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18. 按要求完成下面的题目：
解方程：$x - \frac{x - 1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{x + 2}{3}$。
解：去分母，得 $6x - 3x + 1 = 4 - 2x + 4$。 ……………………①
即 $-3x + 1 = -2x + 8$。 ………②
移项，得 $-3x + 2x = 8 - 1$。 ……③
合并同类项，得 $-x = 7$。 ……④
系数化为1，得 $x = -7$。 ……⑤
上述解方程的过程是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程。
解方程：$x - \frac{x - 1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{x + 2}{3}$。
解：去分母，得 $6x - 3x + 1 = 4 - 2x + 4$。 ……………………①
即 $-3x + 1 = -2x + 8$。 ………②
移项，得 $-3x + 2x = 8 - 1$。 ……③
合并同类项，得 $-x = 7$。 ……④
系数化为1，得 $x = -7$。 ……⑤
上述解方程的过程是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程。
答案
解：不正确，正确的解题过程如下：
去分母(方程两边乘 6)，得 $6x-3(x-1)=4-2(x+2)$.
去括号，得 $6x-3x+3=4-2x-4$.
移项，得 $6x-3x+2x=4-4-3$,
合并同类项，得 $5x=-3$.
系数化为 1，得 $x=-\frac{3}{5}$.
去分母(方程两边乘 6)，得 $6x-3(x-1)=4-2(x+2)$.
去括号，得 $6x-3x+3=4-2x-4$.
移项，得 $6x-3x+2x=4-4-3$,
合并同类项，得 $5x=-3$.
系数化为 1，得 $x=-\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
解题时首先逐步骤核查给出的解方程过程，重点关注去分母、去括号两个易错环节：1.去分母时需给方程两边同乘各分母的最小公倍数6，每一项都要乘不能漏乘，且分子是多项式时，去分母后要给多项式整体加括号，避免漏乘或符号错误；2.去括号时，括号前的系数要乘括号内的每一项，括号前为负号时，括号内各项都要变号。经检查原过程去分母时未给分子多项式加括号，导致后续去括号出现漏乘和符号错误，因此原解法不正确，再按解一元一次方程的标准步骤求解即可。
【解析】
解：上述解方程的过程不正确，正确的解题过程如下：
去分母（方程两边乘6），得 $6x-3(x-1)=4-2(x+2)$
去括号，得 $6x-3x+3=4-2x-4$
移项，得 $6x-3x+2x=4-4-3$
合并同类项，得 $5x=-3$
系数化为1，得 $x=-\frac{3}{5}$
【答案】
上述解方程的过程不正确，正确的解题过程如下：
去分母(方程两边乘 6)，得 $6x-3(x-1)=4-2(x+2)$.
去括号，得 $6x-3x+3=4-2x-4$.
移项，得 $6x-3x+2x=4-4-3$,
合并同类项，得 $5x=-3$.
系数化为 1，得 $x=-\frac{3}{5}$.
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题主要考查解一元一次方程的规范步骤，去分母和去括号是这类题的高频失分点，解题时要注意去分母时不漏乘不含分母的项、分子为多项式时先加括号再去括号，去括号时兼顾系数和符号的正确性，做完后可将解代入原方程检验，降低错误率。
【难度系数】
0.7
解题时首先逐步骤核查给出的解方程过程，重点关注去分母、去括号两个易错环节：1.去分母时需给方程两边同乘各分母的最小公倍数6，每一项都要乘不能漏乘，且分子是多项式时，去分母后要给多项式整体加括号，避免漏乘或符号错误；2.去括号时，括号前的系数要乘括号内的每一项，括号前为负号时，括号内各项都要变号。经检查原过程去分母时未给分子多项式加括号，导致后续去括号出现漏乘和符号错误，因此原解法不正确，再按解一元一次方程的标准步骤求解即可。
【解析】
解：上述解方程的过程不正确，正确的解题过程如下：
去分母（方程两边乘6），得 $6x-3(x-1)=4-2(x+2)$
去括号，得 $6x-3x+3=4-2x-4$
移项，得 $6x-3x+2x=4-4-3$
合并同类项，得 $5x=-3$
系数化为1，得 $x=-\frac{3}{5}$
【答案】
上述解方程的过程不正确，正确的解题过程如下：
去分母(方程两边乘 6)，得 $6x-3(x-1)=4-2(x+2)$.
去括号，得 $6x-3x+3=4-2x-4$.
移项，得 $6x-3x+2x=4-4-3$,
合并同类项，得 $5x=-3$.
系数化为 1，得 $x=-\frac{3}{5}$.
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题主要考查解一元一次方程的规范步骤，去分母和去括号是这类题的高频失分点，解题时要注意去分母时不漏乘不含分母的项、分子为多项式时先加括号再去括号，去括号时兼顾系数和符号的正确性，做完后可将解代入原方程检验，降低错误率。
【难度系数】
0.7
19. 晶晶在西安旅游期间，准备给朋友们带A，B两种特色纪念品，经询问，购买3件A种纪念品和2件B种纪念品共需63元，每件B种纪念品比每件A种纪念品便宜6元. 每件A种纪念品和每件B种纪念品的价格分别为多少元？
答案
解：设每件 A 种纪念品的价格是 $x$ 元，则每件 B 种纪念品的价格是$(x-6)$元.
根据购买 3 件 A 种纪念品和 2 件 B 种纪念品共需 63 元，列得方程 $3x+2(x-6)=63$,
解得 $x=15$.
故 $x-6=15-6=9$(元).
答：每件 A 种纪念品的价格是 15 元，每件 B 种纪念品的价格是 9 元.
根据购买 3 件 A 种纪念品和 2 件 B 种纪念品共需 63 元，列得方程 $3x+2(x-6)=63$,
解得 $x=15$.
故 $x-6=15-6=9$(元).
答：每件 A 种纪念品的价格是 15 元，每件 B 种纪念品的价格是 9 元.
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题思路清晰：首先明确所求的两个未知量存在单价差的关系，因此可以设其中A种纪念品的单价为未知数，用含该未知数的式子表示B种纪念品的单价；接着提取题目中的总费用等量关系，即3件A纪念品的总价加2件B纪念品的总价等于63元；最后将未知数代入等量关系列方程，求解后计算出两种纪念品的单价即可。
【解析】
解：设每件A种纪念品的价格是$x$元，则每件B种纪念品的价格是$(x-6)$元。
根据购买3件A种纪念品和2件B种纪念品共需63元的条件，列方程：
$3x+2(x-6)=63$
展开括号得：$3x+2x-12=63$
合并同类项得：$5x=75$
解得：$x=15$
则B种纪念品的单价为：$x-6=15-6=9$（元）
答：每件A种纪念品的价格是15元，每件B种纪念品的价格是9元。
【答案】
每件A种纪念品的价格是15元，每件B种纪念品的价格是9元。
【知识点】
一元一次方程应用；列方程解应用题；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，合理设未知数并代入等量关系列方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题思路清晰：首先明确所求的两个未知量存在单价差的关系，因此可以设其中A种纪念品的单价为未知数，用含该未知数的式子表示B种纪念品的单价；接着提取题目中的总费用等量关系，即3件A纪念品的总价加2件B纪念品的总价等于63元；最后将未知数代入等量关系列方程，求解后计算出两种纪念品的单价即可。
【解析】
解：设每件A种纪念品的价格是$x$元，则每件B种纪念品的价格是$(x-6)$元。
根据购买3件A种纪念品和2件B种纪念品共需63元的条件，列方程：
$3x+2(x-6)=63$
展开括号得：$3x+2x-12=63$
合并同类项得：$5x=75$
解得：$x=15$
则B种纪念品的单价为：$x-6=15-6=9$（元）
答：每件A种纪念品的价格是15元，每件B种纪念品的价格是9元。
【答案】
每件A种纪念品的价格是15元，每件B种纪念品的价格是9元。
【知识点】
一元一次方程应用；列方程解应用题；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，合理设未知数并代入等量关系列方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
20. 某工厂的甲、乙、丙三个车间共同生产一款产品，已知这三个车间一天共生产45 000件该产品，甲、乙、丙三个车间生产的该产品的件数之比为2：3：4，甲、乙、丙三个车间一天分别生产多少件该产品？
答案
解：设甲车间一天生产 $2x$ 件该产品，则乙车间一天生产 $3x$ 件该产品，丙车间一天生产 $4x$ 件该产品，
根据题意，得 $2x+3x+4x=45\ 000$,
解得 $x=5\ 000$.
所以 $2x=10\ 000$，$3x=15\ 000$，$4x=20\ 000$.
答：甲、乙、丙三个车间一天分别生产 10 000 件、15 000 件、20 000 件该产品.
根据题意，得 $2x+3x+4x=45\ 000$,
解得 $x=5\ 000$.
所以 $2x=10\ 000$，$3x=15\ 000$，$4x=20\ 000$.
答：甲、乙、丙三个车间一天分别生产 10 000 件、15 000 件、20 000 件该产品.
解析
【分析】
遇到已知几个量的比例和总量、求各个量的问题时，可先根据比例设每一份的量为x，这样三个车间的产量就能分别用含x的式子表示；再根据“三个车间一天总产量为45000件”的等量关系列出一元一次方程，解方程求出x的值后，再分别计算三个车间的产量即可。
【解析】
解：设甲车间一天生产$2x$件该产品，则乙车间一天生产$3x$件该产品，丙车间一天生产$4x$件该产品。
根据题意，三个车间总产量为45000件，可列方程：
$2x+3x+4x=45000$
合并同类项得：$9x=45000$
系数化为1得：$x=5000$
因此甲车间产量：$2x=2×5000=10000$（件）
乙车间产量：$3x=3×5000=15000$（件）
丙车间产量：$4x=4×5000=20000$（件）
答：甲、乙、丙三个车间一天分别生产10000件、15000件、20000件该产品。
【答案】
甲车间生产10000件，乙车间生产15000件，丙车间生产20000件
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 按比例分配问题
【点评】
本题是比例类应用题的基础题型，解题关键是掌握按比例设未知数的技巧，找准总量等于各分量之和的等量关系，整体计算量小，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
遇到已知几个量的比例和总量、求各个量的问题时，可先根据比例设每一份的量为x，这样三个车间的产量就能分别用含x的式子表示；再根据“三个车间一天总产量为45000件”的等量关系列出一元一次方程，解方程求出x的值后，再分别计算三个车间的产量即可。
【解析】
解：设甲车间一天生产$2x$件该产品，则乙车间一天生产$3x$件该产品，丙车间一天生产$4x$件该产品。
根据题意，三个车间总产量为45000件，可列方程：
$2x+3x+4x=45000$
合并同类项得：$9x=45000$
系数化为1得：$x=5000$
因此甲车间产量：$2x=2×5000=10000$（件）
乙车间产量：$3x=3×5000=15000$（件）
丙车间产量：$4x=4×5000=20000$（件）
答：甲、乙、丙三个车间一天分别生产10000件、15000件、20000件该产品。
【答案】
甲车间生产10000件，乙车间生产15000件，丙车间生产20000件
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 按比例分配问题
【点评】
本题是比例类应用题的基础题型，解题关键是掌握按比例设未知数的技巧，找准总量等于各分量之和的等量关系，整体计算量小，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
21. 某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要12天，乙车单独运完需要24天. 甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾.
(1)甲、乙两车合作还需要多少天才能运完这些垃圾？
(2)已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完这些垃圾后建筑工地共需支付租金3 900元，甲、乙两车每天的租金分别为多少元？
(1)甲、乙两车合作还需要多少天才能运完这些垃圾？
(2)已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完这些垃圾后建筑工地共需支付租金3 900元，甲、乙两车每天的租金分别为多少元？
答案
(1) 解：设甲、乙两车合作还需要 $x$ 天才能运完这些垃圾.
依题意，列得方程 $\frac{3}{12}+(\frac{1}{12}+\frac{1}{24})x=1$.
解得 $x=6$.
答：甲、乙两车合作还需要 6 天才能运完这些垃圾.
(2) 解：设乙车每天的租金为 $m$ 元，则甲车每天的租金为$(m+100)$元.
依题意，列得方程 $6m+9(m+100)=3\ 900$.
解得 $m=200$.
所以 $m+100=300$.
答：甲、乙两车每天的租金分别为 300 元和 200 元.
依题意，列得方程 $\frac{3}{12}+(\frac{1}{12}+\frac{1}{24})x=1$.
解得 $x=6$.
答：甲、乙两车合作还需要 6 天才能运完这些垃圾.
(2) 解：设乙车每天的租金为 $m$ 元，则甲车每天的租金为$(m+100)$元.
依题意，列得方程 $6m+9(m+100)=3\ 900$.
解得 $m=200$.
所以 $m+100=300$.
答：甲、乙两车每天的租金分别为 300 元和 200 元.
解析
【分析】
(1)本题为工程类应用题，将总工作量看作单位“1”，先求出甲、乙两车的工作效率：甲车每天完成总工作量的$\frac{1}{12}$，乙车每天完成总工作量的$\frac{1}{24}$。等量关系为：甲车单独运3天的工作量 + 甲乙两车合作x天的工作量 = 总工作量1，据此列一元一次方程即可求解。
(2)本题为费用类应用题，先算出甲车总工作天数为3+6=9天，乙车总工作天数为6天。等量关系为：甲车总租金 + 乙车总租金 = 3900元，设乙车日租金为未知数，表示出甲车日租金后，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：设甲、乙两车合作还需要 $x$ 天才能运完这些垃圾。
依题意，列得方程：
$\frac{3}{12}+(\frac{1}{12}+\frac{1}{24})x=1$
化简得$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}x=1$，移项得$\frac{1}{8}x=\frac{3}{4}$，解得 $x=6$。
答：甲、乙两车合作还需要 6 天才能运完这些垃圾。
(2) 解：设乙车每天的租金为 $m$ 元，则甲车每天的租金为$(m+100)$元。
甲车总工作天数为$3+6=9$天，乙车总工作天数为6天，依题意列得方程：
$6m+9(m+100)=3900$
去括号得$6m+9m+900=3900$，合并同类项得$15m=3000$，解得 $m=200$。
所以甲车每天租金为$m+100=200+100=300$（元）。
答：甲、乙两车每天的租金分别为 300 元和 200 元。
【答案】
(1) 甲、乙两车合作还需要6天才能运完这些垃圾；
(2) 甲车每天租金为300元，乙车每天租金为200元。
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题；费用计算
【点评】
本题考查一元一次方程的实际应用，分别结合工程问题和费用问题两个常见场景，解题的核心是准确找到题目中的等量关系，再根据等量关系列方程求解，是方程实际应用的基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1)本题为工程类应用题，将总工作量看作单位“1”，先求出甲、乙两车的工作效率：甲车每天完成总工作量的$\frac{1}{12}$，乙车每天完成总工作量的$\frac{1}{24}$。等量关系为：甲车单独运3天的工作量 + 甲乙两车合作x天的工作量 = 总工作量1，据此列一元一次方程即可求解。
(2)本题为费用类应用题，先算出甲车总工作天数为3+6=9天，乙车总工作天数为6天。等量关系为：甲车总租金 + 乙车总租金 = 3900元，设乙车日租金为未知数，表示出甲车日租金后，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：设甲、乙两车合作还需要 $x$ 天才能运完这些垃圾。
依题意，列得方程：
$\frac{3}{12}+(\frac{1}{12}+\frac{1}{24})x=1$
化简得$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}x=1$，移项得$\frac{1}{8}x=\frac{3}{4}$，解得 $x=6$。
答：甲、乙两车合作还需要 6 天才能运完这些垃圾。
(2) 解：设乙车每天的租金为 $m$ 元，则甲车每天的租金为$(m+100)$元。
甲车总工作天数为$3+6=9$天，乙车总工作天数为6天，依题意列得方程：
$6m+9(m+100)=3900$
去括号得$6m+9m+900=3900$，合并同类项得$15m=3000$，解得 $m=200$。
所以甲车每天租金为$m+100=200+100=300$（元）。
答：甲、乙两车每天的租金分别为 300 元和 200 元。
【答案】
(1) 甲、乙两车合作还需要6天才能运完这些垃圾；
(2) 甲车每天租金为300元，乙车每天租金为200元。
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题；费用计算
【点评】
本题考查一元一次方程的实际应用，分别结合工程问题和费用问题两个常见场景，解题的核心是准确找到题目中的等量关系，再根据等量关系列方程求解，是方程实际应用的基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
