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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，点P从点A出发，沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2 cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）。在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（
A.$\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
答案
1.C
解析
【分析】
要求四边形PABQ的最小面积，直接计算不规则四边形面积较复杂，可采用间接法求解：先算出Rt△ABC的固定面积，再减去△PCQ的面积即可得到四边形面积。首先用勾股定理求出AC的长度，再设运动时间为t，用含t的代数式分别表示出PC、CQ的长度，进而写出△PCQ的面积表达式，最终得到四边形面积关于t的二次函数，结合t的取值范围求二次函数的最小值即可。
【解析】
1. 求AC的长度与△ABC的面积
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AB=5cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
2. 设运动时间，表示相关线段长度
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点Q从C到B的运动总时长为$\frac{4}{2}=2\ \mathrm{s}$，故t的取值范围为$0≤ t≤2$。
此时$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$PC=AC-AP=(3-t)\ \mathrm{cm}$。
3. 推导四边形面积的函数表达式
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{2}×(3-t)×2t=-t^2+3t$
四边形PABQ的面积：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=6-(-t^2+3t)=t^2-3t+6$
4. 求二次函数的最小值
二次函数$S=t^2-3t+6$开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}=1.5$，$1.5$在$0≤ t≤2$的取值范围内，
将$t=1.5$代入得：
$S_{\mathrm{最小}}=(1.5)^2-3×1.5+6=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；动点面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，通过间接法计算不规则图形的面积，将动态几何问题转化为二次函数最值问题，解题时需先确定自变量的取值范围，再结合二次函数性质求解，避免无意义的最值结果。
【难度系数】
0.6
要求四边形PABQ的最小面积，直接计算不规则四边形面积较复杂，可采用间接法求解：先算出Rt△ABC的固定面积，再减去△PCQ的面积即可得到四边形面积。首先用勾股定理求出AC的长度，再设运动时间为t，用含t的代数式分别表示出PC、CQ的长度，进而写出△PCQ的面积表达式，最终得到四边形面积关于t的二次函数，结合t的取值范围求二次函数的最小值即可。
【解析】
1. 求AC的长度与△ABC的面积
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AB=5cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
2. 设运动时间，表示相关线段长度
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点Q从C到B的运动总时长为$\frac{4}{2}=2\ \mathrm{s}$，故t的取值范围为$0≤ t≤2$。
此时$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$PC=AC-AP=(3-t)\ \mathrm{cm}$。
3. 推导四边形面积的函数表达式
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{2}×(3-t)×2t=-t^2+3t$
四边形PABQ的面积：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=6-(-t^2+3t)=t^2-3t+6$
4. 求二次函数的最小值
二次函数$S=t^2-3t+6$开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}=1.5$，$1.5$在$0≤ t≤2$的取值范围内，
将$t=1.5$代入得：
$S_{\mathrm{最小}}=(1.5)^2-3×1.5+6=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；动点面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，通过间接法计算不规则图形的面积，将动态几何问题转化为二次函数最值问题，解题时需先确定自变量的取值范围，再结合二次函数性质求解，避免无意义的最值结果。
【难度系数】
0.6
2. 一座抛物线形拱桥，按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线对应的解析式为 $y=-\dfrac{1}{16}x^2$，正常水位时水面宽AB为16 m，当水位上升3 m后，水面CD的宽为（
A.12 m
B.10 m
C.8 m
D.6 m
C
）A.12 m
B.10 m
C.8 m
D.6 m
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先利用抛物线的对称性，先确定正常水位时水面边缘点的横坐标，代入抛物线解析式求出正常水位对应的纵坐标；再根据水位上升的高度求出新水位对应的纵坐标，最后将新的纵坐标代入解析式，求出此时水面边缘点的横坐标，计算两个横坐标的差即可得到水面CD的宽度。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{16}x^2$，对称轴为y轴。
1. 求正常水位AB对应的纵坐标：
正常水位时水面宽$AB=16\ \mathrm{m}$，由抛物线对称性可知，点B的横坐标为$\dfrac{16}{2}=8$，将$x=8$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{16}×8^2=-\dfrac{1}{16}×64=-4$
即正常水位时水面的纵坐标为$-4\ \mathrm{m}$。
2. 求水位上升3m后水面的纵坐标：
水位上升3m后，水面的纵坐标为$-4+3=-1\ \mathrm{m}$。
3. 求此时水面CD的宽度：
将$y=-1$代入抛物线解析式得：
$-1=-\dfrac{1}{16}x^2$
解得$x^2=16$，即$x=\pm4$。
所以点C横坐标为$-4$，点D横坐标为$4$，则CD的宽度为$4-(-4)=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合抛物线的对称性，将实际的水位高度转化为对应点的纵坐标，再代入解析式求解横坐标即可，需要注意坐标系中y轴正方向的设定，避免正负号出错。
【难度系数】
0.8
解题时先利用抛物线的对称性，先确定正常水位时水面边缘点的横坐标，代入抛物线解析式求出正常水位对应的纵坐标；再根据水位上升的高度求出新水位对应的纵坐标，最后将新的纵坐标代入解析式，求出此时水面边缘点的横坐标，计算两个横坐标的差即可得到水面CD的宽度。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{16}x^2$，对称轴为y轴。
1. 求正常水位AB对应的纵坐标：
正常水位时水面宽$AB=16\ \mathrm{m}$，由抛物线对称性可知，点B的横坐标为$\dfrac{16}{2}=8$，将$x=8$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{16}×8^2=-\dfrac{1}{16}×64=-4$
即正常水位时水面的纵坐标为$-4\ \mathrm{m}$。
2. 求水位上升3m后水面的纵坐标：
水位上升3m后，水面的纵坐标为$-4+3=-1\ \mathrm{m}$。
3. 求此时水面CD的宽度：
将$y=-1$代入抛物线解析式得：
$-1=-\dfrac{1}{16}x^2$
解得$x^2=16$，即$x=\pm4$。
所以点C横坐标为$-4$，点D横坐标为$4$，则CD的宽度为$4-(-4)=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合抛物线的对称性，将实际的水位高度转化为对应点的纵坐标，再代入解析式求解横坐标即可，需要注意坐标系中y轴正方向的设定，避免正负号出错。
【难度系数】
0.8
3. 如图，将高尔夫球沿与地面成某个角度的方向击出时，不考虑空气阻力，球的飞行路线可近似看作一条抛物线. 球的飞行高度 $h$（单位：m）与飞行时间 $t$（单位：s）之间具有函数关系 $h=20t-5t^2$. 下列说法正确的是 （
A.当球飞行1 s时，飞行高度为10 m
B.当球飞行高度为15 m时，飞行的时间是3 s
C.球飞行的最大高度为25 m
D.球从飞出到落地要用4 s
D
）A.当球飞行1 s时，飞行高度为10 m
B.当球飞行高度为15 m时，飞行的时间是3 s
C.球飞行的最大高度为25 m
D.球从飞出到落地要用4 s
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，可通过代入求值、解方程、求二次函数最值的方法逐个验证选项：①对A选项，直接将t=1代入函数表达式计算高度判断正误；②对B选项，令h=15，解一元二次方程得到对应的时间，判断是否只有3s；③对C选项，通过配方法求二次函数的最大值，即球的最大飞行高度；④对D选项，令h=0，解方程得到t的正解，就是球从飞出到落地的总时间，注意舍去初始时刻t=0的解。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：将$t=1$代入$h=20t-5t^2$，得$h=20×1 -5×1^2=15\ \mathrm{m}$，不是10m，故A错误。
选项B：令$h=15$，则$15=20t-5t^2$，整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解得$(t-1)(t-3)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=3$，即飞行高度为15m时，时间为1s或3s，故B错误。
选项C：将函数配方求最大值：$h=-5t^2+20t=-5(t^2-4t)=-5(t-2)^2+20$，因为$-5＜0$，所以当$t=2$时，h取最大值20m，即最大飞行高度为20m，故C错误。
选项D：球落地时高度$h=0$，令$20t-5t^2=0$，提取公因式得$5t(4-t)=0$，解得$t_1=0$（为初始飞出时刻，舍去），$t_2=4$，即球从飞出到落地用时4s，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；解一元二次方程
【点评】
本题结合球类飞行的实际场景考查二次函数的基本性质，解题时要注意结合实际意义对解方程得到的结果进行取舍，属于基础常考题型，核心是掌握二次函数求值、求最值、解方程的基本方法。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在实际问题中的应用，可通过代入求值、解方程、求二次函数最值的方法逐个验证选项：①对A选项，直接将t=1代入函数表达式计算高度判断正误；②对B选项，令h=15，解一元二次方程得到对应的时间，判断是否只有3s；③对C选项，通过配方法求二次函数的最大值，即球的最大飞行高度；④对D选项，令h=0，解方程得到t的正解，就是球从飞出到落地的总时间，注意舍去初始时刻t=0的解。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：将$t=1$代入$h=20t-5t^2$，得$h=20×1 -5×1^2=15\ \mathrm{m}$，不是10m，故A错误。
选项B：令$h=15$，则$15=20t-5t^2$，整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解得$(t-1)(t-3)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=3$，即飞行高度为15m时，时间为1s或3s，故B错误。
选项C：将函数配方求最大值：$h=-5t^2+20t=-5(t^2-4t)=-5(t-2)^2+20$，因为$-5＜0$，所以当$t=2$时，h取最大值20m，即最大飞行高度为20m，故C错误。
选项D：球落地时高度$h=0$，令$20t-5t^2=0$，提取公因式得$5t(4-t)=0$，解得$t_1=0$（为初始飞出时刻，舍去），$t_2=4$，即球从飞出到落地用时4s，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；解一元二次方程
【点评】
本题结合球类飞行的实际场景考查二次函数的基本性质，解题时要注意结合实际意义对解方程得到的结果进行取舍，属于基础常考题型，核心是掌握二次函数求值、求最值、解方程的基本方法。
【难度系数】
0.7
4. 用20 m长的绳子围成长方形，设长方形一边的长为x m，面积为S m²，当x取
5
时，S最大，最大值为25
。答案
4. 5 25
解析
【分析】
解题时先从周长条件入手，先推导出长方形另一边长的表达式，再根据长方形面积公式列出面积S关于边长x的函数关系式，判断所得函数为开口向下的二次函数，根据二次函数的性质，开口向下的抛物线顶点处取得最大值，最后用二次函数顶点坐标公式计算对应x的值和最大面积即可，过程中要注意边长x的取值需符合实际意义（边长为正数）。
【解析】
解：已知长方形周长为20m，一边长为$x\ \mathrm{m}$，
则长方形的另一边长为 $\frac{20}{2} - x = (10 - x)\ \mathrm{m}$，其中边长需满足 $0 ＜ x ＜ 10$。
根据长方形面积公式，面积 $S = x(10 - x)$，
整理得二次函数解析式：$S = -x^2 + 10x$，
该函数二次项系数 $a = -1 ＜ 0$，因此函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=10$得：
$x = -\frac{10}{2×(-1)} = 5$，符合$0＜x＜10$的取值要求。
将$x=5$代入函数解析式得最大面积：
$S = -5^2 + 10×5 = 25\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
5；25
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值求解；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的典型基础题，核心是结合几何图形的周长、面积公式列出符合题意的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.8
解题时先从周长条件入手，先推导出长方形另一边长的表达式，再根据长方形面积公式列出面积S关于边长x的函数关系式，判断所得函数为开口向下的二次函数，根据二次函数的性质，开口向下的抛物线顶点处取得最大值，最后用二次函数顶点坐标公式计算对应x的值和最大面积即可，过程中要注意边长x的取值需符合实际意义（边长为正数）。
【解析】
解：已知长方形周长为20m，一边长为$x\ \mathrm{m}$，
则长方形的另一边长为 $\frac{20}{2} - x = (10 - x)\ \mathrm{m}$，其中边长需满足 $0 ＜ x ＜ 10$。
根据长方形面积公式，面积 $S = x(10 - x)$，
整理得二次函数解析式：$S = -x^2 + 10x$，
该函数二次项系数 $a = -1 ＜ 0$，因此函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=10$得：
$x = -\frac{10}{2×(-1)} = 5$，符合$0＜x＜10$的取值要求。
将$x=5$代入函数解析式得最大面积：
$S = -5^2 + 10×5 = 25\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
5；25
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值求解；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的典型基础题，核心是结合几何图形的周长、面积公式列出符合题意的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.8
5. 某种商品进价为20元，售价为$x$元（$20≤ x≤ 30$，$x$为整数），销量为$(30-x)$件，利润最大时售价为
25
元。答案
5. 25
解析
【分析】
解决本题首先要明确销售利润的基本计算公式：总利润=单件利润×销售数量。首先根据题目给出的进价、售价、销量的关系，将总利润表示为关于售价x的二次函数；再结合二次函数的性质求最值，同时注意题目中x的取值范围（20≤x≤30且x为整数）的限制，验证取最值时的x是否符合要求即可。
【解析】
设该商品的总利润为y元。
单件利润为：$x - 20$元，销量为$(30 - x)$件，因此总利润：
$y=(x - 20)(30 - x)$
展开并配方得：
$y=-x^2 + 50x - 600=-(x - 25)^2 + 25$
∵二次项系数$-1＜0$，
∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为$x=25$，满足$20≤25≤30$，且25是整数，符合题意。
因此利润最大时售价为25元。
【答案】
25
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值的常考基础题型，解题关键是正确根据利润公式列出二次函数解析式，求解时需注意自变量的实际限制条件，避免忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确销售利润的基本计算公式：总利润=单件利润×销售数量。首先根据题目给出的进价、售价、销量的关系，将总利润表示为关于售价x的二次函数；再结合二次函数的性质求最值，同时注意题目中x的取值范围（20≤x≤30且x为整数）的限制，验证取最值时的x是否符合要求即可。
【解析】
设该商品的总利润为y元。
单件利润为：$x - 20$元，销量为$(30 - x)$件，因此总利润：
$y=(x - 20)(30 - x)$
展开并配方得：
$y=-x^2 + 50x - 600=-(x - 25)^2 + 25$
∵二次项系数$-1＜0$，
∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为$x=25$，满足$20≤25≤30$，且25是整数，符合题意。
因此利润最大时售价为25元。
【答案】
25
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值的常考基础题型，解题关键是正确根据利润公式列出二次函数解析式，求解时需注意自变量的实际限制条件，避免忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.8
6. 某种一次性医用外科口罩的利润$y$（单位：元）关于售价$x$（单位：元）的函数解析式为$y=-x^2 + 10x + 11$，且售价$x$的取值范围是$1≤ x≤4$，则最大利润是
35
元.答案
6. 35
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的区间最值求解问题，解题思路如下：1.先明确二次函数的一般形式，判断开口方向：二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处是整个函数的最大值点；2.计算二次函数的对称轴，对比题目给出的售价x的取值范围，判断该区间在对称轴的哪一侧；3.结合开口方向和函数增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，据此确定区间内取得最大值时对应的x值；4.代入x值计算即可得到最大利润，注意不能直接取顶点的函数值，要结合x的实际取值范围判断。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 + 10x + 11$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 计算对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$；
3. 已知售价范围是$1≤ x≤4$，该区间在对称轴$x=5$的左侧，根据二次函数性质，开口向下时对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取区间最大值4时，$y$取得最大值；
4. 代入$x=4$计算：$y=-4^2 +10×4 +11=-16+40+11=35$。
【答案】
35
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值求解，实际问题与二次函数
【点评】
本题重点考查二次函数在限定自变量范围内的最值计算，解题核心是结合开口方向、对称轴判断函数在给定区间内的增减性，易错点是忽略自变量的取值范围，直接代入顶点横坐标计算最大值，做题时要注意结合实际取值范围分析。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际问题中的区间最值求解问题，解题思路如下：1.先明确二次函数的一般形式，判断开口方向：二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处是整个函数的最大值点；2.计算二次函数的对称轴，对比题目给出的售价x的取值范围，判断该区间在对称轴的哪一侧；3.结合开口方向和函数增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，据此确定区间内取得最大值时对应的x值；4.代入x值计算即可得到最大利润，注意不能直接取顶点的函数值，要结合x的实际取值范围判断。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 + 10x + 11$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 计算对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$；
3. 已知售价范围是$1≤ x≤4$，该区间在对称轴$x=5$的左侧，根据二次函数性质，开口向下时对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取区间最大值4时，$y$取得最大值；
4. 代入$x=4$计算：$y=-4^2 +10×4 +11=-16+40+11=35$。
【答案】
35
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值求解，实际问题与二次函数
【点评】
本题重点考查二次函数在限定自变量范围内的最值计算，解题核心是结合开口方向、对称轴判断函数在给定区间内的增减性，易错点是忽略自变量的取值范围，直接代入顶点横坐标计算最大值，做题时要注意结合实际取值范围分析。
【难度系数】
0.7
