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【例2】如图，某校准备在一面墙旁围一个矩形花圃，已知墙可用的最大长度为13 m，篱笆的长为24 m，设垂直于墙的边AB的长为x m.
(1)若围成的花圃面积为70 m²，求BC的长.
(2)若计划围成的花圃面积为78 m²，请你判断能否围成这样的花圃.如果能，求出BC的长；如果不能，请说明理由.
|思路分析|
思考1:已知垂直于墙的边AB的长为x m，则BC的长为
思考2:由题意可列出一元二次方程，然后利用
解:
【规律方法】
解决几何图形问题的常见方法
(1)对于常规的几何图形，如直角三角形、矩形、菱形、正方形等，涉及边长、面积等问题时，直接使用相应的公式列出一元二次方程求解即可.
(2)对于特殊的几何图形，通过平移将图形进行转化是常用的方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则图形，根据规则图形的对应公式列一元二次方程求解.
(1)若围成的花圃面积为70 m²，求BC的长.
(2)若计划围成的花圃面积为78 m²，请你判断能否围成这样的花圃.如果能，求出BC的长；如果不能，请说明理由.
|思路分析|
思考1:已知垂直于墙的边AB的长为x m，则BC的长为
(24−2x)
m.思考2:由题意可列出一元二次方程，然后利用
判别式
判断根的情况，进而得出结论.解:
【规律方法】
解决几何图形问题的常见方法
(1)对于常规的几何图形，如直角三角形、矩形、菱形、正方形等，涉及边长、面积等问题时，直接使用相应的公式列出一元二次方程求解即可.
(2)对于特殊的几何图形，通过平移将图形进行转化是常用的方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则图形，根据规则图形的对应公式列一元二次方程求解.
答案
思路分析
思考1:(24−2x)
思考2:判别式
解:(1)BC的长为10 m.
(2)不能围成这样的花圃.理由如下：
依题意可知,(24−2x)x=78,
即$x^2−12x+39=0$,
所以$\Delta=(−12)^2−4×1×39＜0$,
所以这个方程无实数根.
故不能围成这样的花圃.
思考1:(24−2x)
思考2:判别式
解:(1)BC的长为10 m.
(2)不能围成这样的花圃.理由如下：
依题意可知,(24−2x)x=78,
即$x^2−12x+39=0$,
所以$\Delta=(−12)^2−4×1×39＜0$,
所以这个方程无实数根.
故不能围成这样的花圃.
解析
【分析】
本题为靠墙围矩形的实际应用问题，解题思路如下：首先明确篱笆仅围矩形的3条边，因此平行于墙的边BC的长度等于篱笆总长减去2倍垂直于墙的边长，即(24-2x)m，同时需注意BC的长度不能超过墙的最大可用长度13m，且边长为正。(1)问利用矩形面积=长×宽的等量关系列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际限制，舍去不符合的解即可得到BC的长度；(2)问同样按面积关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，进而判断能否围成对应面积的花圃。
【解析】
(1) 由题意得，AB=x m，BC=(24-2x)m，根据矩形面积为70 m²列方程：
$x(24-2x)=70$
整理得：$x^2-12x+35=0$
因式分解得：$(x-5)(x-7)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=7$
当$x=5$时，$BC=24-2×5=14\ \mathrm{m}$，$14＞13$，超过墙的最大可用长度，舍去；
当$x=7$时，$BC=24-2×7=10\ \mathrm{m}$，$10＜13$，符合实际要求。
(2) 假设能围成面积为78 m²的花圃，列方程：
$x(24-2x)=78$
整理得：$x^2-12x+39=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-12)^2-4×1×39=144-156=-12＜0$
因此该一元二次方程无实数根，故不能围成面积为78 m²的花圃。
【答案】
(1) BC的长为10 m；
(2) 不能围成这样的花圃，理由是所列一元二次方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式、矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题，解题核心是结合几何图形的面积公式建立方程，同时要注意实际场景对边长的限制，需对求解结果进行合理性检验，掌握根的判别式的用法即可快速判断方案是否可行。
【难度系数】
0.7
本题为靠墙围矩形的实际应用问题，解题思路如下：首先明确篱笆仅围矩形的3条边，因此平行于墙的边BC的长度等于篱笆总长减去2倍垂直于墙的边长，即(24-2x)m，同时需注意BC的长度不能超过墙的最大可用长度13m，且边长为正。(1)问利用矩形面积=长×宽的等量关系列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际限制，舍去不符合的解即可得到BC的长度；(2)问同样按面积关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，进而判断能否围成对应面积的花圃。
【解析】
(1) 由题意得，AB=x m，BC=(24-2x)m，根据矩形面积为70 m²列方程：
$x(24-2x)=70$
整理得：$x^2-12x+35=0$
因式分解得：$(x-5)(x-7)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=7$
当$x=5$时，$BC=24-2×5=14\ \mathrm{m}$，$14＞13$，超过墙的最大可用长度，舍去；
当$x=7$时，$BC=24-2×7=10\ \mathrm{m}$，$10＜13$，符合实际要求。
(2) 假设能围成面积为78 m²的花圃，列方程：
$x(24-2x)=78$
整理得：$x^2-12x+39=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-12)^2-4×1×39=144-156=-12＜0$
因此该一元二次方程无实数根，故不能围成面积为78 m²的花圃。
【答案】
(1) BC的长为10 m；
(2) 不能围成这样的花圃，理由是所列一元二次方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式、矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题，解题核心是结合几何图形的面积公式建立方程，同时要注意实际场景对边长的限制，需对求解结果进行合理性检验，掌握根的判别式的用法即可快速判断方案是否可行。
【难度系数】
0.7
