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1. 计算$\frac{m^{2}}{m - 1} - \frac{2m - 1}{m - 1}$的结果是 (
A.$m + 1$
B.$m - 1$
C.$m - 2$
D.$-m - 2$
B
)A.$m + 1$
B.$m - 1$
C.$m - 2$
D.$-m - 2$
答案
B 解析:$\frac{m^{2}}{m-1}-\frac{2m-1}{m-1}=\frac{m^{2}-2m+1}{m-1}=\frac{(m-1)^{2}}{m-1}=m-1.$
2. 若$\frac{x^{2} + 4}{x - 2} + \frac{4x}{2 - x}$的值为整数,则该整数值不可能是 (
A.$2$
B.$1$
C.$0$
D.$-2$
C
)A.$2$
B.$1$
C.$0$
D.$-2$
答案
C 解析:$\frac{x^{2}+4}{x-2}+\frac{4x}{2-x}=\frac{x^{2}+4}{x-2}-\frac{4x}{x-2}=\frac{x^{2}+4-4x}{x-2}=\frac{(x-2)^{2}}{x-2}=x-2$.因为$x≠2$，即$x-2≠0$,所以该整数值不可能是0.
3. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4$,则$\frac{a - 2ab - b}{2a - 2b + 7ab}$的值等于 (
A.$6$
B.$-6$
C.$\frac{2}{15}$
D.$-\frac{2}{7}$
A
)A.$6$
B.$-6$
C.$\frac{2}{15}$
D.$-\frac{2}{7}$
答案
A 解析:因为$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=4$,所以$\frac{b-a}{ab}=4$,所以$a-b=-4ab$,所以原式$=\frac{a-b-2ab}{2(a-b)+7ab}=\frac{-4ab-2ab}{2×(-4ab)+7ab}=\frac{-6ab}{-ab}=6.$
4. 若$x^{2} - 3xy - 4 = 0$,则$(6x - \frac{x^{2} + 9y^{2}}{y}) ÷ \frac{x - 3y}{xy}$的值为
-4
.答案
-4 解析:原式$=\frac{-(x^{2}-6xy+9y^{2})}{y}\cdot \frac{xy}{x-3y}=\frac{-(x-3y)^{2}}{y}\cdot \frac{xy}{x-3y}=-x^{2}+3xy$.因为$x^{2}-3xy-4=0$,所以$x^{2}-3xy=4$,所以原式$=-(x^{2}-3xy)=-4.$
解析
原式$=\left(6x - \frac{x^{2} + 9y^{2}}{y}\right) ÷ \frac{x - 3y}{xy}$
$=\frac{6xy - x^{2} - 9y^{2}}{y} \cdot \frac{xy}{x - 3y}$
$=\frac{-(x^{2} - 6xy + 9y^{2})}{y} \cdot \frac{xy}{x - 3y}$
$=\frac{-(x - 3y)^{2}}{y} \cdot \frac{xy}{x - 3y}$
$=-x(x - 3y)$
$=-x^{2} + 3xy$
因为$x^{2} - 3xy - 4 = 0$，所以$x^{2} - 3xy = 4$，则原式$=-(x^{2} - 3xy) = -4$
-4
$=\frac{6xy - x^{2} - 9y^{2}}{y} \cdot \frac{xy}{x - 3y}$
$=\frac{-(x^{2} - 6xy + 9y^{2})}{y} \cdot \frac{xy}{x - 3y}$
$=\frac{-(x - 3y)^{2}}{y} \cdot \frac{xy}{x - 3y}$
$=-x(x - 3y)$
$=-x^{2} + 3xy$
因为$x^{2} - 3xy - 4 = 0$，所以$x^{2} - 3xy = 4$，则原式$=-(x^{2} - 3xy) = -4$
-4
5. 先化简,再求值：$\frac{2x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2}$,其中$x = 3$.
答案
解:$\frac{2x}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x}{(x+2)(x-2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x-x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x+2}.$当$x=3$时,原式$=\frac{1}{5}.$
6. 甲、乙两工程队分别承包一条长为$2\mathrm{km}$的公路的维修工作,甲队每天有一半时间维修公路$x\mathrm{km}$,另一半时间维修公路$y\mathrm{km}$.乙队维修前$1\mathrm{km}$公路时,每天维修$x\mathrm{km}$；维修后$1\mathrm{km}$公路时,每天维修$y\mathrm{km}(x \neq y)$.
(1)求甲、乙两队完成任务分别需要的时间(用含$x$,$y$的式子表示)；
(2)甲、乙两队哪队先完成任务？
(1)求甲、乙两队完成任务分别需要的时间(用含$x$,$y$的式子表示)；
(2)甲、乙两队哪队先完成任务？
答案
解:
(1)甲队完成任务需要的时间为$2÷(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y)=\frac{4}{x+y}$(天),乙队完成任务需要的时间为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$(天),所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为$\frac{4}{x+y}$天,$\frac{x+y}{xy}$天.
(2)设甲、乙队完成任务的时间分别为$t_{1},t_{2},$则$t_{1}-t_{2}=\frac{4}{x+y}-\frac{x+y}{xy}=\frac{4xy-(x+y)^{2}}{xy(x+y)}=\frac{-(x-y)^{2}}{xy(x+y)}.$因为$x≠y,x＞0,y＞0,$所以$(x-y)^{2}＞0,xy(x+y)＞0,$所以$-(x-y)^{2}＜0,$所以$\frac{-(x-y)^{2}}{xy(x+y)}＜0,$即$t_{1}-t_{2}＜0$，所以$t_{1}＜t_{2}$，所以甲队先完成任务.
(1)甲队完成任务需要的时间为$2÷(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y)=\frac{4}{x+y}$(天),乙队完成任务需要的时间为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$(天),所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为$\frac{4}{x+y}$天,$\frac{x+y}{xy}$天.
(2)设甲、乙队完成任务的时间分别为$t_{1},t_{2},$则$t_{1}-t_{2}=\frac{4}{x+y}-\frac{x+y}{xy}=\frac{4xy-(x+y)^{2}}{xy(x+y)}=\frac{-(x-y)^{2}}{xy(x+y)}.$因为$x≠y,x＞0,y＞0,$所以$(x-y)^{2}＞0,xy(x+y)＞0,$所以$-(x-y)^{2}＜0,$所以$\frac{-(x-y)^{2}}{xy(x+y)}＜0,$即$t_{1}-t_{2}＜0$，所以$t_{1}＜t_{2}$，所以甲队先完成任务.
7. 已知$M = (\frac{3x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} + 2$,$N = (1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^{2} - 1} - (x - 1)$,且$x \neq \pm 1$,$x \neq 0$.小刚和小军在对上述式子进行化简之后,小刚说：“不论$x取何值(x \neq \pm 1$,$x \neq 0)$,$M的值都比N$的值大.”小军说：“不论$x取何值(x \neq \pm 1$,$x \neq 0)$,$N的值都比M$的值大.”请你判断他们谁的说法正确,并说明理由.
答案
解:小军的说法正确.理由如下:因为$M=(\frac{3x}{x+1}-\frac{x}{x+1})\cdot \frac{x^{2}-1}{x}+2=\frac{2x}{x+1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}+2=2(x-1)+2=2x,$$N=(1+\frac{1}{x-1})÷\frac{1}{x^{2}-1}-(x-1)=\frac{x}{x-1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{1}-x+1=x(x+1)-x+1=x^{2}+1,$所以$M-N=2x-x^{2}-1=-(x^{2}-2x+1)=-(x-1)^{2}.$因为$x≠\pm 1,x≠0,$所以$(x-1)^{2}＞0,$所以$-(x-1)^{2}＜0,$所以$M＜N,$所以小军的说法正确.
