐次检查每一步变形是否符合要求：首先第一步两边加2b，符合等式两边加同一个整式的性质，是正确的；接下来看两边除以a的步骤，等式的性质要求等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0，因此需要先判断a的取值，若a为0则不能作为除数，由此就能找到错误原因。
【解析】
我们依次检查变形的每一步：
1. 对原等式$3a-2b=2a-2b$两边都加上$2b$，根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，因此得到$3a=2a$，这一步变形是正确的。
2. 接下来对$3a=2a$两边都除以$a$时，需要符合等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。本题中没有考虑$a$的取值，$a$有可能等于0，而0不能作为除数，因此不能直接两边除以$a$，这一步变形错误，才会得出$3=2$的错误结论。
【答案】
$a$是有可能等于0的,当$a=0$时,不符合等式的基本性质,即不能两边都除以$a$。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 除数不为0
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，核心考查对等式性质2中“除以同一个不为0的数”这个前提条件的理解，在进行等式两边同除一个数的变形时，一定要先确认该数不为0，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.7