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24. 阅读下面材料并回答问题：点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离表示为AB.当A，B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图①，AB＝|b|＝|a−b|.当A，B两点都不在原点时，有下面三种情况：
(1)如图②，点A，B都在原点的右边，AB＝OB−OA＝|b|−|a|＝b−a＝|a−b|；
(2)如图③，点A，B都在原点左边，AB＝OB−OA＝|b|−|a|＝(−b)−(−a)＝|a−b|；
(3)如图④，点A，B在原点的两边，AB＝OA＋OB＝|a|＋|b|＝a＋(−b)＝|a−b|.
综上，数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a−b|.
(1)数轴上表示−3和−8的两点之间的距离是
(2)若数轴上表示x和−2的两点分别是点A，B，AB＝5，则x＝
(3)若数轴上点A表示数−1，点B表示数7，动点P，Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是3个单位长度/s，点Q的移动速度是2个单位长度/s，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，
(1)如图②，点A，B都在原点的右边，AB＝OB−OA＝|b|−|a|＝b−a＝|a−b|；
(2)如图③，点A，B都在原点左边，AB＝OB−OA＝|b|−|a|＝(−b)−(−a)＝|a−b|；
(3)如图④，点A，B在原点的两边，AB＝OA＋OB＝|a|＋|b|＝a＋(−b)＝|a−b|.
综上，数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a−b|.
(1)数轴上表示−3和−8的两点之间的距离是
5
；(2)若数轴上表示x和−2的两点分别是点A，B，AB＝5，则x＝
3或−7
；(3)若数轴上点A表示数−1，点B表示数7，动点P，Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是3个单位长度/s，点Q的移动速度是2个单位长度/s，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，
答案
(1)5 解析：设点 A 表示的数为−3，点 B 表示的数为−8，
则 $AB=|-3+8|=5$.
(2)3或−7 解析：当 $AB=5$ 时，$|x+2|=5$，解得 $x=3$ 或 $x=-7$.
(3)解 ①设运动 $x$ s 后，点 $P$ 追上点 $Q$，
根据题意，得 $3x-2x=|-1-7|$,
解得 $x=8$.
答：运动 8 s 后，点 $P$ 追上点 $Q$.
②设运动 $y$ s 后，$P$，$Q$ 两点相距 3 个单位长度.
当点 $P$ 在点 $Q$ 左侧时，$|-1-7|+2y-3y=3$，
解得 $y=5$；
当点 $P$ 在点 $Q$ 右侧时，$3y-|-1-7|-2y=3$，
解得 $y=11$.
答：运动 5 s 或 11 s 后，$P$，$Q$ 两点相距 3 个单位长度.
则 $AB=|-3+8|=5$.
(2)3或−7 解析：当 $AB=5$ 时，$|x+2|=5$，解得 $x=3$ 或 $x=-7$.
(3)解 ①设运动 $x$ s 后，点 $P$ 追上点 $Q$，
根据题意，得 $3x-2x=|-1-7|$,
解得 $x=8$.
答：运动 8 s 后，点 $P$ 追上点 $Q$.
②设运动 $y$ s 后，$P$，$Q$ 两点相距 3 个单位长度.
当点 $P$ 在点 $Q$ 左侧时，$|-1-7|+2y-3y=3$，
解得 $y=5$；
当点 $P$ 在点 $Q$ 右侧时，$3y-|-1-7|-2y=3$，
解得 $y=11$.
答：运动 5 s 或 11 s 后，$P$，$Q$ 两点相距 3 个单位长度.
解析
【分析】
本题围绕数轴上两点距离公式展开，解题思路如下：1. 第(1)问直接套用题干给出的数轴两点距离公式AB=|a-b|，代入两个数计算即可；2. 第(2)问同样代入距离公式得到绝对值方程，根据绝对值的性质求解即可；3. 第(3)问属于数轴动点行程问题：①追及问题中，追上时快的比慢的多走初始的两点距离，据此列方程；②两点相距3个单位时要分两种情况：P未追上Q时相距3，P追上Q后超过Q3个单位，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 数轴上表示-3和-8的两点距离，代入公式得：$AB=|-3 - (-8)|=|5|=5$。
(2) 由题意得A、B距离$AB=|x - (-2)|=|x+2|=5$，根据绝对值的性质，$x+2=5$或$x+2=-5$，解得$x=3$或$x=-7$。
(3) ①首先计算A、B初始距离：$|-1 - 7|=8$。设运动$x$秒后P追上Q，P每秒比Q多走$3-2=1$个单位，追上时P比Q多走8个单位，列方程：$3x - 2x = 8$，解得$x=8$。
②设运动$y$秒后P、Q两点相距3个单位，分两种情况：
情况1：P在Q左侧，还未追上Q，此时Q的位置减去P的位置等于3，Q的位置为$7+2y$，P的位置为$-1+3y$，列方程：$(7+2y) - (-1+3y) = 3$，解得$y=5$；
情况2：P在Q右侧，已经追上并超过Q，此时P的位置减去Q的位置等于3，列方程：$(-1+3y) - (7+2y) =3$，解得$y=11$。
【答案】
(1)5；(2)3或$-7$；(3)①$\boldsymbol{8\ \mathrm{s}}$；②$\boldsymbol{5\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{11\ \mathrm{s}}$
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值方程求解；数轴动点行程问题
【点评】
本题将数轴、绝对值的性质与行程问题结合，考察知识的综合应用能力，解题的核心是熟练掌握数轴两点距离公式，动点类问题需注意结合运动位置分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕数轴上两点距离公式展开，解题思路如下：1. 第(1)问直接套用题干给出的数轴两点距离公式AB=|a-b|，代入两个数计算即可；2. 第(2)问同样代入距离公式得到绝对值方程，根据绝对值的性质求解即可；3. 第(3)问属于数轴动点行程问题：①追及问题中，追上时快的比慢的多走初始的两点距离，据此列方程；②两点相距3个单位时要分两种情况：P未追上Q时相距3，P追上Q后超过Q3个单位，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 数轴上表示-3和-8的两点距离，代入公式得：$AB=|-3 - (-8)|=|5|=5$。
(2) 由题意得A、B距离$AB=|x - (-2)|=|x+2|=5$，根据绝对值的性质，$x+2=5$或$x+2=-5$，解得$x=3$或$x=-7$。
(3) ①首先计算A、B初始距离：$|-1 - 7|=8$。设运动$x$秒后P追上Q，P每秒比Q多走$3-2=1$个单位，追上时P比Q多走8个单位，列方程：$3x - 2x = 8$，解得$x=8$。
②设运动$y$秒后P、Q两点相距3个单位，分两种情况：
情况1：P在Q左侧，还未追上Q，此时Q的位置减去P的位置等于3，Q的位置为$7+2y$，P的位置为$-1+3y$，列方程：$(7+2y) - (-1+3y) = 3$，解得$y=5$；
情况2：P在Q右侧，已经追上并超过Q，此时P的位置减去Q的位置等于3，列方程：$(-1+3y) - (7+2y) =3$，解得$y=11$。
【答案】
(1)5；(2)3或$-7$；(3)①$\boldsymbol{8\ \mathrm{s}}$；②$\boldsymbol{5\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{11\ \mathrm{s}}$
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值方程求解；数轴动点行程问题
【点评】
本题将数轴、绝对值的性质与行程问题结合，考察知识的综合应用能力，解题的核心是熟练掌握数轴两点距离公式，动点类问题需注意结合运动位置分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
