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5. (★)我国已经成为全球最大的电动汽车市场.电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油汽车的对比调查发现,电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元.若充电费和燃油费均为300元时,电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍,求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少.若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是$x$元,则下列方程正确的是
【】
A.$\frac{300}{x}=\frac{300}{x-0.4}×3$
B.$\frac{300}{x}=\frac{300}{x+0.4}×3$
C.$\frac{300}{x}×3=\frac{300}{x+0.4}$
D.$\frac{300}{x}×3=\frac{300}{x-0.4}$
【】
A.$\frac{300}{x}=\frac{300}{x-0.4}×3$
B.$\frac{300}{x}=\frac{300}{x+0.4}×3$
C.$\frac{300}{x}×3=\frac{300}{x+0.4}$
D.$\frac{300}{x}×3=\frac{300}{x-0.4}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的两个核心等量关系：①电动汽车平均每千米充电费比燃油车少0.4元；②总费用同为300元时，电动汽车行驶路程是燃油车的3倍。首先根据设出的电动汽车每千米充电费x元，推导出燃油车每千米的费用，再结合“路程=总费用÷每千米费用”分别表示出两种车的行驶路程，最后根据路程的倍数关系列方程即可。
【解析】
解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是x元。
第一步：求燃油车平均每千米的加油费
∵电动汽车每千米充电费比燃油车少0.4元
∴燃油车平均每千米的加油费为$(x+0.4)$元
第二步：分别表示两种车300元可行驶的路程
电动汽车300元可行驶路程：$\frac{300}{x}$ 千米
燃油车300元可行驶路程：$\frac{300}{x+0.4}$ 千米
第三步：根据路程的倍数关系列方程
∵300元时电动汽车行驶路程是燃油车的3倍
∴$\frac{300}{x}=\frac{300}{x+0.4}×3$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确梳理两个核心等量关系，尤其注意不要混淆两种车辆的每千米费用高低，以及路程的倍数对应关系，避免列反方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的两个核心等量关系：①电动汽车平均每千米充电费比燃油车少0.4元；②总费用同为300元时，电动汽车行驶路程是燃油车的3倍。首先根据设出的电动汽车每千米充电费x元，推导出燃油车每千米的费用，再结合“路程=总费用÷每千米费用”分别表示出两种车的行驶路程，最后根据路程的倍数关系列方程即可。
【解析】
解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是x元。
第一步：求燃油车平均每千米的加油费
∵电动汽车每千米充电费比燃油车少0.4元
∴燃油车平均每千米的加油费为$(x+0.4)$元
第二步：分别表示两种车300元可行驶的路程
电动汽车300元可行驶路程：$\frac{300}{x}$ 千米
燃油车300元可行驶路程：$\frac{300}{x+0.4}$ 千米
第三步：根据路程的倍数关系列方程
∵300元时电动汽车行驶路程是燃油车的3倍
∴$\frac{300}{x}=\frac{300}{x+0.4}×3$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确梳理两个核心等量关系，尤其注意不要混淆两种车辆的每千米费用高低，以及路程的倍数对应关系，避免列反方程。
【难度系数】
0.8
6. (★★)某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元.元旦期间,该超市对该瓶装饮料进行促销活动,买一箱送两瓶,这相当于每瓶按原价九折销售,求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶.以下为四名同学列出的方程,正确的是
【 】
甲同学:设这种饮料的原价每瓶是$x$元,则$\frac{36}{0.9x} - \frac{36}{x}=2$;
乙同学:设这种饮料每箱是$x$瓶,则$\frac{36}{x}×0.9=\frac{36}{x+2}$;
丙同学:设这种饮料的原价每瓶是$x$元,则$0.9×(36+2x)=36$;
丁同学:设这种饮料每箱是$x$瓶,则$\frac{36}{x}=\frac{36×0.9}{x+2}$.
A.甲、乙、丙
B.甲、乙
C.乙、丙
D.甲、丁
【 】
甲同学:设这种饮料的原价每瓶是$x$元,则$\frac{36}{0.9x} - \frac{36}{x}=2$;
乙同学:设这种饮料每箱是$x$瓶,则$\frac{36}{x}×0.9=\frac{36}{x+2}$;
丙同学:设这种饮料的原价每瓶是$x$元,则$0.9×(36+2x)=36$;
丁同学:设这种饮料每箱是$x$瓶,则$\frac{36}{x}=\frac{36×0.9}{x+2}$.
A.甲、乙、丙
B.甲、乙
C.乙、丙
D.甲、丁
答案
B
解析
【分析】
这是一道分式方程在销售打折问题中的应用题，解题时我们可以分两种设未知数的思路，结合“买一箱送两瓶相当于每瓶原价九折”的等量关系，逐一验证四名同学所列方程是否正确：
思路1：设原价每瓶x元，等量关系为：花36元促销时买到的瓶数 - 原价买到的瓶数 = 赠送的2瓶；
思路2：设每箱有x瓶，等量关系为：原价每瓶价格×0.9 = 促销时每瓶的实际价格。
【解析】
我们分别对四名同学的方程进行验证：
1. 验证甲同学的方程：
设原价每瓶x元，原价36元可购买的瓶数为$\frac{36}{x}$瓶；促销时每瓶打九折，单价为$0.9x$元，36元可购买的瓶数为$\frac{36}{0.9x}$瓶。根据促销比原价多2瓶，可列方程：$\frac{36}{0.9x} - \frac{36}{x}=2$，甲同学方程正确。
2. 验证乙同学的方程：
设每箱有x瓶，原价每瓶价格为$\frac{36}{x}$元；促销时花36元可买到$(x+2)$瓶，促销每瓶价格为$\frac{36}{x+2}$元。根据促销价是原价的九折，可列方程：$\frac{36}{x}×0.9=\frac{36}{x+2}$，乙同学方程正确。
3. 验证丙同学的方程：
丙所列方程$0.9×(36+2x)=36$，左边含义不符合题中“花36元买一箱送2瓶等于原价九折”的逻辑，没有对应正确的等量关系，方程错误。
4. 验证丁同学的方程：
丁所列方程$\frac{36}{x}=\frac{36×0.9}{x+2}$，混淆了原价和促销价的等量关系，不符合“促销价=原价×0.9”的关系，方程错误。
综上，甲、乙同学的方程正确。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；销售打折问题；列方程找等量关系
【点评】
本题考查分式方程在销售问题中的应用，解题核心是根据不同的设元方式找准对应的等量关系，要注意区分打折前后单价、数量、总价的对应关系，避免混淆促销和原价的数量、价格逻辑。
【难度系数】
0.6
这是一道分式方程在销售打折问题中的应用题，解题时我们可以分两种设未知数的思路，结合“买一箱送两瓶相当于每瓶原价九折”的等量关系，逐一验证四名同学所列方程是否正确：
思路1：设原价每瓶x元，等量关系为：花36元促销时买到的瓶数 - 原价买到的瓶数 = 赠送的2瓶；
思路2：设每箱有x瓶，等量关系为：原价每瓶价格×0.9 = 促销时每瓶的实际价格。
【解析】
我们分别对四名同学的方程进行验证：
1. 验证甲同学的方程：
设原价每瓶x元，原价36元可购买的瓶数为$\frac{36}{x}$瓶；促销时每瓶打九折，单价为$0.9x$元，36元可购买的瓶数为$\frac{36}{0.9x}$瓶。根据促销比原价多2瓶，可列方程：$\frac{36}{0.9x} - \frac{36}{x}=2$，甲同学方程正确。
2. 验证乙同学的方程：
设每箱有x瓶，原价每瓶价格为$\frac{36}{x}$元；促销时花36元可买到$(x+2)$瓶，促销每瓶价格为$\frac{36}{x+2}$元。根据促销价是原价的九折，可列方程：$\frac{36}{x}×0.9=\frac{36}{x+2}$，乙同学方程正确。
3. 验证丙同学的方程：
丙所列方程$0.9×(36+2x)=36$，左边含义不符合题中“花36元买一箱送2瓶等于原价九折”的逻辑，没有对应正确的等量关系，方程错误。
4. 验证丁同学的方程：
丁所列方程$\frac{36}{x}=\frac{36×0.9}{x+2}$，混淆了原价和促销价的等量关系，不符合“促销价=原价×0.9”的关系，方程错误。
综上，甲、乙同学的方程正确。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；销售打折问题；列方程找等量关系
【点评】
本题考查分式方程在销售问题中的应用，解题核心是根据不同的设元方式找准对应的等量关系，要注意区分打折前后单价、数量、总价的对应关系，避免混淆促销和原价的数量、价格逻辑。
【难度系数】
0.6
7. (★★)某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单(下表)已被墨水污染,进货单如下：
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨:我记得每件甲商品的进价比每件乙商品的进价高50%.
王师傅:甲商品比乙商品的数量多30件.
(1)请你求出每件甲、乙商品的进价；
(2)该公司还需购买甲、乙两种商品共100件,本次总金额不超过6 880元,求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件.
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨:我记得每件甲商品的进价比每件乙商品的进价高50%.
王师傅:甲商品比乙商品的数量多30件.
(1)请你求出每件甲、乙商品的进价；
(2)该公司还需购买甲、乙两种商品共100件,本次总金额不超过6 880元,求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件.
答案
解：(1)设每件乙商品的进价为$x$元，则每件甲商品的进价为$(1+50\%)x=1.5x$元。
根据题意列方程：
$\frac{4650}{1.5x} - \frac{1600}{x} = 30$
化简得：
$\frac{3100}{x} - \frac{1600}{x} = 30$
$\frac{1500}{x}=30$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x≠0$，$1.5x≠0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$1.5x=1.5×50=75$。
(2)设可购买甲商品$m$件，则购买乙商品$(100-m)$件。
根据题意列不等式：
$75m + 50(100 - m) ≤ 6880$
展开整理得：
$25m ≤ 1880$
解得：$m ≤ 75.2$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大取值为75。
答：每件甲商品的进价为75元，每件乙商品的进价为50元；采购员李阿姨最多可购买甲商品75件。
根据题意列方程：
$\frac{4650}{1.5x} - \frac{1600}{x} = 30$
化简得：
$\frac{3100}{x} - \frac{1600}{x} = 30$
$\frac{1500}{x}=30$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x≠0$，$1.5x≠0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$1.5x=1.5×50=75$。
(2)设可购买甲商品$m$件，则购买乙商品$(100-m)$件。
根据题意列不等式：
$75m + 50(100 - m) ≤ 6880$
展开整理得：
$25m ≤ 1880$
解得：$m ≤ 75.2$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大取值为75。
答：每件甲商品的进价为75元，每件乙商品的进价为50元；采购员李阿姨最多可购买甲商品75件。
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，首先抓住两个核心关系：①甲商品进价比乙高50%，可设乙进价为x元，用含x的代数式表示甲的进价；②甲商品数量比乙多30件，结合“数量=总金额÷单价”，分别表示出甲、乙的采购数量，根据数量差列分式方程即可，求解后要检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 解决第二问时，抓住“总金额不超过6880元”的不等关系，设购买甲商品m件，用含m的代数式表示乙商品的数量，结合总金额的计算方法列不等式，求解后结合m为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
(1) 设每件乙商品的进价为$x$元，则每件甲商品的进价为$(1+50\%)x=1.5x$元。
根据题意列方程：
$\frac{4650}{1.5x} - \frac{1600}{x} = 30$
化简得：
$\frac{3100}{x} - \frac{1600}{x} = 30$
$\frac{1500}{x}=30$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x≠0$，$1.5x≠0$，所以$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲商品进价为$1.5x=1.5×50=75$元。
(2) 设可购买甲商品$m$件，则购买乙商品$(100-m)$件。
根据题意列不等式：
$75m + 50(100 - m) ≤ 6880$
展开整理得：
$25m ≤ 1880$
解得：$m ≤ 75.2$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大取值为75。
【答案】
(1) 每件甲商品的进价为75元，每件乙商品的进价为50元；
(2) 采购员李阿姨最多可购买甲商品75件。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活采购场景命题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，需注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际要求，不等式的解要结合实际情况取整数解，是方程与不等式实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问时，首先抓住两个核心关系：①甲商品进价比乙高50%，可设乙进价为x元，用含x的代数式表示甲的进价；②甲商品数量比乙多30件，结合“数量=总金额÷单价”，分别表示出甲、乙的采购数量，根据数量差列分式方程即可，求解后要检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 解决第二问时，抓住“总金额不超过6880元”的不等关系，设购买甲商品m件，用含m的代数式表示乙商品的数量，结合总金额的计算方法列不等式，求解后结合m为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
(1) 设每件乙商品的进价为$x$元，则每件甲商品的进价为$(1+50\%)x=1.5x$元。
根据题意列方程：
$\frac{4650}{1.5x} - \frac{1600}{x} = 30$
化简得：
$\frac{3100}{x} - \frac{1600}{x} = 30$
$\frac{1500}{x}=30$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x≠0$，$1.5x≠0$，所以$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲商品进价为$1.5x=1.5×50=75$元。
(2) 设可购买甲商品$m$件，则购买乙商品$(100-m)$件。
根据题意列不等式：
$75m + 50(100 - m) ≤ 6880$
展开整理得：
$25m ≤ 1880$
解得：$m ≤ 75.2$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大取值为75。
【答案】
(1) 每件甲商品的进价为75元，每件乙商品的进价为50元；
(2) 采购员李阿姨最多可购买甲商品75件。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活采购场景命题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，需注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际要求，不等式的解要结合实际情况取整数解，是方程与不等式实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
