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1. (★)某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书. 工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:
方案A:甲队单独完成这项工程,刚好如期完成;
方案B:乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天;
方案C:若甲、乙两队合作4天后,余下的工程由乙队单独做,也正好如期完成.
设甲队单独完成这项工程需$x$天,则乙队单独完成这项工程需天,方案C中,甲队的工作总量是,乙队的工作总量是.
甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天?根据题意可列方程.
方案A:甲队单独完成这项工程,刚好如期完成;
方案B:乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天;
方案C:若甲、乙两队合作4天后,余下的工程由乙队单独做,也正好如期完成.
设甲队单独完成这项工程需$x$天,则乙队单独完成这项工程需天,方案C中,甲队的工作总量是,乙队的工作总量是.
甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天?根据题意可列方程.
答案
解：
乙队单独完成这项工程需$\boldsymbol{(x+5)}$天，
方案C中，甲队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$，
乙队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{x}{x+5}}$，
根据题意可列方程：$\boldsymbol{\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1}$
解方程：
方程两边同乘$x(x+5)$，得：
$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
去括号，得：
$4x + 20 + x^2 = x^2 + 5x$
移项、合并同类项，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
此时$x+5=20+5=25$。
答：甲队单独完成这项工程需要20天，乙队单独完成这项工程需要25天。
乙队单独完成这项工程需$\boldsymbol{(x+5)}$天，
方案C中，甲队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$，
乙队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{x}{x+5}}$，
根据题意可列方程：$\boldsymbol{\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1}$
解方程：
方程两边同乘$x(x+5)$，得：
$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
去括号，得：
$4x + 20 + x^2 = x^2 + 5x$
移项、合并同类项，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
此时$x+5=20+5=25$。
答：甲队单独完成这项工程需要20天，乙队单独完成这项工程需要25天。
解析
【分析】
解决本题首先要明确工程问题的核心数量关系：通常将工作总量设为1，工作效率=1÷单独完成工作的总时间，总工作量=各部分工作量之和。①已知甲单独完成需x天且刚好如期完工，说明规定工期就是x天，乙单独完成比规定日期多5天，因此乙单独完成的时间为规定工期加5天；②方案C中甲仅参与了4天合作，用甲的工作效率乘工作时长4天即可得到甲的工作总量；③方案C总工期仍为规定的x天，因此乙全程共工作了x天，用乙的工作效率乘x天即可得到乙的工作总量；④总工作量为1，因此甲的工作量加乙的工作量等于1，据此列分式方程，再按去分母、去括号、移项合并、求解、检验的步骤解方程即可，注意分式方程的解必须验证是否符合实际意义。
【解析】
1. 填空中的推导：
因为规定工期等于甲单独完成的时间x天，乙单独完成比规定日期多5天，因此乙单独完成需$(x+5)$天；
甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，方案C中甲工作了4天，因此甲的工作总量为$\frac{4}{x}$；
乙的工作效率为$\frac{1}{x+5}$，方案C中乙一共工作了x天，因此乙的工作总量为$\frac{x}{x+5}$；
根据总工作量为1，可列方程：$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$。
2. 解方程过程：
方程两边同乘最简公分母$x(x+5)$，得：
$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
去括号，得：
$4x + 20 + x^2 = x^2 + 5x$
移项、合并同类项，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)=20×25=500≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合工程实际意义。
则乙单独完成的时间为$x+5=20+5=25$（天）。
【答案】
乙队单独完成这项工程需$\boldsymbol{(x+5)}$天；方案C中甲队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$；乙队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{x}{x+5}}$；可列方程$\boldsymbol{\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1}$；甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程的解法
【点评】
本题是工程类分式方程的基础题型，解题关键是准确梳理各施工队的工作时间、工作效率，抓住总工作量为1的等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须同时检验是否为原方程的解、是否符合实际要求。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确工程问题的核心数量关系：通常将工作总量设为1，工作效率=1÷单独完成工作的总时间，总工作量=各部分工作量之和。①已知甲单独完成需x天且刚好如期完工，说明规定工期就是x天，乙单独完成比规定日期多5天，因此乙单独完成的时间为规定工期加5天；②方案C中甲仅参与了4天合作，用甲的工作效率乘工作时长4天即可得到甲的工作总量；③方案C总工期仍为规定的x天，因此乙全程共工作了x天，用乙的工作效率乘x天即可得到乙的工作总量；④总工作量为1，因此甲的工作量加乙的工作量等于1，据此列分式方程，再按去分母、去括号、移项合并、求解、检验的步骤解方程即可，注意分式方程的解必须验证是否符合实际意义。
【解析】
1. 填空中的推导：
因为规定工期等于甲单独完成的时间x天，乙单独完成比规定日期多5天，因此乙单独完成需$(x+5)$天；
甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，方案C中甲工作了4天，因此甲的工作总量为$\frac{4}{x}$；
乙的工作效率为$\frac{1}{x+5}$，方案C中乙一共工作了x天，因此乙的工作总量为$\frac{x}{x+5}$；
根据总工作量为1，可列方程：$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$。
2. 解方程过程：
方程两边同乘最简公分母$x(x+5)$，得：
$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
去括号，得：
$4x + 20 + x^2 = x^2 + 5x$
移项、合并同类项，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)=20×25=500≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合工程实际意义。
则乙单独完成的时间为$x+5=20+5=25$（天）。
【答案】
乙队单独完成这项工程需$\boldsymbol{(x+5)}$天；方案C中甲队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$；乙队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{x}{x+5}}$；可列方程$\boldsymbol{\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1}$；甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程的解法
【点评】
本题是工程类分式方程的基础题型，解题关键是准确梳理各施工队的工作时间、工作效率，抓住总工作量为1的等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须同时检验是否为原方程的解、是否符合实际要求。
【难度系数】
0.8
2. (★)某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两名同学分别从距离活动地点1 400 m和900 m的两地同时出发，参加活动。甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7 min到达活动地点。若设乙同学的速度是x m/min，则下列方程正确的是【 】
A.$\frac{1400}{1.1x} - \frac{900}{x} = 7$
B.$\frac{900}{x} - \frac{1400}{1.1x} = 7$
C.$\frac{900}{1.1x} - \frac{1400}{x} = 7$
D.$\frac{1400}{x} - \frac{900}{1.1x} = 7$
A.$\frac{1400}{1.1x} - \frac{900}{x} = 7$
B.$\frac{900}{x} - \frac{1400}{1.1x} = 7$
C.$\frac{900}{1.1x} - \frac{1400}{x} = 7$
D.$\frac{1400}{x} - \frac{900}{1.1x} = 7$
答案
A
解析
【分析】
这是行程类的分式方程应用题，解题先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度。首先根据设的乙的速度，表示出甲的速度，再分别计算甲、乙走完全程所需的时间，最后根据“乙比甲提前7min到达”这个等量关系列方程即可，这里要注意“提前到达”说明乙花费的时间更少，甲花费的时间更多，所以甲的时间减去乙的时间等于7分钟。
【解析】
解：已知设乙同学的速度是$x\ \mathrm{m/min}$，则甲同学的速度为$1.1x\ \mathrm{m/min}$。
根据时间=路程÷速度，可得：
甲走1400m到达活动地点的时间为：$\frac{1400}{1.1x}\ \mathrm{min}$
乙走900m到达活动地点的时间为：$\frac{900}{x}\ \mathrm{min}$
由“乙同学比甲同学提前7 min到达”可知，甲花费的时间比乙多7min，因此列方程：
$\frac{1400}{1.1x} - \frac{900}{x} = 7$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题基本公式、分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题核心是找准路程、速度、时间的对应关系，重点要准确理解“提前到达”的含义，厘清两个时间的大小关系，避免列反等式。
【难度系数】
0.75
这是行程类的分式方程应用题，解题先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度。首先根据设的乙的速度，表示出甲的速度，再分别计算甲、乙走完全程所需的时间，最后根据“乙比甲提前7min到达”这个等量关系列方程即可，这里要注意“提前到达”说明乙花费的时间更少，甲花费的时间更多，所以甲的时间减去乙的时间等于7分钟。
【解析】
解：已知设乙同学的速度是$x\ \mathrm{m/min}$，则甲同学的速度为$1.1x\ \mathrm{m/min}$。
根据时间=路程÷速度，可得：
甲走1400m到达活动地点的时间为：$\frac{1400}{1.1x}\ \mathrm{min}$
乙走900m到达活动地点的时间为：$\frac{900}{x}\ \mathrm{min}$
由“乙同学比甲同学提前7 min到达”可知，甲花费的时间比乙多7min，因此列方程：
$\frac{1400}{1.1x} - \frac{900}{x} = 7$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题基本公式、分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题核心是找准路程、速度、时间的对应关系，重点要准确理解“提前到达”的含义，厘清两个时间的大小关系，避免列反等式。
【难度系数】
0.75
3. (★)赛龙舟是端午节的主要习俗之一.今年端午节,某单位组织了赛龙舟活动,甲、乙两队参加比赛,全程为2 400 m,甲队的平均速度为x m/min,当x满足方程$\frac{2400}{x} = \frac{2400}{x+5} + 16$时,下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是
【 】
A.甲队的平均速度比乙队的平均速度快5 m/min,用的时间比乙队多16 min
B.甲队的平均速度比乙队的平均速度慢5 m/min,用的时间比乙队少16 min
C.乙队的平均速度比甲队的平均速度快5 m/min,用的时间比甲队少16 min
D.乙队的平均速度比甲队的平均速度慢5 m/min,用的时间比甲队多16 min
【 】
A.甲队的平均速度比乙队的平均速度快5 m/min,用的时间比乙队多16 min
B.甲队的平均速度比乙队的平均速度慢5 m/min,用的时间比乙队少16 min
C.乙队的平均速度比甲队的平均速度快5 m/min,用的时间比甲队少16 min
D.乙队的平均速度比甲队的平均速度慢5 m/min,用的时间比甲队多16 min
答案
C
解析
【分析】
本题属于分式方程实际意义的判断类题目，解题核心是结合行程问题的基本公式（时间=路程÷速度），先明确方程中每个代数式对应的实际量，再根据方程的等量关系推导速度、时间的大小关系即可。第一步先找速度关系：甲的速度是x，x+5就是比甲快5的速度，对应乙的速度；第二步找时间关系：2400除以对应速度就是走完全程的时间，再看方程左右两边的大小关系就能判断时间的多少。
【解析】
根据行程问题基本公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷ \mathrm{速度}$：
1. 分析速度关系：已知甲队平均速度为$x\ \mathrm{m/min}$，则$x+5$表示比甲队快$5\ \mathrm{m/min}$的速度，即乙队的平均速度，因此乙队平均速度比甲队快$5\ \mathrm{m/min}$。
2. 分析时间关系：$\frac{2400}{x}$是甲队走完全程的用时，$\frac{2400}{x+5}$是乙队走完全程的用时。
方程$\frac{2400}{x} = \frac{2400}{x+5} + 16$表示：甲队全程用时=乙队全程用时+16min，即甲队用时比乙队多16min，也就是乙队用时比甲队少16min。
综上，乙队的平均速度比甲队快$5\ \mathrm{m/min}$，用时比甲队少16min，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题基本关系；分式方程的实际意义
【点评】
本题考查分式方程在实际行程场景中的含义，解题的关键是明确每个代数式代表的实际量，结合行程公式分析等量关系，属于基础题型，熟练掌握行程问题的基本公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题属于分式方程实际意义的判断类题目，解题核心是结合行程问题的基本公式（时间=路程÷速度），先明确方程中每个代数式对应的实际量，再根据方程的等量关系推导速度、时间的大小关系即可。第一步先找速度关系：甲的速度是x，x+5就是比甲快5的速度，对应乙的速度；第二步找时间关系：2400除以对应速度就是走完全程的时间，再看方程左右两边的大小关系就能判断时间的多少。
【解析】
根据行程问题基本公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷ \mathrm{速度}$：
1. 分析速度关系：已知甲队平均速度为$x\ \mathrm{m/min}$，则$x+5$表示比甲队快$5\ \mathrm{m/min}$的速度，即乙队的平均速度，因此乙队平均速度比甲队快$5\ \mathrm{m/min}$。
2. 分析时间关系：$\frac{2400}{x}$是甲队走完全程的用时，$\frac{2400}{x+5}$是乙队走完全程的用时。
方程$\frac{2400}{x} = \frac{2400}{x+5} + 16$表示：甲队全程用时=乙队全程用时+16min，即甲队用时比乙队多16min，也就是乙队用时比甲队少16min。
综上，乙队的平均速度比甲队快$5\ \mathrm{m/min}$，用时比甲队少16min，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题基本关系；分式方程的实际意义
【点评】
本题考查分式方程在实际行程场景中的含义，解题的关键是明确每个代数式代表的实际量，结合行程公式分析等量关系，属于基础题型，熟练掌握行程问题的基本公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. (★★)今年春节期间,某地的紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火.该地豆干店的王老板用2 500元购进一批紫水豆干,很快售完;王老板又用4 400元购进第二批紫水豆干,所购数量是第一批的2倍,由于进货量增加,进价比第一批每千克少了3元.
(1)第一批紫水豆干每千克的进价为多少元?
(2)王老板在销售第二批紫水豆干时,售价在第二批进价的基础上增加了50%,售出160 kg后,为了尽快售完,决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价$\frac{3a}{25}$元进行促销,结果第二批紫水豆干的销售利润为1 520元,求a的值.
(1)第一批紫水豆干每千克的进价为多少元?
(2)王老板在销售第二批紫水豆干时,售价在第二批进价的基础上增加了50%,售出160 kg后,为了尽快售完,决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价$\frac{3a}{25}$元进行促销,结果第二批紫水豆干的销售利润为1 520元,求a的值.
答案
解：(1) 设第一批紫水豆干每千克的进价为$x$元，则第二批紫水豆干每千克的进价为$(x-3)$元。
根据题意，得：
$2×\frac{2500}{x}=\frac{4400}{x-3}$
方程两边同乘$x(x-3)$，得：
$5000(x-3)=4400x$
解得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x(x-3)≠0$，所以$x=25$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批紫水豆干每千克的进价为$25-3=22$元，
第二批购进紫水豆干的总质量为$\frac{4400}{22}=200\ \mathrm{kg}$。
根据题意，得：
$160×22×50\% + (200-160)×[(22-\frac{3a}{25})-22]=1520$
整理得：
$1760-\frac{24a}{5}=1520$
解得：
$a=50$
答：(1) 第一批紫水豆干每千克的进价为25元；(2) $a$的值为50。
根据题意，得：
$2×\frac{2500}{x}=\frac{4400}{x-3}$
方程两边同乘$x(x-3)$，得：
$5000(x-3)=4400x$
解得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x(x-3)≠0$，所以$x=25$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批紫水豆干每千克的进价为$25-3=22$元，
第二批购进紫水豆干的总质量为$\frac{4400}{22}=200\ \mathrm{kg}$。
根据题意，得：
$160×22×50\% + (200-160)×[(22-\frac{3a}{25})-22]=1520$
整理得：
$1760-\frac{24a}{5}=1520$
解得：
$a=50$
答：(1) 第一批紫水豆干每千克的进价为25元；(2) $a$的值为50。
解析
【分析】
（1）第一问是分式方程类销售应用题，核心等量关系为“第二批进货数量是第一批的2倍”。我们设第一批每千克进价为x元，可得第二批每千克进价为(x-3)元，再根据“进货数量=总进价÷单价”分别表示两批的进货量，结合数量的倍数关系列方程即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合分母不为0的要求和实际意义。
（2）第二问是销售利润类一元一次方程应用题，先根据第一问的结果求出第二批的进价和总进货量，再将第二批的总利润拆为前160kg的利润和剩余部分的利润两部分，结合总利润为1520元的条件列方程求解a即可。
【解析】
(1) 设第一批紫水豆干每千克的进价为$x$元，则第二批紫水豆干每千克的进价为$(x-3)$元。
根据题意，得：
$2×\frac{2500}{x}=\frac{4400}{x-3}$
方程两边同乘$x(x-3)$，得：
$5000(x-3)=4400x$
解得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x(x-3)≠0$，所以$x=25$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批紫水豆干每千克的进价为$25-3=22$元，
第二批购进紫水豆干的总质量为$\frac{4400}{22}=200\ \mathrm{kg}$。
根据题意，得：
$160×22×50\% + (200-160)×[(22-\frac{3a}{25})-22]=1520$
整理得：
$1760-\frac{24a}{5}=1520$
解得：
$a=50$
【答案】
(1) 第一批紫水豆干每千克的进价为25元；(2) $a$的值为50
【知识点】
分式方程的应用、销售利润问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于常规的实际应用类题目，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列方程，求解分式方程时要注意验根，避免增根或不符合实际意义的解，计算利润时要分清楚不同销售阶段的售价、成本，理清利润的构成即可顺利解题。
【难度系数】
0.65
（1）第一问是分式方程类销售应用题，核心等量关系为“第二批进货数量是第一批的2倍”。我们设第一批每千克进价为x元，可得第二批每千克进价为(x-3)元，再根据“进货数量=总进价÷单价”分别表示两批的进货量，结合数量的倍数关系列方程即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合分母不为0的要求和实际意义。
（2）第二问是销售利润类一元一次方程应用题，先根据第一问的结果求出第二批的进价和总进货量，再将第二批的总利润拆为前160kg的利润和剩余部分的利润两部分，结合总利润为1520元的条件列方程求解a即可。
【解析】
(1) 设第一批紫水豆干每千克的进价为$x$元，则第二批紫水豆干每千克的进价为$(x-3)$元。
根据题意，得：
$2×\frac{2500}{x}=\frac{4400}{x-3}$
方程两边同乘$x(x-3)$，得：
$5000(x-3)=4400x$
解得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x(x-3)≠0$，所以$x=25$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批紫水豆干每千克的进价为$25-3=22$元，
第二批购进紫水豆干的总质量为$\frac{4400}{22}=200\ \mathrm{kg}$。
根据题意，得：
$160×22×50\% + (200-160)×[(22-\frac{3a}{25})-22]=1520$
整理得：
$1760-\frac{24a}{5}=1520$
解得：
$a=50$
【答案】
(1) 第一批紫水豆干每千克的进价为25元；(2) $a$的值为50
【知识点】
分式方程的应用、销售利润问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于常规的实际应用类题目，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列方程，求解分式方程时要注意验根，避免增根或不符合实际意义的解，计算利润时要分清楚不同销售阶段的售价、成本，理清利润的构成即可顺利解题。
【难度系数】
0.65
