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7. 如图，在一块边长为2 m 的正方形木板 ABCD 上粘贴两种不同的墙纸用来做展示板，3个阴影正方形均贴甲型墙纸，其余部分贴乙型墙纸。正方形 AMKN 和正方形 FECG 是全等的正方形，点 A，K，F，C 在同一条直线上。已知甲、乙两种墙纸每平方米的价格分别为 30 元和 12 元。设 CE 长为 x m，总费用为 W 元。
（1）用含 x 的代数式表示 3 个阴影正方形的面积之和为
（2）当 x＝0.5 时，总费用 W 为多少元？
（3）当 x 为何值时，总费用最少？最少费用为多少元？
（1）用含 x 的代数式表示 3 个阴影正方形的面积之和为
$(6x^2-8x+4)$
m²；（2）当 x＝0.5 时，总费用 W 为多少元？
（3）当 x 为何值时，总费用最少？最少费用为多少元？
答案
7. 解 （1）$(6x^2-8x+4)$
（2）由（1）知，非阴影部分的面积为
$4-(6x^2-8x+4)=(-6x^2+8x)\ \mathrm{m}^2$。
当 $x=0.5$ 时，$6x^2-8x+4=1.5$，
$-6x^2+8x=2.5$，所以 $W=30× 1.5+12× 2.5=75$（元）。
（3）根据题意得 $W=30× (6x^2-8x+4)+12× (-6x^2+8x)$
$=180x^2-240x+120-72x^2+96x$
$=108x^2-144x+120$。
因为 $108＞0$，所以当 $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-144}{2× 108}=\dfrac{2}{3}$ 时，$W$ 有最小值，最小值为 $108× \dfrac{4}{9}-144× \dfrac{2}{3}+120=72$。
即当 $x=\dfrac{2}{3}$ 时，总费用最少，最少费用为72元。
（2）由（1）知，非阴影部分的面积为
$4-(6x^2-8x+4)=(-6x^2+8x)\ \mathrm{m}^2$。
当 $x=0.5$ 时，$6x^2-8x+4=1.5$，
$-6x^2+8x=2.5$，所以 $W=30× 1.5+12× 2.5=75$（元）。
（3）根据题意得 $W=30× (6x^2-8x+4)+12× (-6x^2+8x)$
$=180x^2-240x+120-72x^2+96x$
$=108x^2-144x+120$。
因为 $108＞0$，所以当 $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-144}{2× 108}=\dfrac{2}{3}$ 时，$W$ 有最小值，最小值为 $108× \dfrac{4}{9}-144× \dfrac{2}{3}+120=72$。
即当 $x=\dfrac{2}{3}$ 时，总费用最少，最少费用为72元。
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确三个阴影正方形的边长：已知正方形AMKN和FECG全等，CE长为x m，因此两个小阴影正方形的边长均为x m；大正方形ABCD边长为2 m，点A、K、F、C共线，因此中间阴影正方形的边长为$(2-2x)\ \mathrm{m}$，分别计算三个正方形的面积相加后化简即可得到结果。
（2）第二问先求出非阴影部分的面积（大正方形面积减去阴影部分面积），再分别用阴影、非阴影面积乘以对应墙纸单价，代入x=0.5计算即可得到总费用。
（3）第三问先根据总费用=甲型墙纸总费用+乙型墙纸总费用，列出W关于x的二次函数解析式，再结合二次函数的性质：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，顶点处函数值最小，利用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求出x的值，再代入解析式求出最小费用即可。
【解析】
（1）两个小阴影正方形的边长均为x m，面积和为$x^2 + x^2 = 2x^2\ \mathrm{m}^2$；
中间阴影正方形的边长为$(2-2x)\ \mathrm{m}$，面积为$(2-2x)^2 = 4x^2 -8x +4\ \mathrm{m}^2$；
因此三个阴影正方形的面积和为$2x^2 + 4x^2 -8x +4 = (6x^2 -8x +4)\ \mathrm{m}^2$。
（2）大正方形ABCD的面积为$2×2=4\ \mathrm{m}^2$，因此非阴影部分的面积为$4 - (6x^2 -8x +4) = (-6x^2 +8x)\ \mathrm{m}^2$。
当x=0.5时：
阴影部分面积为$6×(0.5)^2 -8×0.5 +4 = 1.5\ \mathrm{m}^2$，
非阴影部分面积为$-6×(0.5)^2 +8×0.5 = 2.5\ \mathrm{m}^2$，
总费用$W=30×1.5 + 12×2.5 = 45 + 30 = 75$元。
（3）根据题意，总费用$W = 30×(6x^2 -8x +4) + 12×(-6x^2 +8x)$，
化简得：
$W=180x^2 -240x +120 -72x^2 +96x = 108x^2 -144x +120$，
$\because 108＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-144}{2×108}=\frac{2}{3}$时，W取得最小值，
将$x=\frac{2}{3}$代入得：
$W_{\mathrm{最小}}=108×(\frac{2}{3})^2 -144×\frac{2}{3} +120 = 48 - 96 + 120 =72$元。
【答案】
（1）$\boxed{6x^2-8x+4}$
（2）$\boxed{75}$元
（3）当$x=\boxed{\dfrac{2}{3}}$时，总费用最少，最少费用为$\boxed{72}$元
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际装修费用的场景考查代数知识的应用，需要先理清图形各部分边长的数量关系，正确列出代数式和函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，兼顾了对基础运算能力和函数应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
（1）解决第一问首先要明确三个阴影正方形的边长：已知正方形AMKN和FECG全等，CE长为x m，因此两个小阴影正方形的边长均为x m；大正方形ABCD边长为2 m，点A、K、F、C共线，因此中间阴影正方形的边长为$(2-2x)\ \mathrm{m}$，分别计算三个正方形的面积相加后化简即可得到结果。
（2）第二问先求出非阴影部分的面积（大正方形面积减去阴影部分面积），再分别用阴影、非阴影面积乘以对应墙纸单价，代入x=0.5计算即可得到总费用。
（3）第三问先根据总费用=甲型墙纸总费用+乙型墙纸总费用，列出W关于x的二次函数解析式，再结合二次函数的性质：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，顶点处函数值最小，利用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求出x的值，再代入解析式求出最小费用即可。
【解析】
（1）两个小阴影正方形的边长均为x m，面积和为$x^2 + x^2 = 2x^2\ \mathrm{m}^2$；
中间阴影正方形的边长为$(2-2x)\ \mathrm{m}$，面积为$(2-2x)^2 = 4x^2 -8x +4\ \mathrm{m}^2$；
因此三个阴影正方形的面积和为$2x^2 + 4x^2 -8x +4 = (6x^2 -8x +4)\ \mathrm{m}^2$。
（2）大正方形ABCD的面积为$2×2=4\ \mathrm{m}^2$，因此非阴影部分的面积为$4 - (6x^2 -8x +4) = (-6x^2 +8x)\ \mathrm{m}^2$。
当x=0.5时：
阴影部分面积为$6×(0.5)^2 -8×0.5 +4 = 1.5\ \mathrm{m}^2$，
非阴影部分面积为$-6×(0.5)^2 +8×0.5 = 2.5\ \mathrm{m}^2$，
总费用$W=30×1.5 + 12×2.5 = 45 + 30 = 75$元。
（3）根据题意，总费用$W = 30×(6x^2 -8x +4) + 12×(-6x^2 +8x)$，
化简得：
$W=180x^2 -240x +120 -72x^2 +96x = 108x^2 -144x +120$，
$\because 108＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-144}{2×108}=\frac{2}{3}$时，W取得最小值，
将$x=\frac{2}{3}$代入得：
$W_{\mathrm{最小}}=108×(\frac{2}{3})^2 -144×\frac{2}{3} +120 = 48 - 96 + 120 =72$元。
【答案】
（1）$\boxed{6x^2-8x+4}$
（2）$\boxed{75}$元
（3）当$x=\boxed{\dfrac{2}{3}}$时，总费用最少，最少费用为$\boxed{72}$元
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际装修费用的场景考查代数知识的应用，需要先理清图形各部分边长的数量关系，正确列出代数式和函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，兼顾了对基础运算能力和函数应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
8. 2025年全运会的吉祥物“喜洋洋”火遍全国. 某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元. 试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个. 该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个.
（1）写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围：
（2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？
（3）求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（单位：元）的最大值.
（1）写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围：
$y=-10x+900\ (40≤ x≤ 55)$
；（2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？
（3）求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（单位：元）的最大值.
答案
8. 解 （1）$y=-10x+900\ (40≤ x≤ 55)$
（2）由题意，结合（1）知 $y=-10x+900$，所以 $(-10x+900)(x-30)=8\ 000$。所以 $x_1=50$，$x_2=70$。因为 $40≤ x≤ 55$，所以 $x=50$。
所以当销售单价为 50 元时，每天销售利润为 8 000 元。
（3）结合（2）可得，每天销售利润
$W=(-10x+900)(x-30)$
$=-10x^2+1\ 200x-27\ 000$
$=-10(x-60)^2+9\ 000$。
因为 $-10＜0$，且 $40≤ x≤ 55$，
所以当 $x=55$ 时，每天销售利润最大，最大值为 8 750。
所以该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润的最大值为 8 750 元。
（2）由题意，结合（1）知 $y=-10x+900$，所以 $(-10x+900)(x-30)=8\ 000$。所以 $x_1=50$，$x_2=70$。因为 $40≤ x≤ 55$，所以 $x=50$。
所以当销售单价为 50 元时，每天销售利润为 8 000 元。
（3）结合（2）可得，每天销售利润
$W=(-10x+900)(x-30)$
$=-10x^2+1\ 200x-27\ 000$
$=-10(x-60)^2+9\ 000$。
因为 $-10＜0$，且 $40≤ x≤ 55$，
所以当 $x=55$ 时，每天销售利润最大，最大值为 8 750。
所以该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润的最大值为 8 750 元。
解析
【分析】
（1）求解y与x的函数关系时，先根据“单价每上涨1元，销售量减少10个”的规律，结合单价为40元时销量500个的条件，算出单价为x元时销量减少的数量，再用基础销量减去减少的销量得到y的表达式；再根据“单个销售利润不低于10元、不高于25元”，结合进价30元/个，算出售价的上下限，即可得到x的取值范围。
（2）销售利润=单个利润×销售量，单个利润为(x-30)元，销售量为y，代入（1）得到的y的表达式列一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合要求的根即可。
（3）先根据利润公式写出W关于x的二次函数表达式，整理成顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，判断函数在取值范围内的增减性，进而求出最大值。
【解析】
（1）当销售单价为x元时，相比40元上涨了(x-40)元，因此销售量减少10(x-40)个，可得：
$y = 500 - 10(x - 40) = -10x + 900$
由题意，单个利润需满足$10≤ x-30≤25$，解得$40≤ x≤55$。
（2）根据总利润的计算公式可列方程：
$(x - 30)(-10x + 900) = 8000$
整理得$x^2 - 120x + 3500 = 0$，解得$x_1=50$，$x_2=70$。
∵$40≤ x≤55$，
∴$x=70$不符合要求，舍去。
（3）由题意可得利润表达式：
$W = (x - 30)(-10x + 900)$
$=-10x^2 + 1200x - 27000$
$=-10(x - 60)^2 + 9000$
∵$a=-10＜0$，抛物线开口向下，在$x＜60$时，W随x的增大而增大，
又
∵$40≤ x≤55＜60$，
∴当$x=55$时，W取得最大值，代入得$W=-10×(55-60)^2 + 9000=8750$元。
【答案】
（1）$y=-10x+900\ (40≤ x≤ 55)$
（2）50元
（3）8750元
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，解题的核心是准确梳理单价、销量、利润之间的数量关系，同时要特别注意自变量的取值范围，求解方程和二次函数最值时都要结合范围验证结果，避免出现不符合实际要求的答案。
【难度系数】
0.7
（1）求解y与x的函数关系时，先根据“单价每上涨1元，销售量减少10个”的规律，结合单价为40元时销量500个的条件，算出单价为x元时销量减少的数量，再用基础销量减去减少的销量得到y的表达式；再根据“单个销售利润不低于10元、不高于25元”，结合进价30元/个，算出售价的上下限，即可得到x的取值范围。
（2）销售利润=单个利润×销售量，单个利润为(x-30)元，销售量为y，代入（1）得到的y的表达式列一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合要求的根即可。
（3）先根据利润公式写出W关于x的二次函数表达式，整理成顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，判断函数在取值范围内的增减性，进而求出最大值。
【解析】
（1）当销售单价为x元时，相比40元上涨了(x-40)元，因此销售量减少10(x-40)个，可得：
$y = 500 - 10(x - 40) = -10x + 900$
由题意，单个利润需满足$10≤ x-30≤25$，解得$40≤ x≤55$。
（2）根据总利润的计算公式可列方程：
$(x - 30)(-10x + 900) = 8000$
整理得$x^2 - 120x + 3500 = 0$，解得$x_1=50$，$x_2=70$。
∵$40≤ x≤55$，
∴$x=70$不符合要求，舍去。
（3）由题意可得利润表达式：
$W = (x - 30)(-10x + 900)$
$=-10x^2 + 1200x - 27000$
$=-10(x - 60)^2 + 9000$
∵$a=-10＜0$，抛物线开口向下，在$x＜60$时，W随x的增大而增大，
又
∵$40≤ x≤55＜60$，
∴当$x=55$时，W取得最大值，代入得$W=-10×(55-60)^2 + 9000=8750$元。
【答案】
（1）$y=-10x+900\ (40≤ x≤ 55)$
（2）50元
（3）8750元
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，解题的核心是准确梳理单价、销量、利润之间的数量关系，同时要特别注意自变量的取值范围，求解方程和二次函数最值时都要结合范围验证结果，避免出现不符合实际要求的答案。
【难度系数】
0.7
