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【例2】计算：
(1)$\frac{2}{5} ÷ (-2\frac{2}{5}) - \frac{8}{21} × (-1\frac{3}{4}) - 0.25$；
(2)$(-3) - [-5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2)]$.
解:
【规律方法】
有理数的加、减、乘、除混合运算的方法
严格按运算顺序计算:先算乘除,再算加减;如果有括号,先算括号内的.注意同级运算中的先后顺序.
(1)$\frac{2}{5} ÷ (-2\frac{2}{5}) - \frac{8}{21} × (-1\frac{3}{4}) - 0.25$；
(2)$(-3) - [-5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2)]$.
解:
【规律方法】
有理数的加、减、乘、除混合运算的方法
严格按运算顺序计算:先算乘除,再算加减;如果有括号,先算括号内的.注意同级运算中的先后顺序.
答案
(1)$\frac{1}{4}$. (2)$2\frac{11}{25}$.
解析
【分析】
这两道题属于有理数加减乘除混合运算题，解题时先明确运算规则：先算乘除，后算加减，有括号时先算括号内的，同级运算从左到右依次计算。计算前先将所有带分数、小数统一转化为分数形式，方便约分计算，全程要注意符号判断：同号相乘除得正，异号相乘除得负。
第(1)题解题思路：先把式中的带分数、小数化为假分数，分别计算除法和乘法运算，再将所得结果通分后进行加减运算即可。
第(2)题解题思路：按照从内到外的顺序计算括号，先算小括号内的乘法，再算小括号内的减法，接着计算除法，再算中括号内的加法，最后计算括号外的减法即可。
【解析】
(1) 先统一数的形式：$-2\frac{2}{5}=-\frac{12}{5}$，$-1\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$，$0.25=\frac{1}{4}$
原式$=\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5}) - \frac{8}{21}×(-\frac{7}{4}) - \frac{1}{4}$
先计算乘除运算：
$=\frac{2}{5}×(-\frac{5}{12}) + \frac{8}{21}×\frac{7}{4} - \frac{1}{4}$
约分后得：
$=-\frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$
通分（公分母为12）计算：
$=-\frac{2}{12} + \frac{8}{12} - \frac{3}{12}$
$=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
(2) 先计算小括号内的乘法：$0.2×\frac{3}{5}=\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{3}{25}$
原式$=(-3) - [-5 + (1 - \frac{3}{25})÷(-2)]$
计算小括号内的减法：
$=(-3) - [-5 + \frac{22}{25}÷(-2)]$
计算除法运算：
$=(-3) - [-5 + \frac{22}{25}×(-\frac{1}{2})]$
$=(-3) - [-5 - \frac{11}{25}]$
计算中括号内的加法：
$=(-3) - (-\frac{136}{25})$
去括号后计算加减：
$=-3 + \frac{136}{25}$
$=-\frac{75}{25} + \frac{136}{25}=\frac{61}{25}=2\frac{11}{25}$
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$2\frac{11}{25}$
【知识点】
有理数混合运算，运算顺序，分数小数互化
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的计算能力，解题时需严格遵循运算顺序，计算过程中要格外注意符号的判断，约分、通分步骤要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
这两道题属于有理数加减乘除混合运算题，解题时先明确运算规则：先算乘除，后算加减，有括号时先算括号内的，同级运算从左到右依次计算。计算前先将所有带分数、小数统一转化为分数形式，方便约分计算，全程要注意符号判断：同号相乘除得正，异号相乘除得负。
第(1)题解题思路：先把式中的带分数、小数化为假分数，分别计算除法和乘法运算，再将所得结果通分后进行加减运算即可。
第(2)题解题思路：按照从内到外的顺序计算括号，先算小括号内的乘法，再算小括号内的减法，接着计算除法，再算中括号内的加法，最后计算括号外的减法即可。
【解析】
(1) 先统一数的形式：$-2\frac{2}{5}=-\frac{12}{5}$，$-1\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$，$0.25=\frac{1}{4}$
原式$=\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5}) - \frac{8}{21}×(-\frac{7}{4}) - \frac{1}{4}$
先计算乘除运算：
$=\frac{2}{5}×(-\frac{5}{12}) + \frac{8}{21}×\frac{7}{4} - \frac{1}{4}$
约分后得：
$=-\frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$
通分（公分母为12）计算：
$=-\frac{2}{12} + \frac{8}{12} - \frac{3}{12}$
$=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
(2) 先计算小括号内的乘法：$0.2×\frac{3}{5}=\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{3}{25}$
原式$=(-3) - [-5 + (1 - \frac{3}{25})÷(-2)]$
计算小括号内的减法：
$=(-3) - [-5 + \frac{22}{25}÷(-2)]$
计算除法运算：
$=(-3) - [-5 + \frac{22}{25}×(-\frac{1}{2})]$
$=(-3) - [-5 - \frac{11}{25}]$
计算中括号内的加法：
$=(-3) - (-\frac{136}{25})$
去括号后计算加减：
$=-3 + \frac{136}{25}$
$=-\frac{75}{25} + \frac{136}{25}=\frac{61}{25}=2\frac{11}{25}$
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$2\frac{11}{25}$
【知识点】
有理数混合运算，运算顺序，分数小数互化
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的计算能力，解题时需严格遵循运算顺序，计算过程中要格外注意符号的判断，约分、通分步骤要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
2.计算：
(1)$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12})÷\dfrac{1}{36}$；
(2)$2\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4}÷(-9+19)$。
(1)$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12})÷\dfrac{1}{36}$；
(2)$2\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4}÷(-9+19)$。
答案
(1)$-26$. (2)$\frac{1}{16}$.
解析
【分析】
对于(1)题，首先观察到除数是$\frac{1}{36}$，根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，可将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的和更简便，还能减少通分出错的概率。对于(2)题，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的加法，再把带分数化为假分数，同级乘除运算按从左到右的顺序依次计算即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12})× 36$
根据乘法分配律展开：
$=-\dfrac{3}{4}× 36 - \dfrac{5}{9}× 36 + \dfrac{7}{12}× 36$
分别计算每一项：
$=-27 - 20 + 21$
$=-26$
(2) 先计算括号内的运算：$-9+19=10$，再把带分数$2\dfrac{1}{2}$化为假分数$\dfrac{5}{2}$，则：
原式$=\dfrac{5}{2}× \dfrac{1}{4}÷ 10$
$=\dfrac{5}{2}× \dfrac{1}{4}× \dfrac{1}{10}$
约分计算得：
$=\dfrac{1}{16}$
【答案】
(1)$-26$；(2)$\dfrac{1}{16}$
【知识点】
有理数乘除运算法则；乘法分配律；有理数混合运算顺序
【点评】
这两道题是有理数混合运算的常规题型，第(1)题合理运用乘法分配律可大幅简化计算，降低出错率；第(2)题要注意严格遵守运算顺序，带分数参与乘除运算时先化为假分数，计算最后结果注意约分，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
对于(1)题，首先观察到除数是$\frac{1}{36}$，根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，可将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的和更简便，还能减少通分出错的概率。对于(2)题，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的加法，再把带分数化为假分数，同级乘除运算按从左到右的顺序依次计算即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12})× 36$
根据乘法分配律展开：
$=-\dfrac{3}{4}× 36 - \dfrac{5}{9}× 36 + \dfrac{7}{12}× 36$
分别计算每一项：
$=-27 - 20 + 21$
$=-26$
(2) 先计算括号内的运算：$-9+19=10$，再把带分数$2\dfrac{1}{2}$化为假分数$\dfrac{5}{2}$，则：
原式$=\dfrac{5}{2}× \dfrac{1}{4}÷ 10$
$=\dfrac{5}{2}× \dfrac{1}{4}× \dfrac{1}{10}$
约分计算得：
$=\dfrac{1}{16}$
【答案】
(1)$-26$；(2)$\dfrac{1}{16}$
【知识点】
有理数乘除运算法则；乘法分配律；有理数混合运算顺序
【点评】
这两道题是有理数混合运算的常规题型，第(1)题合理运用乘法分配律可大幅简化计算，降低出错率；第(2)题要注意严格遵守运算顺序，带分数参与乘除运算时先化为假分数，计算最后结果注意约分，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
【例3】今抽查10袋精盐，每袋精盐的标准质量是100 g，超出部分记为正，不足部分记为负，称后的记录(单位:g)如下表：
精盐的袋数 2 3 3 1 1
记录 +1 0 +1.5 -2
求这10袋盐的总质量.
解:
精盐的袋数 2 3 3 1 1
记录 +1 0 +1.5 -2
求这10袋盐的总质量.
解:
答案
这10袋盐一共重1 000 g.
解析
【分析】
要计算10袋盐的总质量，可分两步思考：第一步先算10袋盐的标准总质量，每袋标准是100g，直接用袋数乘单袋标准质量即可；第二步计算所有袋与标准质量的总偏差，题目中的正负数表示单袋超出或不足的质量，用每类偏差对应的袋数乘偏差值，再把所有结果相加得到总偏差；最后用标准总质量加上总偏差，就能得到实际总质量，计算时要注意有理数的运算符号规则。
【解析】
解：首先计算10袋盐的标准总质量：
$10 × 100 = 1000\ \mathrm{g}$
再计算10袋盐与标准质量的总偏差：
$2×(+1) + 3×0 + 3×(-0.5) + 1×(+1.5) +1×(-2)$
$=2 + 0 -1.5 +1.5 -2$
$=0\ \mathrm{g}$
因此10袋盐的实际总质量为：
$1000 + 0 = 1000\ \mathrm{g}$
【答案】
这10袋盐一共重1000 g.
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的质量检测场景，考查正负数的意义和有理数的运算能力，解题的核心是理解正负数表示的实际含义，准确计算偏差总和，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要计算10袋盐的总质量，可分两步思考：第一步先算10袋盐的标准总质量，每袋标准是100g，直接用袋数乘单袋标准质量即可；第二步计算所有袋与标准质量的总偏差，题目中的正负数表示单袋超出或不足的质量，用每类偏差对应的袋数乘偏差值，再把所有结果相加得到总偏差；最后用标准总质量加上总偏差，就能得到实际总质量，计算时要注意有理数的运算符号规则。
【解析】
解：首先计算10袋盐的标准总质量：
$10 × 100 = 1000\ \mathrm{g}$
再计算10袋盐与标准质量的总偏差：
$2×(+1) + 3×0 + 3×(-0.5) + 1×(+1.5) +1×(-2)$
$=2 + 0 -1.5 +1.5 -2$
$=0\ \mathrm{g}$
因此10袋盐的实际总质量为：
$1000 + 0 = 1000\ \mathrm{g}$
【答案】
这10袋盐一共重1000 g.
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的质量检测场景，考查正负数的意义和有理数的运算能力，解题的核心是理解正负数表示的实际含义，准确计算偏差总和，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3.高度每增加1 km，气温大约降低6 ℃，已知某山山顶的温度是－37 ℃，地面温度是5 ℃，则山顶的高度大约是
7
km.答案
7
解析
【分析】
解题时先明确温度变化和高度的对应关系：高度每增加1km，气温降低6℃。首先需要计算地面与山顶的总温度差，再看总温差里包含多少个6℃，对应的数值就是山顶的高度。计算温差时注意山顶温度为负数，要正确运用有理数减法规则运算。
【解析】
1. 计算地面与山顶的温度差：
地面温度为5℃，山顶温度为-37℃，温度差为
$5 - (-37) = 5 + 37 = 42(℃)$
2. 计算山顶高度：
已知每降低6℃对应高度增加1km，因此山顶高度为
$42 ÷ 6 = 7(km)$
【答案】
7
【知识点】
有理数减法，有理数除法，正负数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的有理数运算应用题，核心是将实际问题转化为数学运算，重点考察有理数运算的准确性，只要理清温度差和高度的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确温度变化和高度的对应关系：高度每增加1km，气温降低6℃。首先需要计算地面与山顶的总温度差，再看总温差里包含多少个6℃，对应的数值就是山顶的高度。计算温差时注意山顶温度为负数，要正确运用有理数减法规则运算。
【解析】
1. 计算地面与山顶的温度差：
地面温度为5℃，山顶温度为-37℃，温度差为
$5 - (-37) = 5 + 37 = 42(℃)$
2. 计算山顶高度：
已知每降低6℃对应高度增加1km，因此山顶高度为
$42 ÷ 6 = 7(km)$
【答案】
7
【知识点】
有理数减法，有理数除法，正负数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的有理数运算应用题，核心是将实际问题转化为数学运算，重点考察有理数运算的准确性，只要理清温度差和高度的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
知识建构
综合与实践——知识建构与应用
“24点”游戏
某班分组开展“24点”游戏的实践活动.
【游戏规则】
“24点”游戏规则:拿一副扑克牌,抽去大小王后(J表示11,Q表示12,K表示13,A表示1),任意抽取4张牌,用有理数的加、减、乘、除运算(可加括号)把牌面上的数算成24,每张牌必须用且只能用一次.
现第一组学生从中抽出四张写着不同数字的扑克牌,如图.为了使运算结果为24,其中的一个方法是
【拓展探究】
第二、三两个小组的学生从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行加、减、乘、除混合运算(每张牌有且仅用一次,可以加括号),使得运算结果为24或-24.其中红色扑克牌表示负数,黑色扑克牌表示正数,一副去掉大小王的扑克牌一半是红
色(红桃和方块),一半是黑色(黑桃,梅花).
(1)第二小组抽到了黑桃3,黑桃7,红桃7,方块7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
(2)第三小组抽到了黑桃3,黑桃7,梅花3,梅花7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
综合与实践——知识建构与应用
“24点”游戏
某班分组开展“24点”游戏的实践活动.
【游戏规则】
“24点”游戏规则:拿一副扑克牌,抽去大小王后(J表示11,Q表示12,K表示13,A表示1),任意抽取4张牌,用有理数的加、减、乘、除运算(可加括号)把牌面上的数算成24,每张牌必须用且只能用一次.
现第一组学生从中抽出四张写着不同数字的扑克牌,如图.为了使运算结果为24,其中的一个方法是
6×8÷(3−1)(答案不唯一)
=24.【拓展探究】
第二、三两个小组的学生从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行加、减、乘、除混合运算(每张牌有且仅用一次,可以加括号),使得运算结果为24或-24.其中红色扑克牌表示负数,黑色扑克牌表示正数,一副去掉大小王的扑克牌一半是红
色(红桃和方块),一半是黑色(黑桃,梅花).
(1)第二小组抽到了黑桃3,黑桃7,红桃7,方块7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
(2)第三小组抽到了黑桃3,黑桃7,梅花3,梅花7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
答案
【游戏规则】$6×8÷(3-1)$(答案不唯一)
【拓展探究】(1)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则$3×[7+(-7)÷(-7)]=3×8=24$.
(2)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则$7×(3+3÷7)=24$.
【拓展探究】(1)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则$3×[7+(-7)÷(-7)]=3×8=24$.
(2)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则$7×(3+3÷7)=24$.
解析
【分析】
解决“24点”问题的核心思路：第一步先明确所有可使用的数字，拓展探究部分要先根据牌的颜色将牌面数字转换为对应的正负数；第二步结合24的常见运算组合（如3×8、4×6、乘除后凑出24的相关组合等），通过加、减、乘、除运算，合理添加括号调整运算顺序，凑出结果为24的运算式，注意每个数字只能使用一次。
基础题中给出的4个数字为1、3、6、8，可以先凑出乘积为48的6×8，再凑出除数2（即3-1），用48÷2即可得到24。
拓展探究(1)转换后数字为3、7、-7、-7，可先利用两个-7做除法得1，与7相加得8，再用3×8得到24。
拓展探究(2)转换后数字为3、7、3、7，可先算3÷7得$\frac{3}{7}$，与3相加得$\frac{24}{7}$，再乘7即可得到24。
【解析】
基础题
已知4个可用数字为1、3、6、8，按照有理数混合运算顺序：先算括号内的$3-1=2$，再算$6×8=48$，最后算$48÷2=24$，运算式符合每张牌只用一次的规则，式子成立，答案不唯一。
拓展探究
(1) 先转换牌面数字：黑色牌为正，红色牌为负，因此四个数字为3、7、-7、-7。
按照运算顺序计算：先算括号内的除法$(-7)÷(-7)=1$，再算括号内的加法$7+1=8$，最后算乘法$3×8=24$，完整运算式为$3×[7+(-7)÷(-7)]=24$，符合游戏规则，因此可以凑成24点。
(2) 转换牌面数字：四张均为黑色牌，四个数字为3、7、3、7。
按照运算顺序计算：先算括号内的除法$3÷7=\frac{3}{7}$，再算括号内的加法$3+\frac{3}{7}=\frac{24}{7}$，最后算乘法$7×\frac{24}{7}=24$，完整运算式为$7×(3+3÷7)=24$，符合游戏规则，因此可以凑成24点。
【答案】
【游戏规则】$6×8÷(3-1)$(答案不唯一)
【拓展探究】(1)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则$3×[7+(-7)÷(-7)]=3×8=24$.
(2)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则$7×(3+3÷7)=24$.
【知识点】
有理数四则混合运算；符号运算；括号的运用
【点评】
本题以趣味“24点”游戏为载体，考查有理数混合运算规则的灵活运用，需要结合数字特点尝试不同运算组合，合理运用括号调整运算顺序，能够很好地锻炼数字敏感度和运算能力，题型灵活有趣。
【难度系数】
0.6
解决“24点”问题的核心思路：第一步先明确所有可使用的数字，拓展探究部分要先根据牌的颜色将牌面数字转换为对应的正负数；第二步结合24的常见运算组合（如3×8、4×6、乘除后凑出24的相关组合等），通过加、减、乘、除运算，合理添加括号调整运算顺序，凑出结果为24的运算式，注意每个数字只能使用一次。
基础题中给出的4个数字为1、3、6、8，可以先凑出乘积为48的6×8，再凑出除数2（即3-1），用48÷2即可得到24。
拓展探究(1)转换后数字为3、7、-7、-7，可先利用两个-7做除法得1，与7相加得8，再用3×8得到24。
拓展探究(2)转换后数字为3、7、3、7，可先算3÷7得$\frac{3}{7}$，与3相加得$\frac{24}{7}$，再乘7即可得到24。
【解析】
基础题
已知4个可用数字为1、3、6、8，按照有理数混合运算顺序：先算括号内的$3-1=2$，再算$6×8=48$，最后算$48÷2=24$，运算式符合每张牌只用一次的规则，式子成立，答案不唯一。
拓展探究
(1) 先转换牌面数字：黑色牌为正，红色牌为负，因此四个数字为3、7、-7、-7。
按照运算顺序计算：先算括号内的除法$(-7)÷(-7)=1$，再算括号内的加法$7+1=8$，最后算乘法$3×8=24$，完整运算式为$3×[7+(-7)÷(-7)]=24$，符合游戏规则，因此可以凑成24点。
(2) 转换牌面数字：四张均为黑色牌，四个数字为3、7、3、7。
按照运算顺序计算：先算括号内的除法$3÷7=\frac{3}{7}$，再算括号内的加法$3+\frac{3}{7}=\frac{24}{7}$，最后算乘法$7×\frac{24}{7}=24$，完整运算式为$7×(3+3÷7)=24$，符合游戏规则，因此可以凑成24点。
【答案】
【游戏规则】$6×8÷(3-1)$(答案不唯一)
【拓展探究】(1)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则$3×[7+(-7)÷(-7)]=3×8=24$.
(2)能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则$7×(3+3÷7)=24$.
【知识点】
有理数四则混合运算；符号运算；括号的运用
【点评】
本题以趣味“24点”游戏为载体，考查有理数混合运算规则的灵活运用，需要结合数字特点尝试不同运算组合，合理运用括号调整运算顺序，能够很好地锻炼数字敏感度和运算能力，题型灵活有趣。
【难度系数】
0.6
