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1. 定义一种新运算“⊕”：$m\oplus n=m^2 - mn$，则$(-3)\oplus2$的结果为 （
A.$-3$
B.$3$
C.$15$
D.$-15$
C
）A.$-3$
B.$3$
C.$15$
D.$-15$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题的核心是先准确理解新运算“⊕”的规则：运算结果等于第一个数的平方减去两个参与运算的数的乘积。解题时只需将对应的数值代入公式，按照有理数混合运算的顺序计算即可，计算过程中要注意负数的乘方结果符号以及减法的变号规则。
【解析】
根据新运算的定义$m\oplus n=m^2 - mn$，本题中$m=-3$，$n=2$，将数值代入公式可得：
$\begin{split}(-3)\oplus2&=(-3)^2 - (-3)×2\\&=9 - (-6)\\&=9+6\\&=15\end{split}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解和基础运算能力，只要正确套用公式，注意运算过程中的符号处理即可顺利得分，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题的核心是先准确理解新运算“⊕”的规则：运算结果等于第一个数的平方减去两个参与运算的数的乘积。解题时只需将对应的数值代入公式，按照有理数混合运算的顺序计算即可，计算过程中要注意负数的乘方结果符号以及减法的变号规则。
【解析】
根据新运算的定义$m\oplus n=m^2 - mn$，本题中$m=-3$，$n=2$，将数值代入公式可得：
$\begin{split}(-3)\oplus2&=(-3)^2 - (-3)×2\\&=9 - (-6)\\&=9+6\\&=15\end{split}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解和基础运算能力，只要正确套用公式，注意运算过程中的符号处理即可顺利得分，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 在计算$1÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$时，下列四个过程：①原式$=1÷\dfrac{1}{6}$；②原式$=1÷\dfrac{1}{3}-1÷\dfrac{1}{2}$；③原式$=6÷(2-3)$；④原式$=1×(3-2)$。其中正确的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查有理数的混合运算规则，解题思路如下：首先明确运算顺序：有括号先算括号内的运算；其次要注意区分乘法分配律和除法运算，除法没有分配律，不能随意拆分除法式子；也可以利用商不变性质（被除数和除数同时乘同一个非0数，商不变）简化计算，最后逐一判断四个运算过程的正误即可。
【解析】
我们逐个分析四个运算过程：
1. 先计算括号内的正确结果：$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{6}-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{6}$。
2. 分析过程①：原式写为$1÷\dfrac{1}{6}$，括号内计算符号错误，应为$-\dfrac{1}{6}$，故①错误。
3. 分析过程②：除法不满足分配律，$a÷(b-c)≠ a÷ b - a÷ c$，拆分运算的做法不符合运算法则，故②错误。
4. 分析过程③：根据商不变性质，将被除数1和除数$(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$同时乘非0数6，商不变，可得$1×6÷[(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6]=6÷(2-3)$，运算正确，故③正确。
5. 分析过程④：除以一个数等于乘这个数的倒数，$(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$的倒数是$-6$，而$3-2=1$，二者不相等，差的倒数不等于倒数的差，故④错误。
综上，只有③正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算、商不变性质、倒数的概念
【点评】
本题是有理数混合运算的易错题，解题时要注意区分乘法分配律和除法的运算规则，不要错误套用乘法分配律到除法运算中，计算括号内的分数减法时要注意符号，也可以合理运用商不变性质简化分数运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这道题考查有理数的混合运算规则，解题思路如下：首先明确运算顺序：有括号先算括号内的运算；其次要注意区分乘法分配律和除法运算，除法没有分配律，不能随意拆分除法式子；也可以利用商不变性质（被除数和除数同时乘同一个非0数，商不变）简化计算，最后逐一判断四个运算过程的正误即可。
【解析】
我们逐个分析四个运算过程：
1. 先计算括号内的正确结果：$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{6}-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{6}$。
2. 分析过程①：原式写为$1÷\dfrac{1}{6}$，括号内计算符号错误，应为$-\dfrac{1}{6}$，故①错误。
3. 分析过程②：除法不满足分配律，$a÷(b-c)≠ a÷ b - a÷ c$，拆分运算的做法不符合运算法则，故②错误。
4. 分析过程③：根据商不变性质，将被除数1和除数$(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$同时乘非0数6，商不变，可得$1×6÷[(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6]=6÷(2-3)$，运算正确，故③正确。
5. 分析过程④：除以一个数等于乘这个数的倒数，$(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$的倒数是$-6$，而$3-2=1$，二者不相等，差的倒数不等于倒数的差，故④错误。
综上，只有③正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算、商不变性质、倒数的概念
【点评】
本题是有理数混合运算的易错题，解题时要注意区分乘法分配律和除法的运算规则，不要错误套用乘法分配律到除法运算中，计算括号内的分数减法时要注意符号，也可以合理运用商不变性质简化分数运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
3.计算:(1)$-1÷ 3× \dfrac{1}{3}=$
(3)$-|-3|÷ (-3)^2=$
$-\dfrac{1}{9}$
;(2)$-1^2 + |-2025|=$$2024$
;(3)$-|-3|÷ (-3)^2=$
$-\dfrac{1}{3}$
;(4)$-1-(-3)^2=$$-10$
.答案
3.(1)$-\dfrac{1}{9}$ (2)$2024$ (3)$-\dfrac{1}{3}$ (4)$-10$
解析
【分析】
解决有理数混合运算题目首先要牢记运算规则：①先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；②同级运算按从左到右的顺序计算；③注意符号判断，如乘方前带负号时，底数是正数而非负数。各小题的解题思路如下：
(1)属于同级乘除运算，按从左到右顺序计算即可；
(2)先分别计算乘方、绝对值，再做加法，注意-1²是1的平方的相反数，结果为-1；
(3)先计算绝对值和乘方，再做除法运算；
(4)先计算乘方，再做减法运算。
【解析】
(1) 同级运算从左到右依次计算：
$\begin{aligned}-1÷3×\frac{1}{3}&=-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}\\&=-\frac{1}{9}\end{aligned}$
(2) 先算乘方和绝对值，再求和：
$\begin{aligned}-1^2 + |-2025|&=-1+2025\\&=2024\end{aligned}$
(3) 先算绝对值和乘方，再求商：
$\begin{aligned}-|-3|÷ (-3)^2&=-3÷9\\&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
(4) 先算乘方，再求差：
$\begin{aligned}-1-(-3)^2&=-1-9\\&=-10\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{9}$；(2)$2024$；(3)$-\dfrac{1}{3}$；(4)$-10$
【知识点】
有理数混合运算；绝对值化简；乘方运算
【点评】
这是有理数混合运算的基础题型，核心易错点是运算顺序判断错误和符号处理失误，比如误将-1²算成1、第一题先算后两位乘法等，做题时先明确运算顺序再动手计算，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
解决有理数混合运算题目首先要牢记运算规则：①先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；②同级运算按从左到右的顺序计算；③注意符号判断，如乘方前带负号时，底数是正数而非负数。各小题的解题思路如下：
(1)属于同级乘除运算，按从左到右顺序计算即可；
(2)先分别计算乘方、绝对值，再做加法，注意-1²是1的平方的相反数，结果为-1；
(3)先计算绝对值和乘方，再做除法运算；
(4)先计算乘方，再做减法运算。
【解析】
(1) 同级运算从左到右依次计算：
$\begin{aligned}-1÷3×\frac{1}{3}&=-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}\\&=-\frac{1}{9}\end{aligned}$
(2) 先算乘方和绝对值，再求和：
$\begin{aligned}-1^2 + |-2025|&=-1+2025\\&=2024\end{aligned}$
(3) 先算绝对值和乘方，再求商：
$\begin{aligned}-|-3|÷ (-3)^2&=-3÷9\\&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
(4) 先算乘方，再求差：
$\begin{aligned}-1-(-3)^2&=-1-9\\&=-10\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{9}$；(2)$2024$；(3)$-\dfrac{1}{3}$；(4)$-10$
【知识点】
有理数混合运算；绝对值化简；乘方运算
【点评】
这是有理数混合运算的基础题型，核心易错点是运算顺序判断错误和符号处理失误，比如误将-1²算成1、第一题先算后两位乘法等，做题时先明确运算顺序再动手计算，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
4.计算：$2^{2}+2× 2× (-3)+(-3)^{2}=$
$1$
.答案
4.1
解析
【分析】
解决这道题需遵循有理数混合运算的顺序思考：第一步先计算式中的乘方运算，第二步计算乘法运算，第三步计算加减运算，计算过程中要重点注意负数的乘方符号以及乘法运算的符号规则。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方：
$2^2 = 4$，$(-3)^2 = 9$
2. 计算乘法项：
$2×2×(-3) = 4×(-3) = -12$
3. 计算加减运算：
原式$= 4 + (-12) + 9 = 1$
【答案】
1
【知识点】
有理数乘方运算、有理数乘法运算、有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考察运算顺序和符号判断能力，计算时需注意负数乘方的符号规则，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.9
解决这道题需遵循有理数混合运算的顺序思考：第一步先计算式中的乘方运算，第二步计算乘法运算，第三步计算加减运算，计算过程中要重点注意负数的乘方符号以及乘法运算的符号规则。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方：
$2^2 = 4$，$(-3)^2 = 9$
2. 计算乘法项：
$2×2×(-3) = 4×(-3) = -12$
3. 计算加减运算：
原式$= 4 + (-12) + 9 = 1$
【答案】
1
【知识点】
有理数乘方运算、有理数乘法运算、有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考察运算顺序和符号判断能力，计算时需注意负数乘方的符号规则，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.9
5.计算:
(1)$3×(-1)+2^{2}+|-4|$；
(2)$-1^{4}-\frac{1}{7}×[2-(-3)^{2}]$；
(3)$3^{4}×\frac{1}{27}+(-2)^{2}×\frac{1}{2}÷(-2)$；
(4)$-\frac{1}{2}-2×0.5^{2}+3^{2}÷(-3)$。
(1)$3×(-1)+2^{2}+|-4|$；
(2)$-1^{4}-\frac{1}{7}×[2-(-3)^{2}]$；
(3)$3^{4}×\frac{1}{27}+(-2)^{2}×\frac{1}{2}÷(-2)$；
(4)$-\frac{1}{2}-2×0.5^{2}+3^{2}÷(-3)$。
答案
5.解:(1)原式$=-3+4+4=5.$
(2)原式$=-1-\dfrac{1}{7}×(2-9) =-1+1=0.$
(3)原式$=81×\dfrac{1}{27}+4×\dfrac{1}{2}÷(-2)=3+(-1)=2.$
(4)原式$=(-\dfrac{1}{2})-2×0.25+9÷(-3)=(-\dfrac{1}{2})-0.5+(-3)=-4.$
(2)原式$=-1-\dfrac{1}{7}×(2-9) =-1+1=0.$
(3)原式$=81×\dfrac{1}{27}+4×\dfrac{1}{2}÷(-2)=3+(-1)=2.$
(4)原式$=(-\dfrac{1}{2})-2×0.25+9÷(-3)=(-\dfrac{1}{2})-0.5+(-3)=-4.$
解析
【分析】
这几道题均为有理数混合运算，解题需严格遵循运算顺序：第一步先计算乘方、去绝对值，有括号的先算括号内的运算；第二步计算乘除运算；第三步计算加减运算。计算过程中要格外注意符号判定，比如$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，负数的偶次幂为正，避免符号出错，按照顺序分步计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算乘法、乘方、绝对值，再算加减：
原式$=3×(-1)+2^2+|-4|=-3+4+4=5$
(2) 先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘法，最后算加减：
原式$=-1-\frac{1}{7}×(2-9)=-1-\frac{1}{7}×(-7)=-1+1=0$
(3) 先算乘方，再依次计算乘除，最后算加减：
原式$=81×\frac{1}{27}+4×\frac{1}{2}÷(-2)=3+2÷(-2)=3+(-1)=2$
(4) 先算乘方，再算乘除，最后算加减：
原式$=-\frac{1}{2}-2×0.25+9÷(-3)=-\frac{1}{2}-0.5-3=-4$
【答案】
(1)$5$；(2)$0$；(3)$2$；(4)$-4$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；绝对值运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的正确处理，计算时分步运算可有效降低出错概率，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这几道题均为有理数混合运算，解题需严格遵循运算顺序：第一步先计算乘方、去绝对值，有括号的先算括号内的运算；第二步计算乘除运算；第三步计算加减运算。计算过程中要格外注意符号判定，比如$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，负数的偶次幂为正，避免符号出错，按照顺序分步计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算乘法、乘方、绝对值，再算加减：
原式$=3×(-1)+2^2+|-4|=-3+4+4=5$
(2) 先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘法，最后算加减：
原式$=-1-\frac{1}{7}×(2-9)=-1-\frac{1}{7}×(-7)=-1+1=0$
(3) 先算乘方，再依次计算乘除，最后算加减：
原式$=81×\frac{1}{27}+4×\frac{1}{2}÷(-2)=3+2÷(-2)=3+(-1)=2$
(4) 先算乘方，再算乘除，最后算加减：
原式$=-\frac{1}{2}-2×0.25+9÷(-3)=-\frac{1}{2}-0.5-3=-4$
【答案】
(1)$5$；(2)$0$；(3)$2$；(4)$-4$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；绝对值运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的正确处理，计算时分步运算可有效降低出错概率，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6.如图是一个计算程序,若输入a的值为－1,则输出的结果应为 （
A.7
B.－5
C.1
D.5
B
）A.7
B.－5
C.1
D.5
答案
6.B
解析
【分析】首先读懂计算程序的运算顺序：输入a后，先计算a的平方，再减去(-2)，将所得结果乘以(-3)，最后加上4得到输出值b。解题时将a=-1代入，按照有理数混合运算规则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可，计算过程中要重点注意符号的处理。
【解析】当输入$a=-1$时，按程序步骤计算：
1. 计算$a^2=(-1)^2=1$；
2. 计算$a^2-(-2)=1+2=3$；
3. 计算$3×(-3)=-9$；
4. 计算最终结果$b=-9+4=-5$。
【答案】B
【知识点】有理数混合运算；代数式求值
【点评】本题是基础运算类题目，解题核心是理清程序的运算顺序，计算时严格遵循有理数混合运算法则，尤其要注意负数运算、减法转加法的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】0.7
【解析】当输入$a=-1$时，按程序步骤计算：
1. 计算$a^2=(-1)^2=1$；
2. 计算$a^2-(-2)=1+2=3$；
3. 计算$3×(-3)=-9$；
4. 计算最终结果$b=-9+4=-5$。
【答案】B
【知识点】有理数混合运算；代数式求值
【点评】本题是基础运算类题目，解题核心是理清程序的运算顺序，计算时严格遵循有理数混合运算法则，尤其要注意负数运算、减法转加法的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】0.7
7. 规定以下两种变换:①$f(m,n)=(m,-n)$,如$f(2,1)=(2,-1)$;②$g(m,n)=(-m,-n)$,如$g(2,1)=(-2,-1)$.按照以上变换有:$f(g(3,4))=f(-3,-4)=(-3,4)$,那么$g(f(-1,5))$等于（
A.$(-1,-5)$
B.$(1,-5)$
C.$(-1,5)$
D.$(1,5)$
D
）A.$(-1,-5)$
B.$(1,-5)$
C.$(-1,5)$
D.$(1,5)$
答案
7.D
解析
【分析】
这是一道新定义变换的运算题，解题遵循“先内后外”的运算顺序：首先明确两种变换的规则，f变换是保持第一个数不变，第二个数取相反数；g变换是第一个数、第二个数都取相反数。先计算内层的f(-1,5)，得到结果后再代入g变换计算最终结果，计算过程中注意相反数的符号变化即可。
【解析】
第一步先计算内层的f变换：
根据规则$f(m,n)=(m,-n)$，将$m=-1$，$n=5$代入，可得：
$f(-1,5)=(-1, -5)$
第二步将f变换的结果代入外层的g变换：
根据规则$g(m,n)=(-m,-n)$，此时$m=-1$，$n=-5$，代入可得：
$g(-1,-5)=(-(-1), -(-5))=(1,5)$
【答案】
D
【知识点】
1.新定义运算 2.相反数的计算
【点评】
本题核心是对新定义规则的理解，解题时要注意嵌套运算的计算顺序，先算内层再算外层，计算过程中需注意符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义变换的运算题，解题遵循“先内后外”的运算顺序：首先明确两种变换的规则，f变换是保持第一个数不变，第二个数取相反数；g变换是第一个数、第二个数都取相反数。先计算内层的f(-1,5)，得到结果后再代入g变换计算最终结果，计算过程中注意相反数的符号变化即可。
【解析】
第一步先计算内层的f变换：
根据规则$f(m,n)=(m,-n)$，将$m=-1$，$n=5$代入，可得：
$f(-1,5)=(-1, -5)$
第二步将f变换的结果代入外层的g变换：
根据规则$g(m,n)=(-m,-n)$，此时$m=-1$，$n=-5$，代入可得：
$g(-1,-5)=(-(-1), -(-5))=(1,5)$
【答案】
D
【知识点】
1.新定义运算 2.相反数的计算
【点评】
本题核心是对新定义规则的理解，解题时要注意嵌套运算的计算顺序，先算内层再算外层，计算过程中需注意符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
8. 请你只在“加”“减”“乘”“除”“括号”中选择使用(可以重复),将四个数－2,－4,6,8组成算式(四个数都用且每个数只能用一次),使运算结果为24,你列出的算式是
$8×6÷[(-2)-(-4)]$（答案不唯一）
. (只写一种)答案
8.$8×6÷[(-2)-(-4)]$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决用指定四个有理数凑24的问题，可先回忆凑24的常用思路：凑出3×8、4×6、48÷2等结果为24的运算组合。首先观察给出的数字：-2、-4、6、8，我们可以先计算8×6=48，48除以2即可得到24，接下来只需用剩下的-2和-4凑出2即可；根据有理数减法法则，(-2)-(-4)=2，刚好满足需求，最后按运算顺序添加合适的括号保证先算减法，就能得到符合要求的算式。
【解析】
1. 先尝试用现有数字凑出与24相关的乘积：$8×6=48$，若要得到24，需要用48除以2；
2. 用剩余的两个数-2、-4凑除数2：根据有理数减法规则，减去一个数等于加上这个数的相反数，因此$(-2)-(-4)=-2+4=2$；
3. 组合四个数，为保证先算减法，给减法部分加括号，得到算式：$8×6÷[(-2)-(-4)]$；
4. 验证运算结果：先算中括号内的$(-2)-(-4)=2$，再算$8×6=48$，最后算$48÷2=24$，符合要求，且四个数各使用一次，无重复。
注：本题答案不唯一，其他符合要求的算式也正确。
【答案】
$8×6÷[(-2)-(-4)]$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算；有理数减法；有理数乘除运算
【点评】
本题为开放性运算题，主要考查对有理数四则运算规则的熟练运用能力，需要灵活组合数字和运算符号，多尝试不同的运算组合即可找到符合要求的答案。
【难度系数】
0.7
要解决用指定四个有理数凑24的问题，可先回忆凑24的常用思路：凑出3×8、4×6、48÷2等结果为24的运算组合。首先观察给出的数字：-2、-4、6、8，我们可以先计算8×6=48，48除以2即可得到24，接下来只需用剩下的-2和-4凑出2即可；根据有理数减法法则，(-2)-(-4)=2，刚好满足需求，最后按运算顺序添加合适的括号保证先算减法，就能得到符合要求的算式。
【解析】
1. 先尝试用现有数字凑出与24相关的乘积：$8×6=48$，若要得到24，需要用48除以2；
2. 用剩余的两个数-2、-4凑除数2：根据有理数减法规则，减去一个数等于加上这个数的相反数，因此$(-2)-(-4)=-2+4=2$；
3. 组合四个数，为保证先算减法，给减法部分加括号，得到算式：$8×6÷[(-2)-(-4)]$；
4. 验证运算结果：先算中括号内的$(-2)-(-4)=2$，再算$8×6=48$，最后算$48÷2=24$，符合要求，且四个数各使用一次，无重复。
注：本题答案不唯一，其他符合要求的算式也正确。
【答案】
$8×6÷[(-2)-(-4)]$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算；有理数减法；有理数乘除运算
【点评】
本题为开放性运算题，主要考查对有理数四则运算规则的熟练运用能力，需要灵活组合数字和运算符号，多尝试不同的运算组合即可找到符合要求的答案。
【难度系数】
0.7
