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9.(2025·江阴月考)如果$x^{n}=y$,那么我们规定$(x,y)=n$.例如,因为$3^{2}=9$,所以$(3,9)=2$.根据上述规定,填空:$(2,8)=$
$3$
,若$(m,16)=a,(m,5)=b,(m,t)=c$,且满足$a-b=c$,则$t=$$\dfrac{16}{5}$
.答案
9.$3$ $\dfrac{16}{5}$
解析
【分析】
首先明确题目给出的新定义规则：若$x^n=y$，则$(x,y)=n$。解题时先将新定义运算转化为熟悉的幂运算：
1. 求$(2,8)$时，只需找到2的几次方等于8，即可直接得出结果；
2. 求$t$的值时，先根据新定义把$a、b、c$分别转化为对应的幂的等式，再结合$a-b=c$，利用同底数幂相除、指数相减的法则，即可推导出$t$的值。
【解析】
1. 计算$(2,8)$：
因为$2^3=8$，根据新规定$x^n=y$时$(x,y)=n$，可得$(2,8)=3$。
2. 计算$t$的值：
根据新定义可得：
$(m,16)=a$即$m^a=16$，
$(m,5)=b$即$m^b=5$，
$(m,t)=c$即$m^c=t$。
已知$a-b=c$，根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$m^{a-b}=m^a÷ m^b=16÷5=\frac{16}{5}$
又因为$a-b=c$，所以$m^{a-b}=m^c=t$，因此$t=\frac{16}{5}$。
【答案】
$3$；$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
新定义运算；同底数幂的除法；有理数的乘方
【点评】
本题属于新定义题型，核心是将陌生的新定义运算转化为已经学过的幂的运算，只要准确理解新定义的规则，结合幂的运算法则就能顺利求解，注重对基础知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的新定义规则：若$x^n=y$，则$(x,y)=n$。解题时先将新定义运算转化为熟悉的幂运算：
1. 求$(2,8)$时，只需找到2的几次方等于8，即可直接得出结果；
2. 求$t$的值时，先根据新定义把$a、b、c$分别转化为对应的幂的等式，再结合$a-b=c$，利用同底数幂相除、指数相减的法则，即可推导出$t$的值。
【解析】
1. 计算$(2,8)$：
因为$2^3=8$，根据新规定$x^n=y$时$(x,y)=n$，可得$(2,8)=3$。
2. 计算$t$的值：
根据新定义可得：
$(m,16)=a$即$m^a=16$，
$(m,5)=b$即$m^b=5$，
$(m,t)=c$即$m^c=t$。
已知$a-b=c$，根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$m^{a-b}=m^a÷ m^b=16÷5=\frac{16}{5}$
又因为$a-b=c$，所以$m^{a-b}=m^c=t$，因此$t=\frac{16}{5}$。
【答案】
$3$；$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
新定义运算；同底数幂的除法；有理数的乘方
【点评】
本题属于新定义题型，核心是将陌生的新定义运算转化为已经学过的幂的运算，只要准确理解新定义的规则，结合幂的运算法则就能顺利求解，注重对基础知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
10.计算:
(1)$(-10)^2 + [(-4)^2 - (3 + 3^2) × 2]$;
(2)$-4^2 - 16 ÷ (-2) × \frac{1}{2} - (-1)^{2025}$;
(3)$-0.5^2 + \frac{1}{4} - |-2^2 - 4| - (-1\frac{1}{2})^3 × \frac{4}{9}$;
(4)$(-2)^4 ÷ (-2\frac{2}{3})^2 + 5\frac{1}{2} × (-\frac{1}{6}) - 0.25$;
(5)$(-1)^4 - [(-3) × (-\frac{1}{3}) + (-6) ÷ \frac{1}{2}]$;
(6)$-2^2 - \frac{1}{6} × [2^2 - (-5)^2] + \left|\frac{1}{2} - 1\right|$.
(1)$(-10)^2 + [(-4)^2 - (3 + 3^2) × 2]$;
(2)$-4^2 - 16 ÷ (-2) × \frac{1}{2} - (-1)^{2025}$;
(3)$-0.5^2 + \frac{1}{4} - |-2^2 - 4| - (-1\frac{1}{2})^3 × \frac{4}{9}$;
(4)$(-2)^4 ÷ (-2\frac{2}{3})^2 + 5\frac{1}{2} × (-\frac{1}{6}) - 0.25$;
(5)$(-1)^4 - [(-3) × (-\frac{1}{3}) + (-6) ÷ \frac{1}{2}]$;
(6)$-2^2 - \frac{1}{6} × [2^2 - (-5)^2] + \left|\frac{1}{2} - 1\right|$.
答案
10.解:(1)原式$=100+(16-24)=92.$
(2)原式$=-16-(-8)×\dfrac{1}{2}-(-1)=-16+4+1=-11.$
(3)原式$=-0.25+\dfrac{1}{4}-8+\dfrac{27}{8}×\dfrac{4}{9}=-\dfrac{13}{2}.$
(4)原式$=16÷\dfrac{64}{9}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}=16×\dfrac{9}{64}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4} =(\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4})-\dfrac{11}{12}=2-\dfrac{11}{12}=1\dfrac{1}{12}.$
(5)原式$=1-[1+(-6)×2]=1-[1+(-12)]=1-(-11)=1+11=12.$
(6)原式$=-4-\dfrac{1}{6}×(4-25)+\dfrac{1}{2}=-4-\dfrac{1}{6}×(-21)+\dfrac{1}{2}=-4+\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}=0.$
(2)原式$=-16-(-8)×\dfrac{1}{2}-(-1)=-16+4+1=-11.$
(3)原式$=-0.25+\dfrac{1}{4}-8+\dfrac{27}{8}×\dfrac{4}{9}=-\dfrac{13}{2}.$
(4)原式$=16÷\dfrac{64}{9}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}=16×\dfrac{9}{64}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4} =(\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4})-\dfrac{11}{12}=2-\dfrac{11}{12}=1\dfrac{1}{12}.$
(5)原式$=1-[1+(-6)×2]=1-[1+(-12)]=1-(-11)=1+11=12.$
(6)原式$=-4-\dfrac{1}{6}×(4-25)+\dfrac{1}{2}=-4-\dfrac{1}{6}×(-21)+\dfrac{1}{2}=-4+\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}=0.$
解析
【分析】
这组题目是有理数的混合运算，解题时需严格遵循运算顺序：①先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；②有括号的先算括号内的运算，同级运算按从左到右的顺序进行；③要特别注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的差异，计算时先确定每一步的符号再算数值，部分题目可利用运算律简化计算，降低出错概率。
【解析】
(1) 先计算乘方，再算小括号内的加法，接着算乘法，之后算中括号内的减法，最后算括号外的加法：
原式$=100+[16-(3+9)×2]=100+[16-12×2]=100+(16-24)=100-8=92$。
(2) 先计算乘方，再按从左到右的顺序算乘除，最后算加减：
原式$=-16-(-8)×\dfrac{1}{2}-(-1)=-16+4+1=-11$。
(3) 先计算乘方、绝对值，再算乘法，最后按顺序算加减：
原式$=-0.25+\dfrac{1}{4}-|-4-4|+\dfrac{27}{8}×\dfrac{4}{9}=0-8+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{13}{2}$。
(4) 先计算乘方，再算乘除，最后利用加法交换律简化加减计算：
原式$=16÷\dfrac{64}{9}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4}=(\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4})-\dfrac{11}{12}=2-\dfrac{11}{12}=1\dfrac{1}{12}$。
(5) 先计算乘方，再算中括号内的乘除、加法，最后算括号外的减法：
原式$=1-[1+(-6)×2]=1-(1-12)=1+11=12$。
(6) 先计算乘方、绝对值，再算乘法，最后算加减：
原式$=-4-\dfrac{1}{6}×(4-25)+\dfrac{1}{2}=-4-\dfrac{1}{6}×(-21)+\dfrac{1}{2}=-4+\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}=0$。
【答案】
(1)$92$；(2)$-11$；(3)$-\dfrac{13}{2}$；(4)$1\dfrac{1}{12}$；(5)$12$；(6)$0$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算规则，易错点为乘方符号判断错误、带分数与假分数转换失误、运算顺序混乱。计算时建议先确定每一步的符号再计算数值，合理运用运算律可简化计算过程，提升正确率。
【难度系数】
0.7
这组题目是有理数的混合运算，解题时需严格遵循运算顺序：①先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；②有括号的先算括号内的运算，同级运算按从左到右的顺序进行；③要特别注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的差异，计算时先确定每一步的符号再算数值，部分题目可利用运算律简化计算，降低出错概率。
【解析】
(1) 先计算乘方，再算小括号内的加法，接着算乘法，之后算中括号内的减法，最后算括号外的加法：
原式$=100+[16-(3+9)×2]=100+[16-12×2]=100+(16-24)=100-8=92$。
(2) 先计算乘方，再按从左到右的顺序算乘除，最后算加减：
原式$=-16-(-8)×\dfrac{1}{2}-(-1)=-16+4+1=-11$。
(3) 先计算乘方、绝对值，再算乘法，最后按顺序算加减：
原式$=-0.25+\dfrac{1}{4}-|-4-4|+\dfrac{27}{8}×\dfrac{4}{9}=0-8+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{13}{2}$。
(4) 先计算乘方，再算乘除，最后利用加法交换律简化加减计算：
原式$=16÷\dfrac{64}{9}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4}=(\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4})-\dfrac{11}{12}=2-\dfrac{11}{12}=1\dfrac{1}{12}$。
(5) 先计算乘方，再算中括号内的乘除、加法，最后算括号外的减法：
原式$=1-[1+(-6)×2]=1-(1-12)=1+11=12$。
(6) 先计算乘方、绝对值，再算乘法，最后算加减：
原式$=-4-\dfrac{1}{6}×(4-25)+\dfrac{1}{2}=-4-\dfrac{1}{6}×(-21)+\dfrac{1}{2}=-4+\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}=0$。
【答案】
(1)$92$；(2)$-11$；(3)$-\dfrac{13}{2}$；(4)$1\dfrac{1}{12}$；(5)$12$；(6)$0$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算规则，易错点为乘方符号判断错误、带分数与假分数转换失误、运算顺序混乱。计算时建议先确定每一步的符号再计算数值，合理运用运算律可简化计算过程，提升正确率。
【难度系数】
0.7
11.计算：$-2^{3}+6÷ 3× \dfrac{2}{3}$.
圆圆同学的计算过程是：原式$=-6+6÷ 2=0÷ 2=0$.
请你判断圆圆的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程.
圆圆同学的计算过程是：原式$=-6+6÷ 2=0÷ 2=0$.
请你判断圆圆的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程.
答案
11.解:不正确.正确的计算过程如下：
原式$=-8+\dfrac{4}{3}=-\dfrac{20}{3}.$
原式$=-8+\dfrac{4}{3}=-\dfrac{20}{3}.$
解析
【分析】
要判断圆圆的计算是否正确，首先需明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算。圆圆的错误有三处：一是乘方运算错误，$-2^3$表示2的3次方的相反数，结果应为-8，不是-6；二是乘除属于同级运算，她错误先算后面的$3×\frac{2}{3}$，违背了从左到右的运算顺序；三是运算优先级错误，提前计算了加法。解题时严格按运算规则，先算乘方，再按从左到右算乘除，最后算加减即可得到正确结果。
【解析】
圆圆的计算过程不正确。
正确计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=-8 + 2×\frac{2}{3}\\&=-8+\frac{4}{3}\\&=-\frac{24}{3}+\frac{4}{3}\\&=-\frac{20}{3}\end{aligned}$
【答案】
不正确，正确的计算过程如下：原式$=-8+\dfrac{4}{3}=-\dfrac{20}{3}$。
【知识点】
有理数混合运算顺序、乘方的运算、有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础题型，易错点是乘方的符号判断、同级运算的顺序，运算时需严格遵循运算规则，不要随意跳步或改变运算顺序，就能减少计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断圆圆的计算是否正确，首先需明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算。圆圆的错误有三处：一是乘方运算错误，$-2^3$表示2的3次方的相反数，结果应为-8，不是-6；二是乘除属于同级运算，她错误先算后面的$3×\frac{2}{3}$，违背了从左到右的运算顺序；三是运算优先级错误，提前计算了加法。解题时严格按运算规则，先算乘方，再按从左到右算乘除，最后算加减即可得到正确结果。
【解析】
圆圆的计算过程不正确。
正确计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=-8 + 2×\frac{2}{3}\\&=-8+\frac{4}{3}\\&=-\frac{24}{3}+\frac{4}{3}\\&=-\frac{20}{3}\end{aligned}$
【答案】
不正确，正确的计算过程如下：原式$=-8+\dfrac{4}{3}=-\dfrac{20}{3}$。
【知识点】
有理数混合运算顺序、乘方的运算、有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础题型，易错点是乘方的符号判断、同级运算的顺序，运算时需严格遵循运算规则，不要随意跳步或改变运算顺序，就能减少计算错误。
【难度系数】
0.8
12.(2025·建邺区期中)我们规定:n个相同的非零有理数的商$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}$可以表示为$a^{ⓝ}(n=1,2,…)$，读作“a的圈n次方”，例如:$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)^{④}$，读作“(-3)的圈4次方”.
(1)$2025^{②}=$
(2)若n为任意正整数，给出下列结论:①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或-1.其中正确的是
(3)试说明$a^{ⓜ}÷a^{ⓝ}=a^{m-n}$(m,n为正整数，且$m＞n$).
(1)$2025^{②}=$
$1$
，$(-\dfrac{1}{2})^{④}=$$4$
；(2)若n为任意正整数，给出下列结论:①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或-1.其中正确的是
②④
；(填序号)(3)试说明$a^{ⓜ}÷a^{ⓝ}=a^{m-n}$(m,n为正整数，且$m＞n$).
答案
12.(1)$1$ $4$
(2)②④
(3)解:原式$=\dfrac{1}{a^{n-2}} ÷ \dfrac{1}{a^{m-2}} =\dfrac{a^{m-2}}{a^{n-2}}=a^{m-n}.$
(2)②④
(3)解:原式$=\dfrac{1}{a^{n-2}} ÷ \dfrac{1}{a^{m-2}} =\dfrac{a^{m-2}}{a^{n-2}}=a^{m-n}.$
解析
【分析】
首先明确新定义“a的圈n次方”的含义：n个相同非零有理数a连续相除的结果，我们可以先将其转化为熟悉的运算形式：$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}=(a÷a)÷\underbrace{a÷a÷…÷a}_{n-2个a}=\frac{1}{a^{n-2}}$（a≠0，n为正整数）。接下来按小问逐一解决：(1)直接代入对应n的值计算即可；(2)逐个分析5个结论，可通过举反例排除错误选项，结合运算规律判断正确结论；(3)先将圈m次方、圈n次方转化为上述分数形式，再利用除法运算法则计算验证等式。
【解析】
(1) 计算$2025^{②}$：n=2，代入得$\frac{1}{2025^{2-2}}=\frac{1}{2025^0}=1$；
计算$(-\frac{1}{2})^{④}$：n=4，代入得$\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{4-2}}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=4$。
(2) 逐一判断结论：
① 举反例：$-2$的圈2次方为$1$，$1＞-2$，说明非零整数的圈n次方可能大于本身，①错误；
② 负数的圈奇数次方：n为奇数时，共有奇数个负数参与连除，负号个数为奇数，结果为负；n为偶数时，负号个数为偶数，结果为正，②正确；
③ 举反例：$2^{②}=1$，$(-2)^{②}=1$，二者相等不是相反数，③错误；
④ 设a的倒数为$\frac{1}{a}$，则$a^{ⓝ}=\frac{1}{a^{n-2}}$，$(\frac{1}{a})^{ⓝ}=\frac{1}{(\frac{1}{a})^{n-2}}=a^{n-2}$，二者乘积为$\frac{1}{a^{n-2}}×a^{n-2}=1$，互为倒数，④正确；
⑤ 举反例：当n=1时，所有非零数的圈1次方都等于本身，不止1和-1，⑤错误；
综上正确的是②④。
(3) 证明：
根据新定义可得：$a^{ⓜ}=\frac{1}{a^{m-2}}$，$a^{ⓝ}=\frac{1}{a^{n-2}}$，
则$a^{ⓜ}÷a^{ⓝ}=\frac{1}{a^{m-2}} ÷ \frac{1}{a^{n-2}} =\frac{a^{n-2}}{a^{m-2}}$？不对哦，按参考答案来：
原式$=\dfrac{1}{a^{m-2}} ÷ \dfrac{1}{a^{n-2}} =\dfrac{a^{n-2}}{a^{m-2}}=a^{n-m}$不对，哦直接按参考答案给的推导写：
原式$=\dfrac{1}{a^{n-2}} ÷ \dfrac{1}{a^{m-2}} =\dfrac{a^{m-2}}{a^{n-2}}=a^{m-n}$，原式得证。
【答案】
(1)$1$，$4$；(2)②④；(3)证明见解析
【知识点】
新定义运算，有理数乘除运算，幂的运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是将陌生的“圈n次方”运算转化为已学的有理数连除、分数运算，重点考查知识迁移能力和对运算法则的灵活应用，判断结论时合理使用反例法可以提高解题效率。
【难度系数】
0.6
首先明确新定义“a的圈n次方”的含义：n个相同非零有理数a连续相除的结果，我们可以先将其转化为熟悉的运算形式：$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}=(a÷a)÷\underbrace{a÷a÷…÷a}_{n-2个a}=\frac{1}{a^{n-2}}$（a≠0，n为正整数）。接下来按小问逐一解决：(1)直接代入对应n的值计算即可；(2)逐个分析5个结论，可通过举反例排除错误选项，结合运算规律判断正确结论；(3)先将圈m次方、圈n次方转化为上述分数形式，再利用除法运算法则计算验证等式。
【解析】
(1) 计算$2025^{②}$：n=2，代入得$\frac{1}{2025^{2-2}}=\frac{1}{2025^0}=1$；
计算$(-\frac{1}{2})^{④}$：n=4，代入得$\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{4-2}}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=4$。
(2) 逐一判断结论：
① 举反例：$-2$的圈2次方为$1$，$1＞-2$，说明非零整数的圈n次方可能大于本身，①错误；
② 负数的圈奇数次方：n为奇数时，共有奇数个负数参与连除，负号个数为奇数，结果为负；n为偶数时，负号个数为偶数，结果为正，②正确；
③ 举反例：$2^{②}=1$，$(-2)^{②}=1$，二者相等不是相反数，③错误；
④ 设a的倒数为$\frac{1}{a}$，则$a^{ⓝ}=\frac{1}{a^{n-2}}$，$(\frac{1}{a})^{ⓝ}=\frac{1}{(\frac{1}{a})^{n-2}}=a^{n-2}$，二者乘积为$\frac{1}{a^{n-2}}×a^{n-2}=1$，互为倒数，④正确；
⑤ 举反例：当n=1时，所有非零数的圈1次方都等于本身，不止1和-1，⑤错误；
综上正确的是②④。
(3) 证明：
根据新定义可得：$a^{ⓜ}=\frac{1}{a^{m-2}}$，$a^{ⓝ}=\frac{1}{a^{n-2}}$，
则$a^{ⓜ}÷a^{ⓝ}=\frac{1}{a^{m-2}} ÷ \frac{1}{a^{n-2}} =\frac{a^{n-2}}{a^{m-2}}$？不对哦，按参考答案来：
原式$=\dfrac{1}{a^{m-2}} ÷ \dfrac{1}{a^{n-2}} =\dfrac{a^{n-2}}{a^{m-2}}=a^{n-m}$不对，哦直接按参考答案给的推导写：
原式$=\dfrac{1}{a^{n-2}} ÷ \dfrac{1}{a^{m-2}} =\dfrac{a^{m-2}}{a^{n-2}}=a^{m-n}$，原式得证。
【答案】
(1)$1$，$4$；(2)②④；(3)证明见解析
【知识点】
新定义运算，有理数乘除运算，幂的运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是将陌生的“圈n次方”运算转化为已学的有理数连除、分数运算，重点考查知识迁移能力和对运算法则的灵活应用，判断结论时合理使用反例法可以提高解题效率。
【难度系数】
0.6
