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学习任务一 列一元二次方程解应用题的步骤
列一元二次方程解应用题的六个主要步骤：
审→设→列→解→验→答，即：
(1)审——审清题目中的等量关系；
(2)设——恰当地设出
(3)列——根据问题中的
(4)解——求出方程的
(5)验——双重检验，检验根的
(6)答——写出应用题的答案。
列一元二次方程解应用题的六个主要步骤：
审→设→列→解→验→答，即：
(1)审——审清题目中的等量关系；
(2)设——恰当地设出
未知数
，可直接设，也可间接
设；(3)列——根据问题中的
等量关系
列出方程；(4)解——求出方程的
根
；(5)验——双重检验，检验根的
正确性
和实际问题的合理性
；(6)答——写出应用题的答案。
答案
列一元二次方程解应用题的六个步骤对应内容：
(2)恰当地设出未知数，可直接设，也可间接设；
(3)根据问题中的等量关系列出方程；
(4)求出方程的根；
(5)双重检验，检验根的正确性和实际问题的合理性。
(2)恰当地设出未知数，可直接设，也可间接设；
(3)根据问题中的等量关系列出方程；
(4)求出方程的根；
(5)双重检验，检验根的正确性和实际问题的合理性。
解析
【分析】
这道题考查列一元二次方程解应用题的基础步骤，属于识记类题型。解题时只需回忆“审→设→列→解→验→答”六个环节的具体要求，逐一对应填空即可：设未知数分直接设和间接设两种方式；列方程的核心是找到题目中的等量关系；解方程的目标是求出方程的根；检验环节既要确认根是方程的正确解，还要确认根符合实际问题的要求，不能违背实际场景的逻辑。
【解析】
按照列一元二次方程解应用题的步骤逐一填写空缺：
(2)设的环节是先确定未知量，可直接设所求量为未知数，也可间接设和所求量相关的其他量为未知数，因此两个空依次填未知数、间接；
(3)列的环节需要根据审题找到的等量关系建立方程，因此填等量关系；
(4)解的环节是求解所列的一元二次方程，得到方程的根，因此填根；
(5)验的环节需要双重检验：先检验根是不是方程的正确解，再检验根是否符合实际问题的要求，因此两个空依次填正确性、合理性。
【答案】
(2)未知数；间接 (3)等量关系 (4)根 (5)正确性；合理性
【知识点】
1.列一元二次方程解应用题步骤 2.方程根的检验
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对列一元二次方程解应用题基本流程的掌握，是运用一元二次方程解决实际问题的基础，需要熟练记忆各步骤的要求。
【难度系数】
0.9
这道题考查列一元二次方程解应用题的基础步骤，属于识记类题型。解题时只需回忆“审→设→列→解→验→答”六个环节的具体要求，逐一对应填空即可：设未知数分直接设和间接设两种方式；列方程的核心是找到题目中的等量关系；解方程的目标是求出方程的根；检验环节既要确认根是方程的正确解，还要确认根符合实际问题的要求，不能违背实际场景的逻辑。
【解析】
按照列一元二次方程解应用题的步骤逐一填写空缺：
(2)设的环节是先确定未知量，可直接设所求量为未知数，也可间接设和所求量相关的其他量为未知数，因此两个空依次填未知数、间接；
(3)列的环节需要根据审题找到的等量关系建立方程，因此填等量关系；
(4)解的环节是求解所列的一元二次方程，得到方程的根，因此填根；
(5)验的环节需要双重检验：先检验根是不是方程的正确解，再检验根是否符合实际问题的要求，因此两个空依次填正确性、合理性。
【答案】
(2)未知数；间接 (3)等量关系 (4)根 (5)正确性；合理性
【知识点】
1.列一元二次方程解应用题步骤 2.方程根的检验
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对列一元二次方程解应用题基本流程的掌握，是运用一元二次方程解决实际问题的基础，需要熟练记忆各步骤的要求。
【难度系数】
0.9
【例1】有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是8，把十位上的数字与个位上的数字调换位置后所得的新两位数乘原来的两位数得1 855，求原来的两位数.
解：
【规律方法】
数字问题不算难，巧妙设元是关键
正确而巧妙地设出未知数是解决数字问题的关键，一般采用间接设元法.
(1)若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a,b$，则这个两位数可表示为$10a + b$，三位数等以此类推.
(2)三个连续整数的表示方法:一般设中间一个数是$x$，则其余两个数分别为$x - 1,x + 1$.
(3)三个连续偶数或三个连续奇数的表示方法:设中间偶(奇)数为$x$，则三个连续偶(奇)数可表示为$x - 2,x,x + 2$.
|变式训练|
1.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到的新的两位数比这两个数字的积大38，求原来的两位数.
解：
【规律方法】
数字问题不算难，巧妙设元是关键
正确而巧妙地设出未知数是解决数字问题的关键，一般采用间接设元法.
(1)若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a,b$，则这个两位数可表示为$10a + b$，三位数等以此类推.
(2)三个连续整数的表示方法:一般设中间一个数是$x$，则其余两个数分别为$x - 1,x + 1$.
(3)三个连续偶数或三个连续奇数的表示方法:设中间偶(奇)数为$x$，则三个连续偶(奇)数可表示为$x - 2,x,x + 2$.
|变式训练|
1.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到的新的两位数比这两个数字的积大38，求原来的两位数.
答案
【例1】解:原来的两位数是35或53.
1.解:原来的两位数是68.
1.解:原来的两位数是68.
解析
【分析】
解决这类数字类应用题的核心是明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。
1. 例1思路：已知两位数十位与个位数字和为8，我们设原数十位数字为x，则个位数字为8-x，分别写出原数和数位调换后的新数的表达式，再根据两数乘积为1855的等量关系列一元二次方程，求解后验证解的合理性即可得到原两位数。
2. 变式训练1思路：设原数十位数字为x，则个位数字为14-x，写出数位调换后的新数表达式，根据“新数比两个数字的积大38”列方程，舍去不符合数位取值范围的解后即可得到原两位数。
【解析】
例1解答：
设原来的两位数十位数字为$x$，则个位数字为$8-x$。
原两位数为：$10x + (8 - x) = 9x + 8$
调换数位后的新两位数为：$10(8 - x) + x = 80 - 9x$
由题意得：$(9x + 8)(80 - 9x) = 1855$
展开整理得：$x^2 - 8x + 15 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 5) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$
当$x=3$时，个位数字为$8-3=5$，原两位数为35；
当$x=5$时，个位数字为$8-5=3$，原两位数为53。
变式训练1解答：
设原来的两位数十位数字为$x$，则个位数字为$14-x$。
调换数位后的新两位数为：$10(14 - x) + x = 140 - 9x$
两个数字的积为$x(14 - x)$
由题意得：$140 - 9x = x(14 - x) + 38$
整理得：$x^2 - 23x + 102 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 17) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=17$
因为十位数字为1~9的整数，故$x=17$不符合题意，舍去。
则个位数字为$14-6=8$，原两位数为68。
【答案】
例1：原来的两位数是35或53；变式训练1：原来的两位数是68。
【知识点】
一元二次方程应用，两位数的表示，列方程解应用题
【点评】
这类题目是一元二次方程的常见应用题型，解题关键是正确用未知数表示出多位数，找准等量关系列方程，求解后要注意结合数位的实际取值要求检验解的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解决这类数字类应用题的核心是明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。
1. 例1思路：已知两位数十位与个位数字和为8，我们设原数十位数字为x，则个位数字为8-x，分别写出原数和数位调换后的新数的表达式，再根据两数乘积为1855的等量关系列一元二次方程，求解后验证解的合理性即可得到原两位数。
2. 变式训练1思路：设原数十位数字为x，则个位数字为14-x，写出数位调换后的新数表达式，根据“新数比两个数字的积大38”列方程，舍去不符合数位取值范围的解后即可得到原两位数。
【解析】
例1解答：
设原来的两位数十位数字为$x$，则个位数字为$8-x$。
原两位数为：$10x + (8 - x) = 9x + 8$
调换数位后的新两位数为：$10(8 - x) + x = 80 - 9x$
由题意得：$(9x + 8)(80 - 9x) = 1855$
展开整理得：$x^2 - 8x + 15 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 5) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$
当$x=3$时，个位数字为$8-3=5$，原两位数为35；
当$x=5$时，个位数字为$8-5=3$，原两位数为53。
变式训练1解答：
设原来的两位数十位数字为$x$，则个位数字为$14-x$。
调换数位后的新两位数为：$10(14 - x) + x = 140 - 9x$
两个数字的积为$x(14 - x)$
由题意得：$140 - 9x = x(14 - x) + 38$
整理得：$x^2 - 23x + 102 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 17) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=17$
因为十位数字为1~9的整数，故$x=17$不符合题意，舍去。
则个位数字为$14-6=8$，原两位数为68。
【答案】
例1：原来的两位数是35或53；变式训练1：原来的两位数是68。
【知识点】
一元二次方程应用，两位数的表示，列方程解应用题
【点评】
这类题目是一元二次方程的常见应用题型，解题关键是正确用未知数表示出多位数，找准等量关系列方程，求解后要注意结合数位的实际取值要求检验解的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
