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22. 定义：若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ ax = b $ 的解为 $ x = b + a $，则称该方程为“和解方程”，例如：$ 2x = -4 $ 的解为 $ x = -2 $，且 $ -2 = -4 + 2 $，则该方程 $ 2x = -4 $ 是和解方程.
（1）判断 $ -3x = \frac{9}{4} $ 是否是和解方程，说明理由；
（2）若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m - 2 $ 是和解方程，求 $ m $ 的值.
（1）判断 $ -3x = \frac{9}{4} $ 是否是和解方程，说明理由；
（2）若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m - 2 $ 是和解方程，求 $ m $ 的值.
答案
(1) 解：$-3x=\frac{9}{4}$是和解方程. 理由如下：因为$-3x=\frac{9}{4}$，所以$x=-\frac{3}{4}$. 因为$\frac{9}{4}+(-3)=-\frac{3}{4}$，所以$-3x=\frac{9}{4}$是和解方程.
(2) 解：因为关于 $x$ 的一元一次方程 $5x=m-2$ 是和解方程，所以 $m-2+5=\frac{m-2}{5}$,
解得 $m=-\frac{17}{4}$. 故 $m$ 的值为$-\frac{17}{4}$.
(2) 解：因为关于 $x$ 的一元一次方程 $5x=m-2$ 是和解方程，所以 $m-2+5=\frac{m-2}{5}$,
解得 $m=-\frac{17}{4}$. 故 $m$ 的值为$-\frac{17}{4}$.
解析
【分析】
解题核心是准确理解“和解方程”的定义：关于x的一元一次方程$ax=b$的解满足$x=b+a$，则为和解方程。
（1）判断方程是否为和解方程：先求出方程的解，再计算$b+a$（a是x的系数，b是方程右侧常数项）的值，对比二者是否相等即可判断。
（2）已知方程是和解方程求参数：先写出方程常规求解的解，再根据定义写出解的另一个表达式$b+a$，令两个表达式相等，列关于m的一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）先解方程$-3x=\frac{9}{4}$：
系数化为1，得$x=-\frac{3}{4}$。
该方程中$a=-3$，$b=\frac{9}{4}$，计算得$b+a=\frac{9}{4}+(-3)=-\frac{3}{4}$，和方程的解相等，因此$-3x=\frac{9}{4}$是和解方程。
（2）方程$5x=m-2$常规求解得$x=\frac{m-2}{5}$。
因为该方程是和解方程，所以它的解满足$x=b+a$，此处$a=5$，$b=m-2$，即$x=m-2+5$，因此可列等式：
$\frac{m-2}{5}=m-2+5$
整理得$\frac{m-2}{5}=m+3$
两边同乘5得$m-2=5m+15$
移项合并同类项得$-4m=17$
系数化为1得$m=-\frac{17}{4}$
【答案】
（1）$-3x=\frac{9}{4}$是和解方程，理由见解析；
（2）$m$的值为$-\frac{17}{4}$。
【知识点】
一元一次方程求解，新定义应用，含参数方程求解
【点评】
本题为新定义题型，解题关键是将新定义的规则转化为常规的等量关系，再结合一元一次方程的解法求解，解题时要注意找准a、b对应的数值，避免代入错误。
【难度系数】
0.8
解题核心是准确理解“和解方程”的定义：关于x的一元一次方程$ax=b$的解满足$x=b+a$，则为和解方程。
（1）判断方程是否为和解方程：先求出方程的解，再计算$b+a$（a是x的系数，b是方程右侧常数项）的值，对比二者是否相等即可判断。
（2）已知方程是和解方程求参数：先写出方程常规求解的解，再根据定义写出解的另一个表达式$b+a$，令两个表达式相等，列关于m的一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）先解方程$-3x=\frac{9}{4}$：
系数化为1，得$x=-\frac{3}{4}$。
该方程中$a=-3$，$b=\frac{9}{4}$，计算得$b+a=\frac{9}{4}+(-3)=-\frac{3}{4}$，和方程的解相等，因此$-3x=\frac{9}{4}$是和解方程。
（2）方程$5x=m-2$常规求解得$x=\frac{m-2}{5}$。
因为该方程是和解方程，所以它的解满足$x=b+a$，此处$a=5$，$b=m-2$，即$x=m-2+5$，因此可列等式：
$\frac{m-2}{5}=m-2+5$
整理得$\frac{m-2}{5}=m+3$
两边同乘5得$m-2=5m+15$
移项合并同类项得$-4m=17$
系数化为1得$m=-\frac{17}{4}$
【答案】
（1）$-3x=\frac{9}{4}$是和解方程，理由见解析；
（2）$m$的值为$-\frac{17}{4}$。
【知识点】
一元一次方程求解，新定义应用，含参数方程求解
【点评】
本题为新定义题型，解题关键是将新定义的规则转化为常规的等量关系，再结合一元一次方程的解法求解，解题时要注意找准a、b对应的数值，避免代入错误。
【难度系数】
0.8
23. 甲、乙两人沿圆形跑道同向竞走，跑道一周是 400 m，乙的速度是80 m/min，甲的速度是乙的 $1\frac{1}{4}$倍，现在甲在乙的前面100 m处，多少分钟后两人第一次相遇？
答案
解：设 $x$ min 后两人第一次相遇，
根据题意，得 $1\frac{1}{4}×80x -80x=400-100$,
解得 $x=15$.
答：15 min 后两人第一次相遇.
根据题意，得 $1\frac{1}{4}×80x -80x=400-100$,
解得 $x=15$.
答：15 min 后两人第一次相遇.
解析
【分析】
这是圆形跑道的同向追及问题，解题思路如下：第一步先计算甲的速度，已知甲速度是乙的$1\frac{1}{4}$倍，乙速度为80m/min，可先求出甲的速度；第二步明确追及的路程差：两人同向运动，甲速度比乙快，初始时甲在乙前方100m，跑道一周400m，因此甲要第一次追上乙，需要比乙多走（400-100）m；第三步设相遇时间为x分钟，根据“甲走的路程-乙走的路程=路程差”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：设$x$ min后两人第一次相遇。
先计算甲的速度：$1\frac{1}{4}×80=100$（m/min）
根据追及问题的等量关系：甲行驶的路程 - 乙行驶的路程 = 追及路程差，列方程得：
$1\frac{1}{4}×80x -80x=400-100$
化简得：$20x=300$
解得：$x=15$
答：15 min后两人第一次相遇。
【答案】
15 min
【知识点】
一元一次方程应用，同向追及问题，圆形行程问题
【点评】
本题是行程类的典型应用题，解题的核心是准确判断同向运动时的路程差，需结合圆形跑道的特点和两人的初始位置确定等量关系，避免直接误用跑道周长作为路程差，掌握追及问题的基本公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
这是圆形跑道的同向追及问题，解题思路如下：第一步先计算甲的速度，已知甲速度是乙的$1\frac{1}{4}$倍，乙速度为80m/min，可先求出甲的速度；第二步明确追及的路程差：两人同向运动，甲速度比乙快，初始时甲在乙前方100m，跑道一周400m，因此甲要第一次追上乙，需要比乙多走（400-100）m；第三步设相遇时间为x分钟，根据“甲走的路程-乙走的路程=路程差”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：设$x$ min后两人第一次相遇。
先计算甲的速度：$1\frac{1}{4}×80=100$（m/min）
根据追及问题的等量关系：甲行驶的路程 - 乙行驶的路程 = 追及路程差，列方程得：
$1\frac{1}{4}×80x -80x=400-100$
化简得：$20x=300$
解得：$x=15$
答：15 min后两人第一次相遇。
【答案】
15 min
【知识点】
一元一次方程应用，同向追及问题，圆形行程问题
【点评】
本题是行程类的典型应用题，解题的核心是准确判断同向运动时的路程差，需结合圆形跑道的特点和两人的初始位置确定等量关系，避免直接误用跑道周长作为路程差，掌握追及问题的基本公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
