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2.用一根长8 m的绳子能否围成一个面积为$3 m^2$的矩形？若能，请求出矩形的长和宽；若不能，请说明理由.
答案
2.解:用一根长8 m的绳子能围成一个面积为3 m²的矩形,围成矩形的长为3 m,宽为1 m.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以结合矩形的周长、面积公式，通过列一元二次方程判断是否存在符合要求的边长：首先根据绳子总长（即矩形周长）求出长与宽的和，再设长为未知数，用长与宽的和表示出宽，结合面积要求列方程，若方程有符合实际意义（边长为正、长大于宽）的解，就可以围成对应的矩形，反之则不能。
【解析】
解：设围成的矩形的长为$ x \, \mathrm{m} $。
已知绳子长8m即矩形周长为8m，根据矩形周长公式$ C=2(\mathrm{长}+\mathrm{宽}) $，可得矩形的宽为$ \frac{8}{2} - x = (4 - x) \, \mathrm{m} $。
已知矩形面积为$ 3 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ S=\mathrm{长} × \mathrm{宽} $列方程：
$ x(4 - x) = 3 $
整理为一元二次方程标准形式：$ x^2 - 4x + 3 = 0 $
因式分解得：$ (x - 1)(x - 3) = 0 $
解得：$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $
因为矩形的长大于宽，所以$ x=1 $不符合题意，舍去，取$ x=3 $。
此时矩形的宽为$ 4 - 3 = 1 \, \mathrm{m} $，边长均为正数，符合实际意义。
【答案】
用一根长8 m的绳子能围成一个面积为3 m²的矩形,围成矩形的长为3 m,宽为1 m.
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于结合几何性质的一元二次方程基础应用题，解题关键是利用矩形周长公式表示出长和宽的数量关系，再结合面积条件列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合实际的边长要求。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以结合矩形的周长、面积公式，通过列一元二次方程判断是否存在符合要求的边长：首先根据绳子总长（即矩形周长）求出长与宽的和，再设长为未知数，用长与宽的和表示出宽，结合面积要求列方程，若方程有符合实际意义（边长为正、长大于宽）的解，就可以围成对应的矩形，反之则不能。
【解析】
解：设围成的矩形的长为$ x \, \mathrm{m} $。
已知绳子长8m即矩形周长为8m，根据矩形周长公式$ C=2(\mathrm{长}+\mathrm{宽}) $，可得矩形的宽为$ \frac{8}{2} - x = (4 - x) \, \mathrm{m} $。
已知矩形面积为$ 3 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ S=\mathrm{长} × \mathrm{宽} $列方程：
$ x(4 - x) = 3 $
整理为一元二次方程标准形式：$ x^2 - 4x + 3 = 0 $
因式分解得：$ (x - 1)(x - 3) = 0 $
解得：$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $
因为矩形的长大于宽，所以$ x=1 $不符合题意，舍去，取$ x=3 $。
此时矩形的宽为$ 4 - 3 = 1 \, \mathrm{m} $，边长均为正数，符合实际意义。
【答案】
用一根长8 m的绳子能围成一个面积为3 m²的矩形,围成矩形的长为3 m,宽为1 m.
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于结合几何性质的一元二次方程基础应用题，解题关键是利用矩形周长公式表示出长和宽的数量关系，再结合面积条件列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合实际的边长要求。
【难度系数】
0.8
3.如图所示,矩形花园长 30 m、宽 20 m,计划修建两条互相平行的纵向小路和一条横向小路(如图阴影部分),剩余的地方种植花草.已知花草种植面积为 532 m²,小路进出口的宽度应为多少米?(注:所有小路进出口的宽度相等,且每段小路均为平行四边形)
知识建构
实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题的步骤 数字问题 几何问题
综合与实践——知识建构与应用
制作收纳盒
某综合实践小组计划用两块长为 100 cm,宽为 40 cm 的长方形硬纸板做收纳盒.
【任务要求】
任务一:设计无盖长方体收纳盒.把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒,如图①(示意图).
任务二:设计有盖长方体收纳盒.把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后沿虚线可折成一个有盖的长方体收纳盒,EF 和 HG 两边恰好重合且无重叠部分.如图②(示意图).
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为 1600 cm²,剪去的小正方形的边长为多少厘米?
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为 608 cm²,该收纳盒的高是多少厘米?
知识建构
实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题的步骤 数字问题 几何问题
综合与实践——知识建构与应用
制作收纳盒
某综合实践小组计划用两块长为 100 cm,宽为 40 cm 的长方形硬纸板做收纳盒.
【任务要求】
任务一:设计无盖长方体收纳盒.把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒,如图①(示意图).
任务二:设计有盖长方体收纳盒.把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后沿虚线可折成一个有盖的长方体收纳盒,EF 和 HG 两边恰好重合且无重叠部分.如图②(示意图).
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为 1600 cm²,剪去的小正方形的边长为多少厘米?
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为 608 cm²,该收纳盒的高是多少厘米?
答案
3.解:小路进出口的宽度为1 m.
综合与实践
解:(1)剪去的小正方形的边长为10 cm.
(2)该收纳盒的高为12 cm.
综合与实践
解:(1)剪去的小正方形的边长为10 cm.
(2)该收纳盒的高为12 cm.
解析
【分析】
1. 第3题（小路问题）：遇到道路贯穿图形的面积问题，可采用平移法将种植花草的区域拼接成完整矩形，设小路宽度为x m，拼接后矩形的长为原长减去2条纵向小路的宽度（30-2x）m，宽为原宽减去1条横向小路的宽度（20-x）m，根据“拼接后矩形面积=花草种植面积”列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解即可。
2. 任务一(1)：无盖长方体收纳盒的高等于剪去的小正方形边长，设边长为x cm，折成盒子后底面的长为(100-2x)cm、宽为(40-2x)cm，根据“底面积=长×宽”列方程，舍去不合题意的解即可。
3. 任务二(2)：有盖长方体收纳盒的高等于剪去的小长方形的短边长，设高为x cm，折成盒子后底面的宽为(40-2x)cm，底面的长为$\frac{100-2x}{2}=50-x$ cm，根据底面积为608 cm²列方程，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
第3题
解：设小路进出口的宽度为x m。
将种植花草的区域平移拼接，可得新矩形的长为$(30-2x)\mathrm{ m}$，宽为$(20-x)\mathrm{ m}$，根据题意列方程：
$(30-2x)(20-x)=532$
展开整理得：$x^2-35x+34=0$
因式分解得：$(x-1)(x-34)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=34$
∵ 矩形花园宽仅20 m，$x=34$不符合实际，舍去
∴ $x=1$
综合与实践(1)
解：设剪去的小正方形的边长为x cm。
折成无盖收纳盒后，底面长为$(100-2x)\mathrm{ cm}$，宽为$(40-2x)\mathrm{ cm}$，根据题意列方程：
$(100-2x)(40-2x)=1600$
展开整理得：$x^2-70x+600=0$
因式分解得：$(x-10)(x-60)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=60$
∵ 原硬纸板宽仅40 cm，$x=60$不符合实际，舍去
∴ $x=10$
综合与实践(2)
解：设该收纳盒的高为x cm。
折成有盖收纳盒后，底面宽为$(40-2x)\mathrm{ cm}$，底面长为$(50-x)\mathrm{ cm}$，根据题意列方程：
$(50-x)(40-2x)=608$
展开整理得：$x^2-70x+696=0$
因式分解得：$(x-12)(x-58)=0$
解得：$x_1=12$，$x_2=58$
∵ 原硬纸板宽仅40 cm，$x=58$不符合实际，舍去
∴ $x=12$
【答案】
3. 小路进出口的宽度为1 m。
综合与实践
(1) 剪去的小正方形的边长为10 cm。
(2) 该收纳盒的高为12 cm。
【知识点】
一元二次方程应用，图形面积计算，实际解取舍
【点评】
这组题目是一元二次方程在几何实际场景中的典型应用，解题关键是结合图形变换（平移、折叠）准确用未知数表示出目标图形的边长，再根据面积等量关系列方程求解，解题时需注意结合实际场景舍去不符合要求的根，掌握这类题的解题逻辑可以很好提升方程建模能力。
【难度系数】
0.7
1. 第3题（小路问题）：遇到道路贯穿图形的面积问题，可采用平移法将种植花草的区域拼接成完整矩形，设小路宽度为x m，拼接后矩形的长为原长减去2条纵向小路的宽度（30-2x）m，宽为原宽减去1条横向小路的宽度（20-x）m，根据“拼接后矩形面积=花草种植面积”列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解即可。
2. 任务一(1)：无盖长方体收纳盒的高等于剪去的小正方形边长，设边长为x cm，折成盒子后底面的长为(100-2x)cm、宽为(40-2x)cm，根据“底面积=长×宽”列方程，舍去不合题意的解即可。
3. 任务二(2)：有盖长方体收纳盒的高等于剪去的小长方形的短边长，设高为x cm，折成盒子后底面的宽为(40-2x)cm，底面的长为$\frac{100-2x}{2}=50-x$ cm，根据底面积为608 cm²列方程，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
第3题
解：设小路进出口的宽度为x m。
将种植花草的区域平移拼接，可得新矩形的长为$(30-2x)\mathrm{ m}$，宽为$(20-x)\mathrm{ m}$，根据题意列方程：
$(30-2x)(20-x)=532$
展开整理得：$x^2-35x+34=0$
因式分解得：$(x-1)(x-34)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=34$
∵ 矩形花园宽仅20 m，$x=34$不符合实际，舍去
∴ $x=1$
综合与实践(1)
解：设剪去的小正方形的边长为x cm。
折成无盖收纳盒后，底面长为$(100-2x)\mathrm{ cm}$，宽为$(40-2x)\mathrm{ cm}$，根据题意列方程：
$(100-2x)(40-2x)=1600$
展开整理得：$x^2-70x+600=0$
因式分解得：$(x-10)(x-60)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=60$
∵ 原硬纸板宽仅40 cm，$x=60$不符合实际，舍去
∴ $x=10$
综合与实践(2)
解：设该收纳盒的高为x cm。
折成有盖收纳盒后，底面宽为$(40-2x)\mathrm{ cm}$，底面长为$(50-x)\mathrm{ cm}$，根据题意列方程：
$(50-x)(40-2x)=608$
展开整理得：$x^2-70x+696=0$
因式分解得：$(x-12)(x-58)=0$
解得：$x_1=12$，$x_2=58$
∵ 原硬纸板宽仅40 cm，$x=58$不符合实际，舍去
∴ $x=12$
【答案】
3. 小路进出口的宽度为1 m。
综合与实践
(1) 剪去的小正方形的边长为10 cm。
(2) 该收纳盒的高为12 cm。
【知识点】
一元二次方程应用，图形面积计算，实际解取舍
【点评】
这组题目是一元二次方程在几何实际场景中的典型应用，解题关键是结合图形变换（平移、折叠）准确用未知数表示出目标图形的边长，再根据面积等量关系列方程求解，解题时需注意结合实际场景舍去不符合要求的根，掌握这类题的解题逻辑可以很好提升方程建模能力。
【难度系数】
0.7
