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15. (★★)对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值,如:$\max\{1,3\}=3$.按照这个规定,方程$\max\{\dfrac{1}{x}, -\dfrac{1}{x}\} = \dfrac{3}{4-x}$的解为
【】
A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=1$或$x=-2$
D.$x=1$或$x=2$
【】
A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=1$或$x=-2$
D.$x=1$或$x=2$
答案
C
解析
【分析】
首先理解新定义符号$\max\{a,b\}$的含义，即取两个数中的较大值。观察$\max\{\frac{1}{x}, -\frac{1}{x}\}$，需根据$x$的正负性分类讨论：当$x＞0$时，$\frac{1}{x}$为正、$-\frac{1}{x}$为负，较大值为$\frac{1}{x}$；当$x＜0$时，$-\frac{1}{x}$为正、$\frac{1}{x}$为负，较大值为$-\frac{1}{x}$。同时注意分式分母不为0的隐含条件（$x≠0$，$4-x≠0$即$x≠4$），分别列出两种情况对应的分式方程，求解后检验解是否符合对应分类的$x$范围、是否为分式方程的增根，最终得到所有解。
【解析】
根据新定义，分两种情况讨论：
1. 当$\boldsymbol{x＞0}$时，$\frac{1}{x} ＞ -\frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x}, -\frac{1}{x}\} = \frac{1}{x}$，
原方程化为：$\frac{1}{x} = \frac{3}{4-x}$，
交叉相乘得：$4 - x = 3x$，
移项合并同类项得：$4x = 4$，
解得：$x=1$，
检验：当$x=1$时，$x≠0$，$4-x=3≠0$，且$1＞0$，符合题意，故$x=1$是原方程的解。
2. 当$\boldsymbol{x＜0}$时，$-\frac{1}{x} ＞ \frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x}, -\frac{1}{x}\} = -\frac{1}{x}$，
原方程化为：$-\frac{1}{x} = \frac{3}{4-x}$，
交叉相乘得：$-(4 - x) = 3x$，
去括号得：$-4 + x = 3x$，
移项合并同类项得：$2x = -4$，
解得：$x=-2$，
检验：当$x=-2$时，$x≠0$，$4-x=6≠0$，且$-2＜0$，符合题意，故$x=-2$是原方程的解。
综上，原方程的解为$x=1$或$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、分式方程求解、分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合，重点考查分类讨论思想和分式方程的解法，解题的关键是根据新定义规则对$x$的正负分类，将原方程转化为常规分式方程，求解后注意既要检验是否为分式方程的增根，也要验证是否符合对应分类的取值范围。
【难度系数】
0.7
首先理解新定义符号$\max\{a,b\}$的含义，即取两个数中的较大值。观察$\max\{\frac{1}{x}, -\frac{1}{x}\}$，需根据$x$的正负性分类讨论：当$x＞0$时，$\frac{1}{x}$为正、$-\frac{1}{x}$为负，较大值为$\frac{1}{x}$；当$x＜0$时，$-\frac{1}{x}$为正、$\frac{1}{x}$为负，较大值为$-\frac{1}{x}$。同时注意分式分母不为0的隐含条件（$x≠0$，$4-x≠0$即$x≠4$），分别列出两种情况对应的分式方程，求解后检验解是否符合对应分类的$x$范围、是否为分式方程的增根，最终得到所有解。
【解析】
根据新定义，分两种情况讨论：
1. 当$\boldsymbol{x＞0}$时，$\frac{1}{x} ＞ -\frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x}, -\frac{1}{x}\} = \frac{1}{x}$，
原方程化为：$\frac{1}{x} = \frac{3}{4-x}$，
交叉相乘得：$4 - x = 3x$，
移项合并同类项得：$4x = 4$，
解得：$x=1$，
检验：当$x=1$时，$x≠0$，$4-x=3≠0$，且$1＞0$，符合题意，故$x=1$是原方程的解。
2. 当$\boldsymbol{x＜0}$时，$-\frac{1}{x} ＞ \frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x}, -\frac{1}{x}\} = -\frac{1}{x}$，
原方程化为：$-\frac{1}{x} = \frac{3}{4-x}$，
交叉相乘得：$-(4 - x) = 3x$，
去括号得：$-4 + x = 3x$，
移项合并同类项得：$2x = -4$，
解得：$x=-2$，
检验：当$x=-2$时，$x≠0$，$4-x=6≠0$，且$-2＜0$，符合题意，故$x=-2$是原方程的解。
综上，原方程的解为$x=1$或$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、分式方程求解、分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合，重点考查分类讨论思想和分式方程的解法，解题的关键是根据新定义规则对$x$的正负分类，将原方程转化为常规分式方程，求解后注意既要检验是否为分式方程的增根，也要验证是否符合对应分类的取值范围。
【难度系数】
0.7
16. (★★)若分式方程$\frac{mx}{1-x}=3-\frac{x}{x-1}$的解为正整数，则整数$m$的值为。
答案
解：方程两边同乘$(x-1)$，约去分母，得
$-mx = 3(x-1) - x$
整理得：
$(m+2)x = 3$
解得：
$x = \frac{3}{m+2}$
∵原分式方程的解为正整数，且分母不为0，即$x ≠ 1$，
∴$\frac{3}{m+2}$是正整数，且$\frac{3}{m+2} ≠ 1$。
∵3的正整数因数只有1和3，排除$m+2=3$（对应$x=1$为增根），
∴$m+2=1$，解得$m=-1$。
经检验，$m=-1$时，原方程的解为$x=3$，是正整数，符合要求。
故整数$m$的值为$\boldsymbol{-1}$。
$-mx = 3(x-1) - x$
整理得：
$(m+2)x = 3$
解得：
$x = \frac{3}{m+2}$
∵原分式方程的解为正整数，且分母不为0，即$x ≠ 1$，
∴$\frac{3}{m+2}$是正整数，且$\frac{3}{m+2} ≠ 1$。
∵3的正整数因数只有1和3，排除$m+2=3$（对应$x=1$为增根），
∴$m+2=1$，解得$m=-1$。
经检验，$m=-1$时，原方程的解为$x=3$，是正整数，符合要求。
故整数$m$的值为$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
求解这类含参数的分式方程问题，思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，把参数当作已知数，求出用参数m表示的方程的解；第二步结合题目“解为正整数”的要求，利用正整数的因数特征分析m的可能取值；第三步切记分式方程分母不能为0，要排除解为增根x=1对应的m值，最后验证剩余取值是否符合要求即可。
【解析】
解：方程两边同乘$(x-1)$，约去分母，得
$-mx = 3(x-1) - x$
整理得：
$(m+2)x = 3$
解得：
$x = \frac{3}{m+2}$
∵原分式方程的解为正整数，且分母不为0，即$x ≠ 1$，
∴$\frac{3}{m+2}$是正整数，且$\frac{3}{m+2} ≠ 1$。
∵3的正整数因数只有1和3，排除$m+2=3$（对应$x=1$为增根，不符合要求），
∴$m+2=1$，解得$m=-1$。
经检验，$m=-1$时，原方程的解为$x=3$，是正整数，符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.分式方程的解法
2.分式方程的增根
3.含参方程整数解求值
【点评】
本题是分式方程含参求值的典型题型，解题核心是先将参数视为已知数求解方程，再结合限制条件筛选参数，易错点是容易忽略分式方程分母不为零的要求，漏排除增根对应的参数值，解题后要注意检验取值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
求解这类含参数的分式方程问题，思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，把参数当作已知数，求出用参数m表示的方程的解；第二步结合题目“解为正整数”的要求，利用正整数的因数特征分析m的可能取值；第三步切记分式方程分母不能为0，要排除解为增根x=1对应的m值，最后验证剩余取值是否符合要求即可。
【解析】
解：方程两边同乘$(x-1)$，约去分母，得
$-mx = 3(x-1) - x$
整理得：
$(m+2)x = 3$
解得：
$x = \frac{3}{m+2}$
∵原分式方程的解为正整数，且分母不为0，即$x ≠ 1$，
∴$\frac{3}{m+2}$是正整数，且$\frac{3}{m+2} ≠ 1$。
∵3的正整数因数只有1和3，排除$m+2=3$（对应$x=1$为增根，不符合要求），
∴$m+2=1$，解得$m=-1$。
经检验，$m=-1$时，原方程的解为$x=3$，是正整数，符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.分式方程的解法
2.分式方程的增根
3.含参方程整数解求值
【点评】
本题是分式方程含参求值的典型题型，解题核心是先将参数视为已知数求解方程，再结合限制条件筛选参数，易错点是容易忽略分式方程分母不为零的要求，漏排除增根对应的参数值，解题后要注意检验取值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
17. (★★★)阅读材料:
关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c$,
$x_2=\frac{1}{c}$;
关于$x$的方程$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$(可变形为
$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$)的解为$x_1=c,x_2=\frac{-1}{c}$;
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c$,
$x_2=\frac{2}{c}$;
关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解为$x_1=c$,
$x_2=\frac{3}{c}$;
……
根据以上材料,解答下列问题:
(1)①方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=$, $x_2=$;
②方程$x-1+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=$, $x_2=$.
(2)解关于$x$的方程:$x-\frac{3}{x-2}=a-\frac{3}{a-2}$ $(a≠2)$.
关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c$,
$x_2=\frac{1}{c}$;
关于$x$的方程$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$(可变形为
$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$)的解为$x_1=c,x_2=\frac{-1}{c}$;
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c$,
$x_2=\frac{2}{c}$;
关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解为$x_1=c$,
$x_2=\frac{3}{c}$;
……
根据以上材料,解答下列问题:
(1)①方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=$, $x_2=$;
②方程$x-1+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=$, $x_2=$.
(2)解关于$x$的方程:$x-\frac{3}{x-2}=a-\frac{3}{a-2}$ $(a≠2)$.
答案
解：
(1)① 根据题中规律，方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$；
② 令$y=x-1$，原方程变形为$y+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{2}$，解得$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$，
即$x-1=2$或$x-1=\frac{1}{2}$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{3}{2}$。
(2) 方程两边同时减2，变形得：
$x-2 - \frac{3}{x-2} = a-2 - \frac{3}{a-2}$
整理为：
$(x-2) + \frac{-3}{x-2} = (a-2) + \frac{-3}{a-2}$
根据题中规律可得：
$x-2 = a-2$ 或 $x-2 = \frac{-3}{a-2}$
分别求解：
由$x-2=a-2$得$x_1=a$；
由$x-2=\frac{-3}{a-2}$得$x_2=2 - \frac{3}{a-2}=\frac{2a-7}{a-2}$。
检验：当$x=a$时，$x-2=a-2≠0$，是原方程的解；
当$x=\frac{2a-7}{a-2}$时，$x-2=\frac{-3}{a-2}≠0$，是原方程的解。
所以原方程的解为$x_1=a$，$x_2=\frac{2a-7}{a-2}$。
(1)① 根据题中规律，方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$；
② 令$y=x-1$，原方程变形为$y+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{2}$，解得$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$，
即$x-1=2$或$x-1=\frac{1}{2}$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{3}{2}$。
(2) 方程两边同时减2，变形得：
$x-2 - \frac{3}{x-2} = a-2 - \frac{3}{a-2}$
整理为：
$(x-2) + \frac{-3}{x-2} = (a-2) + \frac{-3}{a-2}$
根据题中规律可得：
$x-2 = a-2$ 或 $x-2 = \frac{-3}{a-2}$
分别求解：
由$x-2=a-2$得$x_1=a$；
由$x-2=\frac{-3}{a-2}$得$x_2=2 - \frac{3}{a-2}=\frac{2a-7}{a-2}$。
检验：当$x=a$时，$x-2=a-2≠0$，是原方程的解；
当$x=\frac{2a-7}{a-2}$时，$x-2=\frac{-3}{a-2}≠0$，是原方程的解。
所以原方程的解为$x_1=a$，$x_2=\frac{2a-7}{a-2}$。
解析
【分析】
本题是规律型分式方程求解问题，首先需从题干给出的多个方程和解的示例中，总结出通用规律：若方程为$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$，则解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。解题思路如下：(1)①直接套用上述规律即可得到解；②将$x-1$看作整体，先套用规律求$x-1$的值，再计算$x$；(2)先对原方程变形，左右两边同时减2，将$x-2$和$a-2$看作整体，转化为符合规律的方程形式，再套用规律求解，最后检验分式方程的根是否有意义。
【解析】
(1)① 根据题干总结的规律，方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$对应$c=2$、$m=1$，因此解为$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$。
② 令$y=x-1$，原方程变形为$y+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{2}$，根据规律得$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$，即：
$x-1=2$ 或 $x-1=\frac{1}{2}$
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{3}{2}$。
(2) 原方程左右两边同时减2，变形得：
$x-2 - \frac{3}{x-2} = a-2 - \frac{3}{a-2}$
整理为符合规律的形式：
$(x-2) + \frac{-3}{x-2} = (a-2) + \frac{-3}{a-2}$
根据规律可得：
$x-2 = a-2$ 或 $x-2 = \frac{-3}{a-2}$
分别求解：
由$x-2=a-2$，得$x_1=a$；
由$x-2=\frac{-3}{a-2}$，得$x_2=2 - \frac{3}{a-2}=\frac{2(a-2)-3}{a-2}=\frac{2a-7}{a-2}$。
检验：当$x=a$时，$x-2=a-2≠0$（已知$a≠2$），是原方程的解；
当$x=\frac{2a-7}{a-2}$时，$x-2=\frac{-3}{a-2}≠0$，是原方程的解。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；②$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
(2)原方程的解为$\boldsymbol{x_1=a}$，$\boldsymbol{x_2=\frac{2a-7}{a-2}}$
【知识点】
1. 分式方程求解 2. 换元法 3. 规律探究
【点评】
本题属于材料阅读类题型，既考查学生从已知案例中归纳通用规律的能力，也考查知识迁移应用的能力，解题的关键是通过换元或变形将待解方程转化为符合规律的形式，同时要注意分式方程求解后必须检验根的有效性。
【难度系数】
0.6
本题是规律型分式方程求解问题，首先需从题干给出的多个方程和解的示例中，总结出通用规律：若方程为$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$，则解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。解题思路如下：(1)①直接套用上述规律即可得到解；②将$x-1$看作整体，先套用规律求$x-1$的值，再计算$x$；(2)先对原方程变形，左右两边同时减2，将$x-2$和$a-2$看作整体，转化为符合规律的方程形式，再套用规律求解，最后检验分式方程的根是否有意义。
【解析】
(1)① 根据题干总结的规律，方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$对应$c=2$、$m=1$，因此解为$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$。
② 令$y=x-1$，原方程变形为$y+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{2}$，根据规律得$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$，即：
$x-1=2$ 或 $x-1=\frac{1}{2}$
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{3}{2}$。
(2) 原方程左右两边同时减2，变形得：
$x-2 - \frac{3}{x-2} = a-2 - \frac{3}{a-2}$
整理为符合规律的形式：
$(x-2) + \frac{-3}{x-2} = (a-2) + \frac{-3}{a-2}$
根据规律可得：
$x-2 = a-2$ 或 $x-2 = \frac{-3}{a-2}$
分别求解：
由$x-2=a-2$，得$x_1=a$；
由$x-2=\frac{-3}{a-2}$，得$x_2=2 - \frac{3}{a-2}=\frac{2(a-2)-3}{a-2}=\frac{2a-7}{a-2}$。
检验：当$x=a$时，$x-2=a-2≠0$（已知$a≠2$），是原方程的解；
当$x=\frac{2a-7}{a-2}$时，$x-2=\frac{-3}{a-2}≠0$，是原方程的解。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；②$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
(2)原方程的解为$\boldsymbol{x_1=a}$，$\boldsymbol{x_2=\frac{2a-7}{a-2}}$
【知识点】
1. 分式方程求解 2. 换元法 3. 规律探究
【点评】
本题属于材料阅读类题型，既考查学生从已知案例中归纳通用规律的能力，也考查知识迁移应用的能力，解题的关键是通过换元或变形将待解方程转化为符合规律的形式，同时要注意分式方程求解后必须检验根的有效性。
【难度系数】
0.6
