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10.《九章算术》中有一道关于“盈不足”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8钱(“钱”为我国古代货币单位)，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱。问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有$ x $人，则可列方程为(
A.$ 8x + 3 = 7x - 4 $
B.$ 8x - 3 = 7x + 4 $
C.$ \frac{x - 3}{8} = \frac{x + 4}{7} $
D.$ \frac{x + 3}{8} = \frac{x - 4}{7} $
B
)A.$ 8x + 3 = 7x - 4 $
B.$ 8x - 3 = 7x + 4 $
C.$ \frac{x - 3}{8} = \frac{x + 4}{7} $
D.$ \frac{x + 3}{8} = \frac{x - 4}{7} $
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是找到题目中的不变量，本题中物品的价格是固定不变的，我们可以通过两种不同的出钱方式分别表示出物品的价格，再根据价格相等列出方程。首先明确设人数为x人：①每人出8钱时，总共出了8x钱，还盈余3钱，说明总出钱比物价多3，所以物价=总出钱-盈余的钱；②每人出7钱时，总共出了7x钱，还差4钱，说明总出钱比物价少4，所以物价=总出钱+差的钱，最后让两个表示物价的式子相等即可得到方程。
【解析】
设共有x人，根据物品价格不变列方程：
1. 当每人出8钱时，总出钱为8x钱，盈余3钱，因此物品价格为：$8x - 3$（总出钱减去多出来的钱就是物品实际价格）
2. 当每人出7钱时，总出钱为7x钱，还差4钱，因此物品价格为：$7x + 4$（总出钱加上还差的钱就是物品实际价格）
因为物品价格固定，所以可得方程：$8x - 3 = 7x + 4$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；找等量关系列方程
【点评】
本题取材于我国古代数学经典著作，解题关键是抓住不变的物价作为等量关系，将两种购买场景的量进行转化即可列出方程，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是找到题目中的不变量，本题中物品的价格是固定不变的，我们可以通过两种不同的出钱方式分别表示出物品的价格，再根据价格相等列出方程。首先明确设人数为x人：①每人出8钱时，总共出了8x钱，还盈余3钱，说明总出钱比物价多3，所以物价=总出钱-盈余的钱；②每人出7钱时，总共出了7x钱，还差4钱，说明总出钱比物价少4，所以物价=总出钱+差的钱，最后让两个表示物价的式子相等即可得到方程。
【解析】
设共有x人，根据物品价格不变列方程：
1. 当每人出8钱时，总出钱为8x钱，盈余3钱，因此物品价格为：$8x - 3$（总出钱减去多出来的钱就是物品实际价格）
2. 当每人出7钱时，总出钱为7x钱，还差4钱，因此物品价格为：$7x + 4$（总出钱加上还差的钱就是物品实际价格）
因为物品价格固定，所以可得方程：$8x - 3 = 7x + 4$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；找等量关系列方程
【点评】
本题取材于我国古代数学经典著作，解题关键是抓住不变的物价作为等量关系，将两种购买场景的量进行转化即可列出方程，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
11. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2 h，船在静水中的速度为26 km/h，水速为2 km/h. 设A港和B港相距x km. 根据题意，列出的方程是(
A.$\frac{x}{26+2}=\frac{x}{26-2}+2$
B.$\frac{x}{26+2}=\frac{x}{26-2}-2$
C.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}-2$
D.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}+2$
B
)A.$\frac{x}{26+2}=\frac{x}{26-2}+2$
B.$\frac{x}{26+2}=\frac{x}{26-2}-2$
C.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}-2$
D.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}+2$
答案
B
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程问题，解题时可按以下思路思考：①先回忆流水行船的速度计算规则：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；②明确行程问题的核心公式：时间=路程÷速度，分别表示出顺流行驶时间、逆流行驶时间；③找题目中的等量关系：顺流行驶的时间比逆流少2小时，即顺流时间=逆流时间-2，将表示出的时间代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】
首先计算顺流、逆流的行驶速度：
顺流速度：$v_顺=26+2=28\ \mathrm{km/h}$，
逆流速度：$v_逆=26-2=24\ \mathrm{km/h}$；
再分别表示行驶时间：
顺流从A到B的时间$t_顺=\frac{x}{v_顺}=\frac{x}{26+2}$，
逆流从B到A的时间$t_逆=\frac{x}{v_逆}=\frac{x}{26-2}$；
根据“顺流比逆流少用2h”的等量关系，可得：$t_顺=t_逆-2$，
代入对应表达式，列出方程为：$\frac{x}{26+2}=\frac{x}{26-2}-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 流水行船速度计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于行程类基础题，解题的关键是掌握顺流、逆流速度的计算方法，准确梳理两个行驶过程的时间大小关系，代入等量关系列方程即可，需注意不要混淆顺流和逆流的时间大小，避免列反等式。
【难度系数】
0.8
这是一道流水行船类的行程问题，解题时可按以下思路思考：①先回忆流水行船的速度计算规则：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；②明确行程问题的核心公式：时间=路程÷速度，分别表示出顺流行驶时间、逆流行驶时间；③找题目中的等量关系：顺流行驶的时间比逆流少2小时，即顺流时间=逆流时间-2，将表示出的时间代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】
首先计算顺流、逆流的行驶速度：
顺流速度：$v_顺=26+2=28\ \mathrm{km/h}$，
逆流速度：$v_逆=26-2=24\ \mathrm{km/h}$；
再分别表示行驶时间：
顺流从A到B的时间$t_顺=\frac{x}{v_顺}=\frac{x}{26+2}$，
逆流从B到A的时间$t_逆=\frac{x}{v_逆}=\frac{x}{26-2}$；
根据“顺流比逆流少用2h”的等量关系，可得：$t_顺=t_逆-2$，
代入对应表达式，列出方程为：$\frac{x}{26+2}=\frac{x}{26-2}-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 流水行船速度计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于行程类基础题，解题的关键是掌握顺流、逆流速度的计算方法，准确梳理两个行驶过程的时间大小关系，代入等量关系列方程即可，需注意不要混淆顺流和逆流的时间大小，避免列反等式。
【难度系数】
0.8
12. 已知一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就成为一个正方形，设长方形的长为$ x $ cm，则根据题意，可列方程为(
A.$ x - 1 = (26 - x) + 2 $
B.$ x - 1 = (26 ÷ 2 - x) + 2 $
C.$ x + 1 = (26 - x) - 2 $
D.$ x + 1 = (26 ÷ 2 - x) - 2 $
B
)A.$ x - 1 = (26 - x) + 2 $
B.$ x - 1 = (26 ÷ 2 - x) + 2 $
C.$ x + 1 = (26 - x) - 2 $
D.$ x + 1 = (26 ÷ 2 - x) - 2 $
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要根据长方形周长公式表示出长方形的宽，再抓住“长减少1cm、宽增加2cm后成为正方形”这一关键条件，利用正方形边长相等的性质找到等量关系，最后对应列出方程即可。
第一步：已知长方形周长和长，根据周长公式“周长=2×(长+宽)”，可推导出长+宽=周长÷2，因此宽可以表示为$(26÷2 -x)$cm；
第二步：变化后长为$(x-1)$cm，变化后宽为（宽+2）cm，正方形的四条边长相等，因此变化后的长等于变化后的宽，据此即可列出方程。
【解析】
解：已知长方形的长为$x$ cm，周长为26 cm。
根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，可得长与宽的和为$26÷2$ cm，因此长方形的宽为$(26÷2 -x)$ cm。
由题意，长减少1 cm后长度为$(x-1)$ cm，宽增加2 cm后长度为$(26÷2 -x)+2$ cm，变化后为正方形，正方形边长相等，因此可列方程：
$x - 1 = (26 ÷ 2 - x) + 2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长公式、正方形的性质
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题的核心是准确找到等量关系，本题的易错点是容易忘记周长要先除以2再求宽，直接用26减x表示宽，导致选错选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据长方形周长公式表示出长方形的宽，再抓住“长减少1cm、宽增加2cm后成为正方形”这一关键条件，利用正方形边长相等的性质找到等量关系，最后对应列出方程即可。
第一步：已知长方形周长和长，根据周长公式“周长=2×(长+宽)”，可推导出长+宽=周长÷2，因此宽可以表示为$(26÷2 -x)$cm；
第二步：变化后长为$(x-1)$cm，变化后宽为（宽+2）cm，正方形的四条边长相等，因此变化后的长等于变化后的宽，据此即可列出方程。
【解析】
解：已知长方形的长为$x$ cm，周长为26 cm。
根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，可得长与宽的和为$26÷2$ cm，因此长方形的宽为$(26÷2 -x)$ cm。
由题意，长减少1 cm后长度为$(x-1)$ cm，宽增加2 cm后长度为$(26÷2 -x)+2$ cm，变化后为正方形，正方形边长相等，因此可列方程：
$x - 1 = (26 ÷ 2 - x) + 2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长公式、正方形的性质
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题的核心是准确找到等量关系，本题的易错点是容易忘记周长要先除以2再求宽，直接用26减x表示宽，导致选错选项。
【难度系数】
0.8
二、填空题
13. 已知方程$(5a - 2)x^2 + 3x + 1 = 4$整理后是一元一次方程，则$a =$
13. 已知方程$(5a - 2)x^2 + 3x + 1 = 4$整理后是一元一次方程，则$a =$
$\frac{2}{5}$
。答案
$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解题的关键是牢记一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。观察原方程，存在含$x^2$的二次项，要让方程整理后为一元一次方程，必须让二次项的系数为0，这样方程就不存在二次项，仅剩一次项和常数项，符合一元一次方程的要求，因此我们只需列等式求解$a$的值即可。
【解析】
已知方程整理后是一元一次方程，因此方程的二次项系数必须为0，即：
$5a - 2 = 0$
移项得：$5a = 2$
系数化为1得：$a = \frac{2}{5}$
将$a=\frac{2}{5}$代入原方程，可得$3x + 1 = 4$，符合一元一次方程的定义，结果成立。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
一元一次方程的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是抓住一元一次方程“未知数最高次数为1”的特征，明确高次项系数必须为0，易错点是部分同学会忽略二次项系数为0的要求，直接按一次方程计算导致出错。
【难度系数】
0.8
解题的关键是牢记一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。观察原方程，存在含$x^2$的二次项，要让方程整理后为一元一次方程，必须让二次项的系数为0，这样方程就不存在二次项，仅剩一次项和常数项，符合一元一次方程的要求，因此我们只需列等式求解$a$的值即可。
【解析】
已知方程整理后是一元一次方程，因此方程的二次项系数必须为0，即：
$5a - 2 = 0$
移项得：$5a = 2$
系数化为1得：$a = \frac{2}{5}$
将$a=\frac{2}{5}$代入原方程，可得$3x + 1 = 4$，符合一元一次方程的定义，结果成立。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
一元一次方程的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是抓住一元一次方程“未知数最高次数为1”的特征，明确高次项系数必须为0，易错点是部分同学会忽略二次项系数为0的要求，直接按一次方程计算导致出错。
【难度系数】
0.8
14. 当$a=$
4
时，关于$x$的方程$ax+2=2x-a$和方程$3x-2=4x+1$的解相同。答案
4
解析
【分析】
要解决两个方程解相同求参数的问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的方程$3x-2=4x+1$，得到$x$的具体值；第二步因为两个方程的解相同，把求出的$x$的值代入含参数$a$的方程$ax+2=2x-a$中，得到一个关于$a$的一元一次方程，解这个方程就能求出$a$的值。
【解析】
首先解方程$3x-2=4x+1$：
移项，得$3x-4x=1+2$
合并同类项，得$-x=3$
系数化为1，得$x=-3$
因为方程$ax+2=2x-a$和$3x-2=4x+1$的解相同，所以将$x=-3$代入$ax+2=2x-a$，得：
$-3a + 2 = 2×(-3) - a$
计算等号右侧，得$-3a + 2 = -6 -a$
移项，得$-3a + a = -6 -2$
合并同类项，得$-2a = -8$
系数化为1，得$a=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 同解方程
2. 解一元一次方程
3. 方程的解
【点评】
本题是同解方程的基础应用类题型，解题核心是利用“解相同”的性质，将未知参数问题转化为已知解代入求值的问题，掌握一元一次方程的解法是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
要解决两个方程解相同求参数的问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的方程$3x-2=4x+1$，得到$x$的具体值；第二步因为两个方程的解相同，把求出的$x$的值代入含参数$a$的方程$ax+2=2x-a$中，得到一个关于$a$的一元一次方程，解这个方程就能求出$a$的值。
【解析】
首先解方程$3x-2=4x+1$：
移项，得$3x-4x=1+2$
合并同类项，得$-x=3$
系数化为1，得$x=-3$
因为方程$ax+2=2x-a$和$3x-2=4x+1$的解相同，所以将$x=-3$代入$ax+2=2x-a$，得：
$-3a + 2 = 2×(-3) - a$
计算等号右侧，得$-3a + 2 = -6 -a$
移项，得$-3a + a = -6 -2$
合并同类项，得$-2a = -8$
系数化为1，得$a=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 同解方程
2. 解一元一次方程
3. 方程的解
【点评】
本题是同解方程的基础应用类题型，解题核心是利用“解相同”的性质，将未知参数问题转化为已知解代入求值的问题，掌握一元一次方程的解法是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
15. 当$x=$
2
时，代数式$4x-8$与代数式$3x-6$的值互为相反数。答案
2
解析
【分析】
解题首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0。我们可以根据这个性质，将题目中两个代数式的关系转化为等式，得到一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解，就能得到x的值。
【解析】
解：
∵ 互为相反数的两个数的和为0，且代数式$4x-8$与$3x-6$的值互为相反数
∴ 可列方程：$(4x-8)+(3x-6)=0$
去括号合并同类项得：$7x-14=0$
移项得：$7x=14$
系数化为1得：$x=2$
【答案】
2
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，将相反数的概念与一元一次方程的求解结合考察，解题关键是准确根据相反数的性质列出方程，计算时注意移项要变号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0。我们可以根据这个性质，将题目中两个代数式的关系转化为等式，得到一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解，就能得到x的值。
【解析】
解：
∵ 互为相反数的两个数的和为0，且代数式$4x-8$与$3x-6$的值互为相反数
∴ 可列方程：$(4x-8)+(3x-6)=0$
去括号合并同类项得：$7x-14=0$
移项得：$7x=14$
系数化为1得：$x=2$
【答案】
2
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，将相反数的概念与一元一次方程的求解结合考察，解题关键是准确根据相反数的性质列出方程，计算时注意移项要变号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
16. 如果一件商品按100元定价后，打九折出售，仍能获得20%的利润，那么这件商品的进价是
75
元.答案
75
解析
【分析】
这是销售类应用题，解题思路如下：首先明确各数量的关系，第一步根据定价和折扣算出实际售价，打九折就是按定价的90%出售；第二步理解“获利20%”的含义，即售价比进价高20%，也就是售价=进价×(1+利润率)，我们可以通过设未知数列一元一次方程求解，符合七年级的知识要求。
【解析】
解：设这件商品的进价是$ x $元。
1. 先计算商品的实际售价：
打九折后的售价为 $ 100×90\% = 90 $ 元
2. 根据利润的等量关系列方程：
获利20%说明利润为 $ 20\%x $，售价=进价+利润，因此可得方程：
$ x + 20\%x = 90 $
3. 解方程：
合并同类项得 $ 1.2x = 90 $
系数化为1得 $ x = 90÷1.2 = 75 $
【答案】
75
【知识点】
折扣计算，利润问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是销售类常见基础题，解题核心是理清定价、售价、进价、利润率之间的数量关系，找准等量关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
这是销售类应用题，解题思路如下：首先明确各数量的关系，第一步根据定价和折扣算出实际售价，打九折就是按定价的90%出售；第二步理解“获利20%”的含义，即售价比进价高20%，也就是售价=进价×(1+利润率)，我们可以通过设未知数列一元一次方程求解，符合七年级的知识要求。
【解析】
解：设这件商品的进价是$ x $元。
1. 先计算商品的实际售价：
打九折后的售价为 $ 100×90\% = 90 $ 元
2. 根据利润的等量关系列方程：
获利20%说明利润为 $ 20\%x $，售价=进价+利润，因此可得方程：
$ x + 20\%x = 90 $
3. 解方程：
合并同类项得 $ 1.2x = 90 $
系数化为1得 $ x = 90÷1.2 = 75 $
【答案】
75
【知识点】
折扣计算，利润问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是销售类常见基础题，解题核心是理清定价、售价、进价、利润率之间的数量关系，找准等量关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
17. 解下列方程：
(1) $5x=3x+4$；
(2) $\dfrac{4x-1}{5}-1=\dfrac{3x-2}{4}$。
17. 解下列方程：
(1) $5x=3x+4$；
(2) $\dfrac{4x-1}{5}-1=\dfrac{3x-2}{4}$。
答案
(1) 移项，得 $5x-3x=4$.
合并同类项，得 $2x=4$.
系数化为1，得 $x=2$.
(2) 去分母（方程两边乘 20），得 $4(4x-1)-20=5(3x-2)$.
去括号，得 $16x-4-20=15x-10$.
移项，得 $16x-15x=-10+4+20$.
合并同类项，得 $x=14$.
合并同类项，得 $2x=4$.
系数化为1，得 $x=2$.
(2) 去分母（方程两边乘 20），得 $4(4x-1)-20=5(3x-2)$.
去括号，得 $16x-4-20=15x-10$.
移项，得 $16x-15x=-10+4+20$.
合并同类项，得 $x=14$.
解析
【分析】
解一元一次方程的核心是利用等式的性质逐步将方程化简为$x=a$的形式。
对于第(1)题，方程两侧都有含$x$的项，首先通过移项把含$x$的项统一移到等号左侧，常数项保留在右侧，再合并同类项，最后将$x$的系数化为1即可得到解。
对于第(2)题，方程含有分母，先找到分母5和4的最小公倍数20，方程两边同时乘20消去分母，再依次完成去括号、移项、合并同类项的操作就能求出解，注意去分母时不要漏乘无分母的常数项，移项时要改变符号。
【解析】
(1) 移项，得 $5x-3x=4$.
合并同类项，得 $2x=4$.
系数化为1，得 $x=2$.
(2) 去分母（方程两边乘 20），得 $4(4x-1)-20=5(3x-2)$.
去括号，得 $16x-4-20=15x-10$.
移项，得 $16x-15x=-10+4+20$.
合并同类项，得 $x=14$.
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=14$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，重点考察解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意规避去分母漏乘整数项、移项未变号等常见错误，熟练掌握基础步骤能为后续复杂方程求解打好基础。
【难度系数】
0.9
解一元一次方程的核心是利用等式的性质逐步将方程化简为$x=a$的形式。
对于第(1)题，方程两侧都有含$x$的项，首先通过移项把含$x$的项统一移到等号左侧，常数项保留在右侧，再合并同类项，最后将$x$的系数化为1即可得到解。
对于第(2)题，方程含有分母，先找到分母5和4的最小公倍数20，方程两边同时乘20消去分母，再依次完成去括号、移项、合并同类项的操作就能求出解，注意去分母时不要漏乘无分母的常数项，移项时要改变符号。
【解析】
(1) 移项，得 $5x-3x=4$.
合并同类项，得 $2x=4$.
系数化为1，得 $x=2$.
(2) 去分母（方程两边乘 20），得 $4(4x-1)-20=5(3x-2)$.
去括号，得 $16x-4-20=15x-10$.
移项，得 $16x-15x=-10+4+20$.
合并同类项，得 $x=14$.
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=14$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，重点考察解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意规避去分母漏乘整数项、移项未变号等常见错误，熟练掌握基础步骤能为后续复杂方程求解打好基础。
【难度系数】
0.9
