登录
1.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
-3
。答案
1.-3
解析
【分析】
本题有两种常见解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知一个根和方程系数，可直接计算另一个根，步骤更简便；思路二：先将已知根代入原方程求出参数$m$，再解完整的一元二次方程得到另一根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于方程$x^2+2x-m=0$，其中$a=1$，$b=2$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参法）：
把$x_1=1$代入原方程得$1^2+2×1 -m=0$，计算得$3-m=0$，解得$m=3$。
原方程变为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查根与系数关系的应用，熟练使用韦达定理可省略求参数的步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
本题有两种常见解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知一个根和方程系数，可直接计算另一个根，步骤更简便；思路二：先将已知根代入原方程求出参数$m$，再解完整的一元二次方程得到另一根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于方程$x^2+2x-m=0$，其中$a=1$，$b=2$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参法）：
把$x_1=1$代入原方程得$1^2+2×1 -m=0$，计算得$3-m=0$，解得$m=3$。
原方程变为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查根与系数关系的应用，熟练使用韦达定理可省略求参数的步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
【例2】已知一元二次方程$x^2+3x-1=0$的两根分别是$x_1,x_2$，请利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)$x_1^2 + x_2^2$；
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$。
解：
【规律方法】
求由一元二次方程的两根组成的代数式的值时，关键是把待求值的代数式进行恒等变形，将代数式中含有两根的部分都转化为两根的和或两根的积的形式，然后整体代入求值。
(1)$x_1^2 + x_2^2$；
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$。
解：
【规律方法】
求由一元二次方程的两根组成的代数式的值时，关键是把待求值的代数式进行恒等变形，将代数式中含有两根的部分都转化为两根的和或两根的积的形式，然后整体代入求值。
答案
解:(1)11. (2)3.
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程的根与系数关系，求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；再将待求的代数式通过恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；最后将两根和、两根积的值整体代入变形后的式子计算即可。其中平方和可借助完全平方公式变形，异分母分式求和可先通分再整理。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+3x-1=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$。
(1) 求$x_1^2+x_2^2$的值：
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入数值计算：
原式$=(-3)^2-2×(-1)=9+2=11$。
(2) 求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值：
先通分变形得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入数值计算：
原式$=\frac{-3}{-1}=3$。
【答案】
(1)$11$；(2)$3$
【知识点】
根与系数的关系，代数式恒等变形，整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，核心是掌握常见的两根代数式的变形技巧，将所求式子转化为两根之和、两根之积的表达形式后整体代入计算，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据一元二次方程的根与系数关系，求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；再将待求的代数式通过恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；最后将两根和、两根积的值整体代入变形后的式子计算即可。其中平方和可借助完全平方公式变形，异分母分式求和可先通分再整理。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+3x-1=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$。
(1) 求$x_1^2+x_2^2$的值：
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入数值计算：
原式$=(-3)^2-2×(-1)=9+2=11$。
(2) 求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值：
先通分变形得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入数值计算：
原式$=\frac{-3}{-1}=3$。
【答案】
(1)$11$；(2)$3$
【知识点】
根与系数的关系，代数式恒等变形，整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，核心是掌握常见的两根代数式的变形技巧，将所求式子转化为两根之和、两根之积的表达形式后整体代入计算，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.已知方程$5x^2 -10x +2=0$有两个实数根$x_1,x_2$。
(1)填空：$x_1 + x_2 =$
(2)求$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2$的值。
(3)求$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$的值。
(1)填空：$x_1 + x_2 =$
2
；$x_1x_2 =$$\frac{2}{5}$
。(2)求$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2$的值。
(3)求$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$的值。
答案
2.解:(1)2 $\frac{2}{5}$ (2)$\frac{18}{5}$. (3)8.
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：1. 第(1)问直接套用根与系数的关系公式，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入对应系数计算即可；2. 第(2)问利用完全平方公式将所求代数式变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再整体代入第(1)问的结果计算；3. 第(3)问先对分式通分，再结合完全平方公式将分子变形为仅含两根和、两根积的形式，最后整体代入计算。
【解析】
(1) 已知方程$5x^2-10x+2=0$，其中$a=5$，$b=-10$，$c=2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-10}{5}=2$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{5}$
(2) 先对代数式变形：
$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=\frac{2}{5}$代入得：
原式$=2^2-\frac{2}{5}=4-\frac{2}{5}=\frac{18}{5}$
(3) 先对分式通分化简：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=\frac{2}{5}$代入得：
原式$=\frac{2^2-2×\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{4-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{2}{5}}=8$
【答案】
(1) $2$；$\frac{2}{5}$
(2) $\frac{18}{5}$
(3) $8$
【知识点】
根与系数的关系；完全平方公式；分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题，核心解题方法是将所求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，再整体代入计算，掌握常见的代数式变形技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：1. 第(1)问直接套用根与系数的关系公式，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入对应系数计算即可；2. 第(2)问利用完全平方公式将所求代数式变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再整体代入第(1)问的结果计算；3. 第(3)问先对分式通分，再结合完全平方公式将分子变形为仅含两根和、两根积的形式，最后整体代入计算。
【解析】
(1) 已知方程$5x^2-10x+2=0$，其中$a=5$，$b=-10$，$c=2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-10}{5}=2$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{5}$
(2) 先对代数式变形：
$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=\frac{2}{5}$代入得：
原式$=2^2-\frac{2}{5}=4-\frac{2}{5}=\frac{18}{5}$
(3) 先对分式通分化简：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=\frac{2}{5}$代入得：
原式$=\frac{2^2-2×\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{4-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{2}{5}}=8$
【答案】
(1) $2$；$\frac{2}{5}$
(2) $\frac{18}{5}$
(3) $8$
【知识点】
根与系数的关系；完全平方公式；分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题，核心解题方法是将所求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，再整体代入计算，掌握常见的代数式变形技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + k^2 -3=0$.
(1)若该方程有两个实数根,求$k$的取值范围.
(2)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=11$,求$k$的值.
|思路分析|
思考1:若一元二次方程有两个实数根,则判别式$\Delta$
思考2:由题意,知$x_1+x_2=$
解:
【规律方法】
利用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系求字母的值或取值范围时,关键是列出不等式或方程,解不等式或方程即可求出字母的取值范围或值.这里要注意求出的字母的取值范围或值是满足$\Delta≥0$,还是满足$\Delta＞0$,应根据题意判断.
(1)若该方程有两个实数根,求$k$的取值范围.
(2)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=11$,求$k$的值.
|思路分析|
思考1:若一元二次方程有两个实数根,则判别式$\Delta$
$≥$
0.思考2:由题意,知$x_1+x_2=$
$2(k+1)$
,$x_1x_2=$$k^2 -3$
,$(x_1 -1)(x_2 -1)$展开后可得$x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
.解:
【规律方法】
利用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系求字母的值或取值范围时,关键是列出不等式或方程,解不等式或方程即可求出字母的取值范围或值.这里要注意求出的字母的取值范围或值是满足$\Delta≥0$,还是满足$\Delta＞0$,应根据题意判断.
答案
思考1:$≥$
思考2:$2(k+1)\ \ k^2-3\ \ x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
解:(1)$k≥-2$. (2)$k$的值为5.
思考2:$2(k+1)\ \ k^2-3\ \ x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
解:(1)$k≥-2$. (2)$k$的值为5.
解析
【分析】
（1）第一问求k的取值范围，已知一元二次方程有两个实数根，根据根的情况和判别式的对应关系，判别式Δ≥0时方程有两个实数根，我们只需代入判别式公式列不等式求解即可。
（2）第二问已知两根满足的关系式，首先用韦达定理写出两根之和、两根之积，再将给出的关系式展开，把两根之和、两根之积整体代入就能得到关于k的方程，解方程后要结合第一问的k的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
先完成思路分析填空：
思考1：一元二次方程有两个实数根，判别式Δ≥0，故填$≥$。
思考2：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1,b=-2(k+1),c=k^2-3$，因此$x_1+x_2=2(k+1)$，$x_1x_2=k^2-3$；将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得$x_1x_2-(x_1+x_2)+1$。
正式解题：
(1) 方程有两个实数根，因此$\Delta≥0$：
$\Delta=[-2(k+1)]^2-4×1×(k^2-3)$
$=4(k^2+2k+1)-4k^2+12$
$=8k+16$
令$8k+16≥0$，解得$k≥-2$。
(2) 由韦达定理得$x_1+x_2=2(k+1)$，$x_1x_2=k^2-3$，将$(x_1-1)(x_2-1)=11$展开：
$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=11$
代入得：$(k^2-3)-2(k+1)+1=11$
化简整理得$k^2-2k-15=0$，因式分解为$(k-5)(k+3)=0$，解得$k=5$或$k=-3$。
结合(1)中$k≥-2$的范围，舍去$k=-3$，因此$k=5$。
【答案】
思考1：$≥$；思考2：$2(k+1)$，$k^2-3$，$x_1x_2-(x_1+x_2)+1$；(1)$k≥ -2$；(2)$k=5$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题关键是掌握根的判别式的应用规则和韦达定理的公式，要注意求出参数值后需验证是否满足判别式要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求k的取值范围，已知一元二次方程有两个实数根，根据根的情况和判别式的对应关系，判别式Δ≥0时方程有两个实数根，我们只需代入判别式公式列不等式求解即可。
（2）第二问已知两根满足的关系式，首先用韦达定理写出两根之和、两根之积，再将给出的关系式展开，把两根之和、两根之积整体代入就能得到关于k的方程，解方程后要结合第一问的k的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
先完成思路分析填空：
思考1：一元二次方程有两个实数根，判别式Δ≥0，故填$≥$。
思考2：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1,b=-2(k+1),c=k^2-3$，因此$x_1+x_2=2(k+1)$，$x_1x_2=k^2-3$；将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得$x_1x_2-(x_1+x_2)+1$。
正式解题：
(1) 方程有两个实数根，因此$\Delta≥0$：
$\Delta=[-2(k+1)]^2-4×1×(k^2-3)$
$=4(k^2+2k+1)-4k^2+12$
$=8k+16$
令$8k+16≥0$，解得$k≥-2$。
(2) 由韦达定理得$x_1+x_2=2(k+1)$，$x_1x_2=k^2-3$，将$(x_1-1)(x_2-1)=11$展开：
$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=11$
代入得：$(k^2-3)-2(k+1)+1=11$
化简整理得$k^2-2k-15=0$，因式分解为$(k-5)(k+3)=0$，解得$k=5$或$k=-3$。
结合(1)中$k≥-2$的范围，舍去$k=-3$，因此$k=5$。
【答案】
思考1：$≥$；思考2：$2(k+1)$，$k^2-3$，$x_1x_2-(x_1+x_2)+1$；(1)$k≥ -2$；(2)$k=5$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题关键是掌握根的判别式的应用规则和韦达定理的公式，要注意求出参数值后需验证是否满足判别式要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
