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9.(2025·上海)已知我国通过科技,研究出了一种超皮秒工具,进行一次擦除仅仅需要400皮秒,已知1皮秒等于$1×10^{-12}$秒,那么这种工具1秒可以擦除________次(用科学记数法表示).
答案
9.$2.5×10^{9}$
解析
【分析】
要计算1秒可以擦除的次数，本质是求1秒中包含多少个单次擦除的时长，解题步骤如下：第一步先把单次擦除的400皮秒换算为以秒为单位的量；第二步用总时长1秒除以单次擦除时长，得到擦除次数；第三步将计算结果整理为符合规范的科学记数法形式即可。
【解析】
解：首先换算单次擦除的用时：
∵1皮秒=$1×10^{-12}$秒
∴400皮秒=$400×1×10^{-12}$秒=$4×10^{2}×10^{-12}$秒=$4×10^{-10}$秒
再计算1秒的擦除次数：
擦除次数=总时长÷单次用时=$1÷(4×10^{-10})$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{10^{-10}}$
=$0.25×10^{10}$
=$2.5×10^{9}$（次）
【答案】
$2.5×10^{9}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的运算；单位换算
【点评】
本题结合科技前沿场景考查基础运算应用，解题核心是明确次数的计算逻辑，需注意科学记数法中a的取值范围为1≤|a|＜10，容易出错的地方是单位换算时指数的计算以及最终科学记数法的规范书写。
【难度系数】
0.7
要计算1秒可以擦除的次数，本质是求1秒中包含多少个单次擦除的时长，解题步骤如下：第一步先把单次擦除的400皮秒换算为以秒为单位的量；第二步用总时长1秒除以单次擦除时长，得到擦除次数；第三步将计算结果整理为符合规范的科学记数法形式即可。
【解析】
解：首先换算单次擦除的用时：
∵1皮秒=$1×10^{-12}$秒
∴400皮秒=$400×1×10^{-12}$秒=$4×10^{2}×10^{-12}$秒=$4×10^{-10}$秒
再计算1秒的擦除次数：
擦除次数=总时长÷单次用时=$1÷(4×10^{-10})$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{10^{-10}}$
=$0.25×10^{10}$
=$2.5×10^{9}$（次）
【答案】
$2.5×10^{9}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的运算；单位换算
【点评】
本题结合科技前沿场景考查基础运算应用，解题核心是明确次数的计算逻辑，需注意科学记数法中a的取值范围为1≤|a|＜10，容易出错的地方是单位换算时指数的计算以及最终科学记数法的规范书写。
【难度系数】
0.7
10.(1)在标准大气压下，$1\ \mathrm{cm}^3$干净清洁的空气中大约有$2.5× 10^{19}$个分子，则$6× 10^{3}\ \mathrm{cm}^3$干净清洁的空气中大约有________个分子；(用科学记数法表示)
(2)掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量$E$与震级$n$的关系为$E=k× 10^{1.5n}$(其中$k$为大于$0$的常数)，那么震级为$8$级的地震所释放的能量是震级为$6$级的地震所释放能量的________倍.
(2)掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量$E$与震级$n$的关系为$E=k× 10^{1.5n}$(其中$k$为大于$0$的常数)，那么震级为$8$级的地震所释放的能量是震级为$6$级的地震所释放能量的________倍.
答案
10.(1)$1.5×10^{23}$ (2)1000
解析
【分析】
(1) 要求指定体积空气中的分子总数，根据“总分子数=单位体积分子数×体积”列式计算即可，计算时结合同底数幂的乘法法则运算，最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式（a满足1≤a＜10）。
(2) 求不同震级释放能量的倍数，只需用8级地震的能量除以6级地震的能量即可。先分别将n=8和n=6代入能量公式得到对应的能量表达式，再结合同底数幂的除法法则计算，常数k可直接约去。
【解析】
(1) 由题意得，总分子数为：
$\begin{aligned}&(2.5×10^{19})×(6×10^3)\\=&(2.5×6)×(10^{19}×10^3)\\=&15×10^{22}\\=&1.5×10^{23}\end{aligned}$
(2) 震级为8级的地震释放能量：$E_8=k×10^{1.5×8}=k×10^{12}$
震级为6级的地震释放能量：$E_6=k×10^{1.5×6}=k×10^{9}$
则倍数为：
$\frac{E_8}{E_6}=\frac{k×10^{12}}{k×10^{9}}=10^{12-9}=10^3=1000$
【答案】
(1) $1.5×10^{23}$；(2) $1000$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题结合生活、科普实际场景考查有理数乘方的相关运算，解题的关键是正确理解题意列出算式，熟练掌握同底数幂的运算法则和科学记数法的书写规范，避免运算时指数计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 要求指定体积空气中的分子总数，根据“总分子数=单位体积分子数×体积”列式计算即可，计算时结合同底数幂的乘法法则运算，最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式（a满足1≤a＜10）。
(2) 求不同震级释放能量的倍数，只需用8级地震的能量除以6级地震的能量即可。先分别将n=8和n=6代入能量公式得到对应的能量表达式，再结合同底数幂的除法法则计算，常数k可直接约去。
【解析】
(1) 由题意得，总分子数为：
$\begin{aligned}&(2.5×10^{19})×(6×10^3)\\=&(2.5×6)×(10^{19}×10^3)\\=&15×10^{22}\\=&1.5×10^{23}\end{aligned}$
(2) 震级为8级的地震释放能量：$E_8=k×10^{1.5×8}=k×10^{12}$
震级为6级的地震释放能量：$E_6=k×10^{1.5×6}=k×10^{9}$
则倍数为：
$\frac{E_8}{E_6}=\frac{k×10^{12}}{k×10^{9}}=10^{12-9}=10^3=1000$
【答案】
(1) $1.5×10^{23}$；(2) $1000$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题结合生活、科普实际场景考查有理数乘方的相关运算，解题的关键是正确理解题意列出算式，熟练掌握同底数幂的运算法则和科学记数法的书写规范，避免运算时指数计算错误。
【难度系数】
0.8
11. 写出下列用科学记数法表示的数的原数：
(1)$4.1×10^{5}$；
(2)$2.5×10^{13}$；
(3)$-1.707×10^{7}$；
(4)$-9.75×10^{11}$.
(1)$4.1×10^{5}$；
(2)$2.5×10^{13}$；
(3)$-1.707×10^{7}$；
(4)$-9.75×10^{11}$.
答案
11.解:(1)$4.1×10^{5}=410000$.
(2)$2.5×10^{13}=25000000000000$.
(3)$-1.707×10^{7}=-17070000$.
(4)$-9.75×10^{11}=-975000000000$.
(2)$2.5×10^{13}=25000000000000$.
(3)$-1.707×10^{7}=-17070000$.
(4)$-9.75×10^{11}=-975000000000$.
解析
【分析】
要将科学记数法表示的数$a×10^n$（其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数）还原为原数，核心思路是：根据$10^n$表示n个10相乘，乘以$10^n$等价于把$a$的小数点向右移动n位，移动过程中数位不够的位置用0补齐，原数的正负号保持不变。解题时先确定每个式子的指数n，再对应移动小数点补0即可。
【解析】
(1) 对于$4.1×10^{5}$，指数为5，将4.1的小数点向右移动5位，不足的数位补0，可得：$4.1×10^{5}=410000$；
(2) 对于$2.5×10^{13}$，指数为13，将2.5的小数点向右移动13位，不足的数位补0，可得：$2.5×10^{13}=25000000000000$；
(3) 对于$-1.707×10^{7}$，指数为7，保持负号不变，将1.707的小数点向右移动7位，不足的数位补0，可得：$-1.707×10^{7}=-17070000$；
(4) 对于$-9.75×10^{11}$，指数为11，保持负号不变，将9.75的小数点向右移动11位，不足的数位补0，可得：$-9.75×10^{11}=-975000000000$。
【答案】
(1)$410000$；(2)$25000000000000$；(3)$-17070000$；(4)$-975000000000$
【知识点】
1. 科学记数法还原；2. 小数点移动规律；3. 有理数符号规则
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，重点考察对科学记数法本质的理解，解题时需注意两点：一是小数点向右移动的位数与10的指数相等，二是不要遗漏原数的正负号，补0时要仔细核对位数避免多写或漏写0。
【难度系数】
0.85
要将科学记数法表示的数$a×10^n$（其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数）还原为原数，核心思路是：根据$10^n$表示n个10相乘，乘以$10^n$等价于把$a$的小数点向右移动n位，移动过程中数位不够的位置用0补齐，原数的正负号保持不变。解题时先确定每个式子的指数n，再对应移动小数点补0即可。
【解析】
(1) 对于$4.1×10^{5}$，指数为5，将4.1的小数点向右移动5位，不足的数位补0，可得：$4.1×10^{5}=410000$；
(2) 对于$2.5×10^{13}$，指数为13，将2.5的小数点向右移动13位，不足的数位补0，可得：$2.5×10^{13}=25000000000000$；
(3) 对于$-1.707×10^{7}$，指数为7，保持负号不变，将1.707的小数点向右移动7位，不足的数位补0，可得：$-1.707×10^{7}=-17070000$；
(4) 对于$-9.75×10^{11}$，指数为11，保持负号不变，将9.75的小数点向右移动11位，不足的数位补0，可得：$-9.75×10^{11}=-975000000000$。
【答案】
(1)$410000$；(2)$25000000000000$；(3)$-17070000$；(4)$-975000000000$
【知识点】
1. 科学记数法还原；2. 小数点移动规律；3. 有理数符号规则
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，重点考察对科学记数法本质的理解，解题时需注意两点：一是小数点向右移动的位数与10的指数相等，二是不要遗漏原数的正负号，补0时要仔细核对位数避免多写或漏写0。
【难度系数】
0.85
12. 将下列各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：$9.99×10^{9},1.01×10^{10},9.9×10^{9},1.1×10^{10}.$
答案
12.解:因为$1.01×10^{10}=10.1×10^{9}$,$1.1×10^{10}=11×10^{9}$,$9.9×10^{9}＜9.99×10^{9}＜10.1×10^{9}＜11×10^{9}$,
所以$9.9×10^{9}＜9.99×10^{9}＜1.01×10^{10}＜1.1×10^{10}$.
所以$9.9×10^{9}＜9.99×10^{9}＜1.01×10^{10}＜1.1×10^{10}$.
解析
【分析】
要比较用科学记数法表示的数的大小，当各数的10的指数不一致时，可先将所有数的指数统一为相同值，此时仅需比较前面的系数大小，系数越大对应的数就越大。本题中有指数为9和10的两类数，可先把指数为10的数转化为指数为9的形式，再比较系数大小排序即可。
【解析】
解：先将所有数统一为以$10^9$为指数的形式：
$1.01×10^{10}=1.01×10×10^9=10.1×10^9$，
$1.1×10^{10}=1.1×10×10^9=11×10^9$，
因为系数大小满足：$9.9＜9.99＜10.1＜11$，
所以对应的数的大小关系为：$9.9×10^{9}＜9.99×10^{9}＜10.1×10^{9}＜11×10^{9}$，
将转化后的数还原为原科学记数法形式，即可得到最终排序。
【答案】
$9.9×10^{9}＜9.99×10^{9}＜1.01×10^{10}＜1.1×10^{10}$
【知识点】
科学记数法；有理数大小比较
【点评】
本题是科学记数法相关的基础常考题，解题核心是通过统一指数将复杂的大小比较转化为简单的小数大小比较，熟练掌握指数的转化技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较用科学记数法表示的数的大小，当各数的10的指数不一致时，可先将所有数的指数统一为相同值，此时仅需比较前面的系数大小，系数越大对应的数就越大。本题中有指数为9和10的两类数，可先把指数为10的数转化为指数为9的形式，再比较系数大小排序即可。
【解析】
解：先将所有数统一为以$10^9$为指数的形式：
$1.01×10^{10}=1.01×10×10^9=10.1×10^9$，
$1.1×10^{10}=1.1×10×10^9=11×10^9$，
因为系数大小满足：$9.9＜9.99＜10.1＜11$，
所以对应的数的大小关系为：$9.9×10^{9}＜9.99×10^{9}＜10.1×10^{9}＜11×10^{9}$，
将转化后的数还原为原科学记数法形式，即可得到最终排序。
【答案】
$9.9×10^{9}＜9.99×10^{9}＜1.01×10^{10}＜1.1×10^{10}$
【知识点】
科学记数法；有理数大小比较
【点评】
本题是科学记数法相关的基础常考题，解题核心是通过统一指数将复杂的大小比较转化为简单的小数大小比较，熟练掌握指数的转化技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 已知 $10×10^{2}=1000=10^{3},10^{2}×10^{2}=10000=10^{4},10^{2}×10^{3}=100000=10^{5}$.
（1）猜想：$10^{6}×10^{4}=$ ______，$10^{m}×10^{n}=$ ______（$m,n$ 均为正整数）.
（2）运用上述猜想计算下列式子：
①$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5})$；
②$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6})$.
（1）猜想：$10^{6}×10^{4}=$ ______，$10^{m}×10^{n}=$ ______（$m,n$ 均为正整数）.
（2）运用上述猜想计算下列式子：
①$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5})$；
②$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6})$.
答案
13.(1)$10^{10}$ $10^{m+n}$
(2)解:①原式=$(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})=1.8×10^{9}$.
②原式=$(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})=-12.8×10^{9}=-1.28×10^{10}$.
(2)解:①原式=$(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})=1.8×10^{9}$.
②原式=$(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})=-12.8×10^{9}=-1.28×10^{10}$.
解析
【分析】
（1）先观察题干给出的运算示例，可发现规律：底数为10的两个幂相乘，结果仍为底数为10的幂，且结果的指数等于左侧两个幂的指数之和，按照该规律即可完成猜想；
（2）计算含科学记数法的乘法时，利用乘法交换律和结合律，将数字系数、同底数幂分别分组计算：数字系数按有理数乘法规则计算，同底数幂用第（1）问得到的规律计算，最后要把结果调整为规范的科学记数法形式，即满足$1≤|a|＜10$的要求。
【解析】
（1）根据已知式子总结的规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
可得$10^{6}×10^{4}=10^{6+4}=10^{10}$，$10^{m}×10^{n}=10^{m+n}$；
（2）①利用运算律拆分计算：
原式$=(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})$
计算系数乘积：$1.5×1.2=1.8$，计算同底数幂乘积：$10^{4}×10^{5}=10^{4+5}=10^{9}$，
因此结果为$1.8×10^{9}$；
②同理拆分计算：
原式$=(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})$
计算系数乘积：$-6.4×2=-12.8$，计算同底数幂乘积：$10^{3}×10^{6}=10^{3+6}=10^{9}$，
调整为规范科学记数法：$-12.8×10^{9}=-1.28×10^{10}$。
【答案】
(1)$10^{10}$；$10^{m+n}$
(2)①$1.8×10^{9}$；②$-1.28×10^{10}$
【知识点】
同底数幂乘法，科学记数法运算，有理数乘法
【点评】
本题先通过归纳推理得到同底数幂的乘法规律，再运用规律解决科学记数法的乘法计算，解题时要注意合理运用运算律分组计算，同时最终结果需符合科学记数法的书写规范。
【难度系数】
0.8
（1）先观察题干给出的运算示例，可发现规律：底数为10的两个幂相乘，结果仍为底数为10的幂，且结果的指数等于左侧两个幂的指数之和，按照该规律即可完成猜想；
（2）计算含科学记数法的乘法时，利用乘法交换律和结合律，将数字系数、同底数幂分别分组计算：数字系数按有理数乘法规则计算，同底数幂用第（1）问得到的规律计算，最后要把结果调整为规范的科学记数法形式，即满足$1≤|a|＜10$的要求。
【解析】
（1）根据已知式子总结的规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
可得$10^{6}×10^{4}=10^{6+4}=10^{10}$，$10^{m}×10^{n}=10^{m+n}$；
（2）①利用运算律拆分计算：
原式$=(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})$
计算系数乘积：$1.5×1.2=1.8$，计算同底数幂乘积：$10^{4}×10^{5}=10^{4+5}=10^{9}$，
因此结果为$1.8×10^{9}$；
②同理拆分计算：
原式$=(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})$
计算系数乘积：$-6.4×2=-12.8$，计算同底数幂乘积：$10^{3}×10^{6}=10^{3+6}=10^{9}$，
调整为规范科学记数法：$-12.8×10^{9}=-1.28×10^{10}$。
【答案】
(1)$10^{10}$；$10^{m+n}$
(2)①$1.8×10^{9}$；②$-1.28×10^{10}$
【知识点】
同底数幂乘法，科学记数法运算，有理数乘法
【点评】
本题先通过归纳推理得到同底数幂的乘法规律，再运用规律解决科学记数法的乘法计算，解题时要注意合理运用运算律分组计算，同时最终结果需符合科学记数法的书写规范。
【难度系数】
0.8
14. 光年是天文学中使用的距离单位，主要用于度量太阳系外天体的距离(1 光年≈$9.46×10^{12}$千米).目前人类所观测的宇宙深度已达到 150 亿光年.纳米是表示微小距离的单位，1 纳米相当于 1 毫米的一百万分之一，换句话说，1 米=$10^{9}$纳米.纳米材料科学已在 20 世纪 80 年代末诞生并正在崛起，成为跨世纪的科技热点之一.
请回答下列问题:(用科学记数法表示)
(1)你知道 1 千米是多少纳米吗？
(2)你知道 1 光年约是多少纳米吗？
(3)目前人类所观测到的宇宙深度已达到多少米？
请回答下列问题:(用科学记数法表示)
(1)你知道 1 千米是多少纳米吗？
(2)你知道 1 光年约是多少纳米吗？
(3)目前人类所观测到的宇宙深度已达到多少米？
答案
14.(1)$10^{12}$纳米 (2)$9.46×10^{24}$纳米 (3)$1.419×10^{26}$米
解析
【分析】
解决本题的核心是理清各单位间的换算关系，结合同底数幂的乘法规则逐步换算即可。解题思路如下：
1. 求解1千米等于多少纳米：先把千米换算为米，再结合题目给出的米和纳米的换算关系，用同底数幂相乘的规则计算；
2. 求解1光年约是多少纳米：用1光年对应的千米数乘第一问得到的1千米对应的纳米数，按同底数幂运算规则化简；
3. 求解人类观测的宇宙深度对应多少米：先将150亿改写为科学记数法形式，再把1光年换算为以米为单位的量，两者相乘后调整为规范的科学记数法形式即可。
【解析】
(1) 已知1千米=$10^3$米，1米=$10^9$纳米，
则1千米=$10^3×10^9=10^{3+9}=10^{12}$纳米。
(2) 已知1光年≈$9.46×10^{12}$千米，结合(1)的结论1千米=$10^{12}$纳米，
则1光年≈$9.46×10^{12}×10^{12}=9.46×10^{12+12}=9.46×10^{24}$纳米。
(3) 先将150亿改写为科学记数法：150亿=$15000000000=1.5×10^{10}$，
再换算1光年对应的米数：1光年≈$9.46×10^{12}$千米=$9.46×10^{12}×10^3$米=$9.46×10^{15}$米，
则宇宙深度约为：$1.5×10^{10}×9.46×10^{15}=(1.5×9.46)×10^{10+15}=14.19×10^{25}=1.419×10^{26}$米。
【答案】
(1)$10^{12}$纳米；(2)$9.46×10^{24}$纳米；(3)$1.419×10^{26}$米
【知识点】
科学记数法，单位换算，同底数幂的乘法
【点评】
本题结合天文、纳米材料等热门科技背景出题，既考察了科学记数法的规范使用和幂的运算能力，又能拓展学生的科学常识，引导学生关注科技发展。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是理清各单位间的换算关系，结合同底数幂的乘法规则逐步换算即可。解题思路如下：
1. 求解1千米等于多少纳米：先把千米换算为米，再结合题目给出的米和纳米的换算关系，用同底数幂相乘的规则计算；
2. 求解1光年约是多少纳米：用1光年对应的千米数乘第一问得到的1千米对应的纳米数，按同底数幂运算规则化简；
3. 求解人类观测的宇宙深度对应多少米：先将150亿改写为科学记数法形式，再把1光年换算为以米为单位的量，两者相乘后调整为规范的科学记数法形式即可。
【解析】
(1) 已知1千米=$10^3$米，1米=$10^9$纳米，
则1千米=$10^3×10^9=10^{3+9}=10^{12}$纳米。
(2) 已知1光年≈$9.46×10^{12}$千米，结合(1)的结论1千米=$10^{12}$纳米，
则1光年≈$9.46×10^{12}×10^{12}=9.46×10^{12+12}=9.46×10^{24}$纳米。
(3) 先将150亿改写为科学记数法：150亿=$15000000000=1.5×10^{10}$，
再换算1光年对应的米数：1光年≈$9.46×10^{12}$千米=$9.46×10^{12}×10^3$米=$9.46×10^{15}$米，
则宇宙深度约为：$1.5×10^{10}×9.46×10^{15}=(1.5×9.46)×10^{10+15}=14.19×10^{25}=1.419×10^{26}$米。
【答案】
(1)$10^{12}$纳米；(2)$9.46×10^{24}$纳米；(3)$1.419×10^{26}$米
【知识点】
科学记数法，单位换算，同底数幂的乘法
【点评】
本题结合天文、纳米材料等热门科技背景出题，既考察了科学记数法的规范使用和幂的运算能力，又能拓展学生的科学常识，引导学生关注科技发展。
【难度系数】
0.7
