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3.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
(1)求实数$m$的取值范围。
(2)是否存在实数$m$，使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立？若存在，求出$m$的值，若不存在，请说明理由。
(1)求实数$m$的取值范围。
(2)是否存在实数$m$，使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立？若存在，求出$m$的值，若不存在，请说明理由。
答案
3.解:(1)$m＜1$.
(2)存在实数$m$,使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立,$m$的值为$-3$.
(2)存在实数$m$,使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立,$m$的值为$-3$.
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实根，因此先确定方程各项系数，代入判别式列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
(2) 若要满足$x_1x_2=x_1+x_2$，可先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入等量关系列方程求解$m$，最后要检验求出的$m$是否符合第一问中方程有两个不等实根的取值范围，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=2(m-1)$，$c=m^2-1$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入得：$[2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2-1) ＞ 0$，
展开化简：$4(m^2-2m+1) -4m^2 +4 ＞ 0$，
$4m^2 -8m +4 -4m^2 +4 ＞0$，
$-8m +8 ＞0$，
解得：$m ＜ 1$。
(2) 假设存在实数$m$使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立。
根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2(m-1)$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 -1$，
代入$x_1x_2 = x_1 + x_2$得：
$m^2 -1 = -2(m-1)$，
整理得：$m^2 +2m -3 = 0$，
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$，
解得：$m_1=-3$，$m_2=1$。
由(1)知$m ＜ 1$，故$m=1$不符合条件，舍去，
∴$m=-3$。
【答案】
(1)$m＜1$；
(2)存在实数$m$，使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立，$m$的值为$-3$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用题，解题关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，以及韦达定理的适用前提是方程存在实数根，求解参数后要注意验证参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实根，因此先确定方程各项系数，代入判别式列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
(2) 若要满足$x_1x_2=x_1+x_2$，可先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入等量关系列方程求解$m$，最后要检验求出的$m$是否符合第一问中方程有两个不等实根的取值范围，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=2(m-1)$，$c=m^2-1$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入得：$[2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2-1) ＞ 0$，
展开化简：$4(m^2-2m+1) -4m^2 +4 ＞ 0$，
$4m^2 -8m +4 -4m^2 +4 ＞0$，
$-8m +8 ＞0$，
解得：$m ＜ 1$。
(2) 假设存在实数$m$使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立。
根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2(m-1)$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 -1$，
代入$x_1x_2 = x_1 + x_2$得：
$m^2 -1 = -2(m-1)$，
整理得：$m^2 +2m -3 = 0$，
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$，
解得：$m_1=-3$，$m_2=1$。
由(1)知$m ＜ 1$，故$m=1$不符合条件，舍去，
∴$m=-3$。
【答案】
(1)$m＜1$；
(2)存在实数$m$，使得$x_1x_2 = x_1 + x_2$成立，$m$的值为$-3$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用题，解题关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，以及韦达定理的适用前提是方程存在实数根，求解参数后要注意验证参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
1.若方程$x^2 - 2x = 0$的两个根为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2$的值是（
A.－2
B.1
C.2
D.0
C
）A.－2
B.1
C.2
D.0
答案
1.C
解析
【分析】
本题可通过两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算，先明确一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的各项系数，再代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$即可得到结果；思路2：先通过因式分解法解出方程的两个根，再将两根相加得到结果，两种方法难度都较低。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1、x_2$，则根与系数满足关系$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将题干方程$x^2-2x=0$与一般式对照，可得$a=1$，$b=-2$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$。
方法二（直接求根法）：
对$x^2-2x=0$因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，
因此$x_1+x_2=0+2=2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题方法灵活，既可以用韦达定理快速计算，也可以通过直接解方程求和，是对一元二次方程基础性质的常规考察。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算，先明确一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的各项系数，再代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$即可得到结果；思路2：先通过因式分解法解出方程的两个根，再将两根相加得到结果，两种方法难度都较低。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1、x_2$，则根与系数满足关系$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将题干方程$x^2-2x=0$与一般式对照，可得$a=1$，$b=-2$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$。
方法二（直接求根法）：
对$x^2-2x=0$因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，
因此$x_1+x_2=0+2=2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题方法灵活，既可以用韦达定理快速计算，也可以通过直接解方程求和，是对一元二次方程基础性质的常规考察。
【难度系数】
0.9
2.已知$x_1,x_2$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根，则$x_1x_2$的值为 （
A.−1
B.1
C.−3
D.3
B
）A.−1
B.1
C.−3
D.3
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用。解题时首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中两根乘积的计算公式：若$x_1,x_2$是方程的两个实数根，则$x_1x_2=\frac{c}{a}$，接下来只需从题干方程中找准对应系数$a、c$的值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$x_1,x_2$是其两个实数根，根据根与系数的关系可得两根之积为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干中给出的方程为$x^2 - 3x + 1 = 0$，对应一般形式可得二次项系数$a=1$，常数项$c=1$，代入公式计算：
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查韦达定理的基础应用，只要熟记两根乘积的计算公式，准确对应方程系数就能快速得到答案，是对基础公式掌握程度的常规检验。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用。解题时首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中两根乘积的计算公式：若$x_1,x_2$是方程的两个实数根，则$x_1x_2=\frac{c}{a}$，接下来只需从题干方程中找准对应系数$a、c$的值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$x_1,x_2$是其两个实数根，根据根与系数的关系可得两根之积为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干中给出的方程为$x^2 - 3x + 1 = 0$，对应一般形式可得二次项系数$a=1$，常数项$c=1$，代入公式计算：
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查韦达定理的基础应用，只要熟记两根乘积的计算公式，准确对应方程系数就能快速得到答案，是对基础公式掌握程度的常规检验。
【难度系数】
0.9
3.若关于$x$的一元二次方程$x^2=m$的两个实数根分别是$2a-6$和$3a-4$,则$m$的值是（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
3.B
解析
【分析】
首先，一元二次方程$x^2=m$可化为标准形式$x^2 - m = 0$，该方程无一次项，根据根与系数的关系，两根之和为0；也可从平方根的性质理解：正数的两个平方根互为相反数，因此方程的两个实数根之和为0。解题时先利用两根之和为0列方程求出参数$a$的值，再代入根的表达式求出根，平方后即可得到$m$的值，最后可验证结果是否符合题意。
【解析】
解：$\because$ 一元二次方程$x^2=m$的两个实数根互为相反数，两根之和为0
已知两根分别为$2a-6$和$3a-4$，因此可得：
$(2a-6)+(3a-4)=0$
合并同类项得：$5a -10 =0$
解得：$a=2$
将$a=2$代入$2a-6$得：$2×2 -6 = -2$
则$m = (-2)^2 = 4$，代入另一根$3a-4=2$，$2^2=4$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方根的性质
3. 解一元一次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质的应用，解题核心是掌握形如$x^2=m(m≥0)$的方程的两个实根互为相反数的特点，通过建立关于参数$a$的方程求解，整体解题思路清晰，计算量小，求出参数后可验证两根是否符合要求，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
首先，一元二次方程$x^2=m$可化为标准形式$x^2 - m = 0$，该方程无一次项，根据根与系数的关系，两根之和为0；也可从平方根的性质理解：正数的两个平方根互为相反数，因此方程的两个实数根之和为0。解题时先利用两根之和为0列方程求出参数$a$的值，再代入根的表达式求出根，平方后即可得到$m$的值，最后可验证结果是否符合题意。
【解析】
解：$\because$ 一元二次方程$x^2=m$的两个实数根互为相反数，两根之和为0
已知两根分别为$2a-6$和$3a-4$，因此可得：
$(2a-6)+(3a-4)=0$
合并同类项得：$5a -10 =0$
解得：$a=2$
将$a=2$代入$2a-6$得：$2×2 -6 = -2$
则$m = (-2)^2 = 4$，代入另一根$3a-4=2$，$2^2=4$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方根的性质
3. 解一元一次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质的应用，解题核心是掌握形如$x^2=m(m≥0)$的方程的两个实根互为相反数的特点，通过建立关于参数$a$的方程求解，整体解题思路清晰，计算量小，求出参数后可验证两根是否符合要求，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
4.若$x_1$与$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+2m=0$的两个实数根，且$x_1^2+x_2^2=8$，则$m$的值为（
A.2
B.$-1$
C.$-3$
D.$-4$
B
）A.2
B.$-1$
C.$-3$
D.$-4$
答案
4.B
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个实数根的平方和，求参数m的值。解题思路如下：首先，因为方程有两个实数根，所以根的判别式Δ≥0，后续求出的m需要满足这个条件；其次，我们不需要直接求出两个根的值，利用完全平方公式的变形，可将$x_1^2+x_2^2$转化为用两根之和、两根之积表示的形式，即$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；最后，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入变形后的等式求解m，再验证m是否满足判别式要求即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+2x+2m=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=2m$：
1. 判别式验证前提：因为方程有两个实数根，所以$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×2m = 4-8m ≥ 0$，解得$m ≤ 0.5$。
2. 根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2m$。
3. 代入变形公式计算：已知$x_1^2+x_2^2=8$，结合$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入得：
$(-2)^2 - 2×2m = 8$
化简得$4 -4m =8$，移项计算得$-4m=4$，解得$m=-1$。
4. 验根：将$m=-1$代入判别式得$\Delta=4-8×(-1)=12＞0$，符合方程有两个实根的要求。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题核心是将未知的两根平方和转化为可通过韦达定理计算的两根和、两根积的形式，解题时要注意，涉及一元二次方程实数根的参数求解问题，必须验证判别式是否非负，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程的两个实数根的平方和，求参数m的值。解题思路如下：首先，因为方程有两个实数根，所以根的判别式Δ≥0，后续求出的m需要满足这个条件；其次，我们不需要直接求出两个根的值，利用完全平方公式的变形，可将$x_1^2+x_2^2$转化为用两根之和、两根之积表示的形式，即$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；最后，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入变形后的等式求解m，再验证m是否满足判别式要求即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+2x+2m=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=2m$：
1. 判别式验证前提：因为方程有两个实数根，所以$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×2m = 4-8m ≥ 0$，解得$m ≤ 0.5$。
2. 根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2m$。
3. 代入变形公式计算：已知$x_1^2+x_2^2=8$，结合$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入得：
$(-2)^2 - 2×2m = 8$
化简得$4 -4m =8$，移项计算得$-4m=4$，解得$m=-1$。
4. 验根：将$m=-1$代入判别式得$\Delta=4-8×(-1)=12＞0$，符合方程有两个实根的要求。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题核心是将未知的两根平方和转化为可通过韦达定理计算的两根和、两根积的形式，解题时要注意，涉及一元二次方程实数根的参数求解问题，必须验证判别式是否非负，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
5.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$的两个实数根分别为$x_1=-2,x_2=4$,则$b+c$的值是（
A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$-1$
A
）A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$-1$
答案
5.A
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个实数根，求系数和$b+c$，有两种解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的和与积求出$b$、$c$的值，再计算$b+c$，该方法计算量小，更简便；思路二：根据方程的根的定义，将两个根分别代入原方程，得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$后计算$b+c$。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 + bx + c = 0$，即$a=1$，两根$x_1=-2$，$x_2=4$：
1. 求$b$的值：$x_1+x_2=-2+4=2=-\frac{b}{1}=-b$，解得$b=-2$；
2. 求$c$的值：$x_1x_2=(-2)×4=-8=\frac{c}{1}=c$，解得$c=-8$；
3. 计算$b+c$：$b+c=-2+(-8)=-10$。
方法二（代入法）：
因为$x_1=-2$，$x_2=4$是方程的根，代入原方程得：
$\begin{cases} (-2)^2 + b×(-2) + c = 0 \\ 4^2 + b×4 + c = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 4 - 2b + c = 0 \quad① \\ 16 + 4b + c = 0 \quad② \end{cases}$
用②-①得：$12 + 6b = 0$，解得$b=-2$；
将$b=-2$代入①得：$4 - 2×(-2) + c = 0$，解得$c=-8$；
因此$b+c=-2+(-8)=-10$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理可以大幅提升解题速度，同时代入法也是解决此类问题的通用方法，两种方法都需要灵活运用。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的两个实数根，求系数和$b+c$，有两种解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的和与积求出$b$、$c$的值，再计算$b+c$，该方法计算量小，更简便；思路二：根据方程的根的定义，将两个根分别代入原方程，得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$后计算$b+c$。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 + bx + c = 0$，即$a=1$，两根$x_1=-2$，$x_2=4$：
1. 求$b$的值：$x_1+x_2=-2+4=2=-\frac{b}{1}=-b$，解得$b=-2$；
2. 求$c$的值：$x_1x_2=(-2)×4=-8=\frac{c}{1}=c$，解得$c=-8$；
3. 计算$b+c$：$b+c=-2+(-8)=-10$。
方法二（代入法）：
因为$x_1=-2$，$x_2=4$是方程的根，代入原方程得：
$\begin{cases} (-2)^2 + b×(-2) + c = 0 \\ 4^2 + b×4 + c = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 4 - 2b + c = 0 \quad① \\ 16 + 4b + c = 0 \quad② \end{cases}$
用②-①得：$12 + 6b = 0$，解得$b=-2$；
将$b=-2$代入①得：$4 - 2×(-2) + c = 0$，解得$c=-8$；
因此$b+c=-2+(-8)=-10$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理可以大幅提升解题速度，同时代入法也是解决此类问题的通用方法，两种方法都需要灵活运用。
【难度系数】
0.8
6.若3是关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$的一个根，则这个方程的另一个根为
-1
.答案
6.-1
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=3代入原方程，求出参数c的值，再解完整的一元二次方程即可得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和等于-b/a，直接设另一个根为x₁，根据两根之和列算式求解，无需计算参数c，解题更快捷。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为x₁，
对于一元二次方程x²-2x+c=0，二次项系数a=1，一次项系数b=-2，
根据根与系数的关系，两根之和为：$x_1 + 3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1}=2$，
解得$x_1 = 2 - 3 = -1$。
方法二（利用根的定义求解）：
将x=3代入方程x²-2x+c=0，得：
$3^2 - 2×3 + c = 0$，
计算得：$9 - 6 + c = 0$，解得$c=-3$，
则原方程为$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x - 3)(x + 1) = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
所以方程的另一个根为-1。
【答案】
-1
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都需要掌握，其中利用根与系数的关系求解可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=3代入原方程，求出参数c的值，再解完整的一元二次方程即可得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和等于-b/a，直接设另一个根为x₁，根据两根之和列算式求解，无需计算参数c，解题更快捷。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为x₁，
对于一元二次方程x²-2x+c=0，二次项系数a=1，一次项系数b=-2，
根据根与系数的关系，两根之和为：$x_1 + 3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1}=2$，
解得$x_1 = 2 - 3 = -1$。
方法二（利用根的定义求解）：
将x=3代入方程x²-2x+c=0，得：
$3^2 - 2×3 + c = 0$，
计算得：$9 - 6 + c = 0$，解得$c=-3$，
则原方程为$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x - 3)(x + 1) = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
所以方程的另一个根为-1。
【答案】
-1
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都需要掌握，其中利用根与系数的关系求解可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7.已知方程$x^2 -5x +3=0$的两根为$x_1,x_2$，不解方程，求下列代数式的值.
(1)$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$；
(2)$x_1^2 -4x_1 +x_2$.
(1)$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$；
(2)$x_1^2 -4x_1 +x_2$.
答案
7.解:(1)5 3 (2)2.
解析
【分析】
(1)问直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），确定方程中a、b、c的取值后代入公式计算即可。(2)问首先根据方程根的定义，将x₁代入原方程得到x₁²与x₁的等量关系，再把该关系代入待求代数式化简，最后结合(1)中得到的两根之和的结果整体代入求值，无需解方程求根。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -5x +3=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=3$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
(2) 因为$x_1$是方程$x^2 -5x +3=0$的根，将$x_1$代入方程可得：
$x_1^2 -5x_1 +3=0$，变形得$x_1^2=5x_1 -3$。
把$x_1^2=5x_1 -3$代入$x_1^2 -4x_1 +x_2$得：
原式$=5x_1 -3 -4x_1 +x_2 = x_1 +x_2 -3$
将$x_1+x_2=5$代入上式，得$5-3=2$。
【答案】
(1)5；3 (2)2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，核心考查通过根的定义降次、结合根与系数关系整体代入求值的方法，避免了解方程的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
(1)问直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），确定方程中a、b、c的取值后代入公式计算即可。(2)问首先根据方程根的定义，将x₁代入原方程得到x₁²与x₁的等量关系，再把该关系代入待求代数式化简，最后结合(1)中得到的两根之和的结果整体代入求值，无需解方程求根。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -5x +3=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=3$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
(2) 因为$x_1$是方程$x^2 -5x +3=0$的根，将$x_1$代入方程可得：
$x_1^2 -5x_1 +3=0$，变形得$x_1^2=5x_1 -3$。
把$x_1^2=5x_1 -3$代入$x_1^2 -4x_1 +x_2$得：
原式$=5x_1 -3 -4x_1 +x_2 = x_1 +x_2 -3$
将$x_1+x_2=5$代入上式，得$5-3=2$。
【答案】
(1)5；3 (2)2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，核心考查通过根的定义降次、结合根与系数关系整体代入求值的方法，避免了解方程的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
8.已知关于x的一元二次方程$x^2-(1-2m)x+m^2-3=0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围.
(2)在第(1)问求出的取值范围内,选取一个合适的正整数m,若方程的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$,求$x_1x_2 -x_1 -x_2$的值.
(1)求实数m的取值范围.
(2)在第(1)问求出的取值范围内,选取一个合适的正整数m,若方程的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$,求$x_1x_2 -x_1 -x_2$的值.
答案
8.解:(1)$m＜\frac{13}{4}$.
(2)可选取$m=2$,原式$=4$.
(2)可选取$m=2$,原式$=4$.
解析
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根的判定条件是判别式$\Delta＞0$，先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围；（2）所求代数式$x_1x_2 -x_1 -x_2$可变形为$x_1x_2 - (x_1+x_2)$，根据根与系数的关系直接写出两根之和、两根之积，代入变形后的代数式得到关于$m$的表达式，再在第一问的取值范围内选取符合要求的正整数$m$代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$x^2-(1-2m)x+m^2-3=0$是关于$x$的一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=-(1-2m)$，$c=m^2-3$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(1-2m)]^2 - 4×1×(m^2-3)$
$=1 - 4m + 4m^2 - 4m^2 + 12$
$=13 - 4m$
令$\Delta＞0$，即$13-4m＞0$，解得$m＜\frac{13}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 1-2m$，$x_1x_2 = m^2 - 3$
对所求代数式变形：
$x_1x_2 - x_1 - x_2 = x_1x_2 - (x_1 + x_2)$
代入两根关系得：
原式$=(m^2 - 3) - (1 - 2m) = m^2 + 2m - 4$
由(1)知$m＜\frac{13}{4}=3.25$，且$m$为正整数，因此$m$可取1、2、3，选取$m=2$代入：
原式$=2^2 + 2×2 - 4 = 4$。
【答案】
(1) $m＜\frac{13}{4}$
(2) 选取$m=2$时，值为$4$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问需牢记不同根的情况对应的判别式符号；第二问先对所求代数式变形，再用韦达定理整体代入可简化计算，选取$m$值时要注意符合第一问的取值范围要求。
【难度系数】
0.75
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根的判定条件是判别式$\Delta＞0$，先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围；（2）所求代数式$x_1x_2 -x_1 -x_2$可变形为$x_1x_2 - (x_1+x_2)$，根据根与系数的关系直接写出两根之和、两根之积，代入变形后的代数式得到关于$m$的表达式，再在第一问的取值范围内选取符合要求的正整数$m$代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$x^2-(1-2m)x+m^2-3=0$是关于$x$的一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=-(1-2m)$，$c=m^2-3$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(1-2m)]^2 - 4×1×(m^2-3)$
$=1 - 4m + 4m^2 - 4m^2 + 12$
$=13 - 4m$
令$\Delta＞0$，即$13-4m＞0$，解得$m＜\frac{13}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 1-2m$，$x_1x_2 = m^2 - 3$
对所求代数式变形：
$x_1x_2 - x_1 - x_2 = x_1x_2 - (x_1 + x_2)$
代入两根关系得：
原式$=(m^2 - 3) - (1 - 2m) = m^2 + 2m - 4$
由(1)知$m＜\frac{13}{4}=3.25$，且$m$为正整数，因此$m$可取1、2、3，选取$m=2$代入：
原式$=2^2 + 2×2 - 4 = 4$。
【答案】
(1) $m＜\frac{13}{4}$
(2) 选取$m=2$时，值为$4$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问需牢记不同根的情况对应的判别式符号；第二问先对所求代数式变形，再用韦达定理整体代入可简化计算，选取$m$值时要注意符合第一问的取值范围要求。
【难度系数】
0.75
