1. 在△ABC中,AB = 20,AC = 13,高AD = 12,则△ABC的面积为。

126 或 66

情况一：高AD在△ABC内部
在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$
$BC=BD+CD=16+5=21$
面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×21×12=126$
情况二：高AD在△ABC外部
在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$
$BC=BD-CD=16-5=11$
面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×11×12=66$
126 或 66

2. 如图1-1-5①,分别以Rt△ABC三条边为边向外作正方形,其面积分别用$S_1,S_2,S_3$表示,则不难证明$S_1 = S_2 + S_3。$

【类比探究】
(1)如图1-1-5②,分别以Rt△ABC三条边为直径向外作半圆,其面积分别用$S_1,S_2,S_3$表示,请写出$S_1,S_2,S_3$之间满足的等量关系,并说明理由。
【探究应用】
(2)如图1-1-5③,分别以Rt△ABC三条边为斜边向外作等腰直角三角形,其面积分别用$S_1,S_2,S_3$表示,则$S_1,S_2,S_3$之间满足的等量关系是。
【拓展应用】
(3)如图1-1-5④,四边形ABCD的对角线互相垂直,现以四边形ABCD的四条边为边向外作正方形,其面积分别为$S_1,S_2,S_3,S_4。$请写出$S_1,S_2,S_3$和$S_4$之间满足的等量关系,并说明理由。

(1)解：S₁=S₂+S₃。理由：在 Rt△ABC 中，利用勾股定理得 AB²=AC²+BC²，所以$\frac{\pi}{8}AB²=\frac{\pi}{8}AC²+\frac{\pi}{8}BC²$，即 S₁=S₂+S₃。
(2)S₁=S₂+S₃
(3)解：S₁+S₃=S₂+S₄。理由：设 AC，BD 交于点 O。因为 AC⊥BD，所以 S₁+S₃=OA²+OB²+OD²+OC²，S₂+S₄=OB²+OC²+OA²+OD²，所以 S₁+S₃=S₂+S₄。