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7.（1）如图，请在平面直角坐标系中画出二次函数$y=x^2 - 2x$的大致图象；
（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程$x^2 - 2x=1$的根在图上近似地表示出来（描点即可）；
（3）观察图象，直接写出方程$x^2 - 2x=1$的根的近似值（结果精确到0.1）。
（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程$x^2 - 2x=1$的根在图上近似地表示出来（描点即可）；
（3）观察图象，直接写出方程$x^2 - 2x=1$的根的近似值（结果精确到0.1）。
答案
7. 解（1）如图所示。
（2）如图，作出点M，N。
（3）方程的根的近似值为 $x_1=-0.4$，$x_2=2.4$。
解析
【分析】
解决本题可分三步思考：1. 画二次函数图象：先将二次函数解析式化为顶点式，确定顶点坐标，再求出函数与坐标轴的交点，补充若干对称点后描点连线即可得到图象；2. 理解方程根与函数图象的关系：方程$x^2-2x=1$的根就是二次函数$y=x^2-2x$的函数值为1时对应的横坐标，也就是抛物线与直线$y=1$交点的横坐标，因此画出直线$y=1$，描出它和抛物线的两个交点即可；3. 求近似根：观察两个交点的横坐标，结合网格的单位长度估算，将结果精确到0.1即可。
【解析】
（1）先将二次函数解析式变形：$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，可得抛物线顶点坐标为$(1,-1)$；令$y=0$，则$x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，即抛物线与x轴交于$(0,0)$、$(2,0)$；再取对称点如$x=-1$时$y=3$，$x=3$时$y=3$，将上述点描出后用平滑曲线连接，即得到二次函数的大致图象。
（2）方程$x^2-2x=1$的根对应$y=x^2-2x$与$y=1$交点的横坐标，在坐标系中画出直线$y=1$，它与抛物线交于两个点M、N，描出这两个点即可。
（3）观察图象可得，点M的横坐标约为-0.4，点N的横坐标约为2.4，因此方程$x^2-2x=1$的近似根为$x_1\approx-0.4$，$x_2\approx2.4$。
【答案】
（1）如图所示。
（2）如图，作出点M，N。
（3）方程的根的近似值为 $x_1=-0.4$，$x_2=2.4$。
【知识点】
二次函数图象画法，二次函数与一元二次方程的关系，图象法求方程近似根
【点评】
本题考查二次函数的相关性质及数形结合思想的应用，需要掌握二次函数图象的绘制方法，理解函数图象交点与对应方程根的关系，能从函数图象中读取有效信息估算方程的解。
【难度系数】
0.7
解决本题可分三步思考：1. 画二次函数图象：先将二次函数解析式化为顶点式，确定顶点坐标，再求出函数与坐标轴的交点，补充若干对称点后描点连线即可得到图象；2. 理解方程根与函数图象的关系：方程$x^2-2x=1$的根就是二次函数$y=x^2-2x$的函数值为1时对应的横坐标，也就是抛物线与直线$y=1$交点的横坐标，因此画出直线$y=1$，描出它和抛物线的两个交点即可；3. 求近似根：观察两个交点的横坐标，结合网格的单位长度估算，将结果精确到0.1即可。
【解析】
（1）先将二次函数解析式变形：$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，可得抛物线顶点坐标为$(1,-1)$；令$y=0$，则$x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，即抛物线与x轴交于$(0,0)$、$(2,0)$；再取对称点如$x=-1$时$y=3$，$x=3$时$y=3$，将上述点描出后用平滑曲线连接，即得到二次函数的大致图象。
（2）方程$x^2-2x=1$的根对应$y=x^2-2x$与$y=1$交点的横坐标，在坐标系中画出直线$y=1$，它与抛物线交于两个点M、N，描出这两个点即可。
（3）观察图象可得，点M的横坐标约为-0.4，点N的横坐标约为2.4，因此方程$x^2-2x=1$的近似根为$x_1\approx-0.4$，$x_2\approx2.4$。
【答案】
（1）如图所示。
（2）如图，作出点M，N。
（3）方程的根的近似值为 $x_1=-0.4$，$x_2=2.4$。
【知识点】
二次函数图象画法，二次函数与一元二次方程的关系，图象法求方程近似根
【点评】
本题考查二次函数的相关性质及数形结合思想的应用，需要掌握二次函数图象的绘制方法，理解函数图象交点与对应方程根的关系，能从函数图象中读取有效信息估算方程的解。
【难度系数】
0.7
8. 抛物线 $y_1=ax^2+bx+c$ 与直线 $y_2=kx+m$ 的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出 $b$，$b^2-4ac$，$a-b+c$ 的符号；
（2）若 $y_1＜0$，指出 $x$ 的取值范围；
（3）若 $y_1＞y_2$，指出 $x$ 的取值范围。
（1）写出 $b$，$b^2-4ac$，$a-b+c$ 的符号；
（2）若 $y_1＜0$，指出 $x$ 的取值范围；
（3）若 $y_1＞y_2$，指出 $x$ 的取值范围。
答案
8. 解（1）由二次函数图象得 $a＞0$，$-\dfrac{b}{2a}＞0$，得出 $b＜0$。因为二次函数图象与坐标轴的交点个数为2，所以 $b^2-4ac＞0$。
因为 $x=-1$ 时，$y=a-b+c$，结合图象可知 $a-b+c＞0$。所以 $b$ 的符号为负，$b^2-4ac$ 的符号为正，$a-b+c$ 的符号为正。
（2）结合图象可知，当 $y_1＜0$ 时，$1＜x＜4$。
（3）结合图象可知，当 $y_1＞y_2$ 时，$x＜1$ 或 $x＞5$。
因为 $x=-1$ 时，$y=a-b+c$，结合图象可知 $a-b+c＞0$。所以 $b$ 的符号为负，$b^2-4ac$ 的符号为正，$a-b+c$ 的符号为正。
（2）结合图象可知，当 $y_1＜0$ 时，$1＜x＜4$。
（3）结合图象可知，当 $y_1＞y_2$ 时，$x＜1$ 或 $x＞5$。
解析
【分析】
（1）判断b的符号：先根据抛物线开口方向确定a的符号，再结合对称轴在y轴右侧的特征，利用“左同右异”的规律推导b的符号；判断$b^2-4ac$的符号只需看抛物线和x轴的交点个数，有2个交点则$b^2-4ac$为正；$a-b+c$是x=-1时二次函数的函数值，观察x=-1时抛物线的位置即可判断其符号。
（2）$y_1＜0$对应抛物线在x轴下方的部分，找到抛物线与x轴两个交点的横坐标，取两个交点之间的x范围即可。
（3）$y_1＞y_2$对应抛物线在直线上方的部分，找到两个函数图象交点的横坐标，取交点外侧的x范围即可。
【解析】
（1）①由抛物线开口向上可得$a＞0$，又抛物线对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可推出$b＜0$；
②抛物线与x轴有2个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$；
③当$x=-1$时，二次函数的函数值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，观察图象可知x=-1时抛物线在x轴上方，函数值为正，故$a-b+c＞0$。
（2）$y_1＜0$即抛物线图象位于x轴下方的部分，由图象得抛物线与x轴的交点横坐标为1和4，因此x的取值范围是$1＜x＜4$。
（3）$y_1＞y_2$即抛物线图象位于直线上方的部分，由图象得两个函数交点的横坐标为1和5，因此x的取值范围是$x＜1$或$x＞5$。
【答案】
（1）$b＜0$，$b^2-4ac＞0$，$a-b+c＞0$；
（2）$1＜x＜4$；
（3）$x＜1$或$x＞5$。
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题侧重考查函数图象的读取和应用，解题核心是准确把握二次函数各项系数、特殊点函数值的图象意义，结合图象交点位置快速推导不等式的解集，数形结合是解决这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.75
（1）判断b的符号：先根据抛物线开口方向确定a的符号，再结合对称轴在y轴右侧的特征，利用“左同右异”的规律推导b的符号；判断$b^2-4ac$的符号只需看抛物线和x轴的交点个数，有2个交点则$b^2-4ac$为正；$a-b+c$是x=-1时二次函数的函数值，观察x=-1时抛物线的位置即可判断其符号。
（2）$y_1＜0$对应抛物线在x轴下方的部分，找到抛物线与x轴两个交点的横坐标，取两个交点之间的x范围即可。
（3）$y_1＞y_2$对应抛物线在直线上方的部分，找到两个函数图象交点的横坐标，取交点外侧的x范围即可。
【解析】
（1）①由抛物线开口向上可得$a＞0$，又抛物线对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可推出$b＜0$；
②抛物线与x轴有2个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$；
③当$x=-1$时，二次函数的函数值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，观察图象可知x=-1时抛物线在x轴上方，函数值为正，故$a-b+c＞0$。
（2）$y_1＜0$即抛物线图象位于x轴下方的部分，由图象得抛物线与x轴的交点横坐标为1和4，因此x的取值范围是$1＜x＜4$。
（3）$y_1＞y_2$即抛物线图象位于直线上方的部分，由图象得两个函数交点的横坐标为1和5，因此x的取值范围是$x＜1$或$x＞5$。
【答案】
（1）$b＜0$，$b^2-4ac＞0$，$a-b+c＞0$；
（2）$1＜x＜4$；
（3）$x＜1$或$x＞5$。
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题侧重考查函数图象的读取和应用，解题核心是准确把握二次函数各项系数、特殊点函数值的图象意义，结合图象交点位置快速推导不等式的解集，数形结合是解决这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.75
9. 对于一个函数，若自变量 $ x $ 取 $ m $ 时，函数值 $ y $ 等于 $ 2m $，则称点 $ A(m,2m) $ 是这个函数的“二倍点”。已知二次函数 $ y=x^2+3x+k $。
（1）若点 $ A(1,2) $ 是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点” $ B $ 的坐标是
（2）若此函数有两个相异的“二倍点” $ A(m,2m) $，$ B(n,2n) $，且 $ m＜1＜n $，则 $ k $ 的取值范围是
（1）若点 $ A(1,2) $ 是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点” $ B $ 的坐标是
$(-2,-4)$
；（2）若此函数有两个相异的“二倍点” $ A(m,2m) $，$ B(n,2n) $，且 $ m＜1＜n $，则 $ k $ 的取值范围是
$k＜-2$
。答案
9. （1）$(-2, -4)$ （2）$k＜-2$
解析
【分析】
本题首先要明确“二倍点”的定义：当函数值$y=2x$时对应的点就是二倍点，因此所有二倍点的横坐标都满足方程$x^2+3x+k=2x$，即$x^2+x+k=0$，将新定义问题转化为一元二次方程的相关问题求解即可。
（1）已知$A(1,2)$是二倍点，说明$x=1$是方程$x^2+x+k=0$的一个根，先代入求出$k$的值，再解方程得到另一个根，即可得到$B$点坐标。
（2）两个相异二倍点对应方程$x^2+x+k=0$有两个不相等的实根$m、n$，且$m＜1＜n$，结合二次函数$y=x^2+x+k$开口向上的性质，可知当$x=1$时函数值小于0，代入求解即可得到$k$的取值范围，同时可验证此时判别式满足有两个不等实根的条件。
【解析】
（1）根据“二倍点”的定义，二倍点满足$y=2x$，联立二次函数解析式得：
$x^2+3x+k=2x$
整理得：$x^2+x+k=0$
∵点$A(1,2)$是此函数的“二倍点”
∴$x=1$是方程$x^2+x+k=0$的根，代入得：
$1^2+1+k=0$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入方程得：$x^2+x-2=0$
因式分解得：$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-2$
当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4$
∴另一个“二倍点”$B$的坐标为$(-2,-4)$
（2）
∵函数有两个相异的“二倍点”$A(m,2m)$、$B(n,2n)$
∴$m、n$是方程$x^2+x+k=0$的两个不相等的实数根
设二次函数$f(x)=x^2+x+k$，该函数开口向上
∵$m＜1＜n$，即1在两根之间
∴当$x=1$时，$f(1)＜0$
代入得：$1^2+1+k＜0$，解得$k＜-2$
此时判别式$\Delta=1^2-4×1×k=1-4k$，当$k＜-2$时，$1-4k＞9＞0$，满足方程有两个不等实根的条件
故$k$的取值范围是$k＜-2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(-2, -4)}$；（2）$\boldsymbol{k＜-2}$
【知识点】
1. 新定义问题
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是将新定义的“二倍点”问题转化为熟悉的一元二次方程根的问题，第二问利用二次函数的图象性质判断根的分布，较好地考查了知识迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题首先要明确“二倍点”的定义：当函数值$y=2x$时对应的点就是二倍点，因此所有二倍点的横坐标都满足方程$x^2+3x+k=2x$，即$x^2+x+k=0$，将新定义问题转化为一元二次方程的相关问题求解即可。
（1）已知$A(1,2)$是二倍点，说明$x=1$是方程$x^2+x+k=0$的一个根，先代入求出$k$的值，再解方程得到另一个根，即可得到$B$点坐标。
（2）两个相异二倍点对应方程$x^2+x+k=0$有两个不相等的实根$m、n$，且$m＜1＜n$，结合二次函数$y=x^2+x+k$开口向上的性质，可知当$x=1$时函数值小于0，代入求解即可得到$k$的取值范围，同时可验证此时判别式满足有两个不等实根的条件。
【解析】
（1）根据“二倍点”的定义，二倍点满足$y=2x$，联立二次函数解析式得：
$x^2+3x+k=2x$
整理得：$x^2+x+k=0$
∵点$A(1,2)$是此函数的“二倍点”
∴$x=1$是方程$x^2+x+k=0$的根，代入得：
$1^2+1+k=0$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入方程得：$x^2+x-2=0$
因式分解得：$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-2$
当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4$
∴另一个“二倍点”$B$的坐标为$(-2,-4)$
（2）
∵函数有两个相异的“二倍点”$A(m,2m)$、$B(n,2n)$
∴$m、n$是方程$x^2+x+k=0$的两个不相等的实数根
设二次函数$f(x)=x^2+x+k$，该函数开口向上
∵$m＜1＜n$，即1在两根之间
∴当$x=1$时，$f(1)＜0$
代入得：$1^2+1+k＜0$，解得$k＜-2$
此时判别式$\Delta=1^2-4×1×k=1-4k$，当$k＜-2$时，$1-4k＞9＞0$，满足方程有两个不等实根的条件
故$k$的取值范围是$k＜-2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(-2, -4)}$；（2）$\boldsymbol{k＜-2}$
【知识点】
1. 新定义问题
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是将新定义的“二倍点”问题转化为熟悉的一元二次方程根的问题，第二问利用二次函数的图象性质判断根的分布，较好地考查了知识迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，已知二次函数 $ y = x^2 + mx + 3 $ 的图象经过点 $ P(-2, 3) $ 和点 $ Q(2, n) $。
（1）求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
（2）请根据图象性质回答：当 $ 3 ≤ y ≤ 11 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围为
（1）求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
（2）请根据图象性质回答：当 $ 3 ≤ y ≤ 11 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围为
$-4≤x≤-2或0≤x≤2$
。答案
10. 解（1）把 $P(-2, 3)$ 代入函数解析式，得 $4-2m+3=3$。所以 $m=2$。所以 $y=x^2+2x+3$。当 $x=2$ 时，$y=2^2+2×2+3=11$。所以 $n=11$。
（2）$-4≤x≤-2$ 或 $0≤x≤2$
（2）$-4≤x≤-2$ 或 $0≤x≤2$
解析
【分析】
（1）要确定参数$m$的值，可利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将点$P$的坐标代入解析式得到关于$m$的方程，解方程求出$m$后即可得到完整的二次函数解析式，再将点$Q$的横坐标代入解析式就能求出$n$的值。
（2）要求$3 ≤ y ≤ 11$时自变量$x$的取值范围，先分别求出$y=3$和$y=11$时对应的$x$的取值，再结合二次函数开口向上的图象性质，即可确定对应$x$的区间范围。
【解析】
（1）将点$P(-2, 3)$代入二次函数$y = x^2 + mx + 3$，得：
$(-2)^2 + m×(-2) + 3 = 3$
化简得$4 - 2m + 3 = 3$，解得$m=2$。
因此二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x + 3$。
将点$Q(2, n)$代入$y = x^2 + 2x + 3$，得：
$n = 2^2 + 2×2 + 3 = 11$
（2）先求$y=3$时$x$的取值：
令$x^2 + 2x + 3 = 3$，整理得$x^2 + 2x = 0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
再求$y=11$时$x$的取值：
令$x^2 + 2x + 3 = 11$，整理得$x^2 + 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_3=-4$，$x_4=2$。
该二次函数$a=1＞0$，图象开口向上，结合图象可得：当$3 ≤ y ≤ 11$时，自变量$x$的取值范围是$-4≤x≤-2$或$0≤x≤2$。
【答案】
（1）$m=2$，$n=11$；（2）$-4≤x≤-2$ 或 $0≤x≤2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础典型题，解题时结合函数图象上点的坐标特征求参数，再利用数形结合思想，根据二次函数的开口方向判断对应函数值范围的自变量区间，能很好地考查对二次函数基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
（1）要确定参数$m$的值，可利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将点$P$的坐标代入解析式得到关于$m$的方程，解方程求出$m$后即可得到完整的二次函数解析式，再将点$Q$的横坐标代入解析式就能求出$n$的值。
（2）要求$3 ≤ y ≤ 11$时自变量$x$的取值范围，先分别求出$y=3$和$y=11$时对应的$x$的取值，再结合二次函数开口向上的图象性质，即可确定对应$x$的区间范围。
【解析】
（1）将点$P(-2, 3)$代入二次函数$y = x^2 + mx + 3$，得：
$(-2)^2 + m×(-2) + 3 = 3$
化简得$4 - 2m + 3 = 3$，解得$m=2$。
因此二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x + 3$。
将点$Q(2, n)$代入$y = x^2 + 2x + 3$，得：
$n = 2^2 + 2×2 + 3 = 11$
（2）先求$y=3$时$x$的取值：
令$x^2 + 2x + 3 = 3$，整理得$x^2 + 2x = 0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
再求$y=11$时$x$的取值：
令$x^2 + 2x + 3 = 11$，整理得$x^2 + 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_3=-4$，$x_4=2$。
该二次函数$a=1＞0$，图象开口向上，结合图象可得：当$3 ≤ y ≤ 11$时，自变量$x$的取值范围是$-4≤x≤-2$或$0≤x≤2$。
【答案】
（1）$m=2$，$n=11$；（2）$-4≤x≤-2$ 或 $0≤x≤2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础典型题，解题时结合函数图象上点的坐标特征求参数，再利用数形结合思想，根据二次函数的开口方向判断对应函数值范围的自变量区间，能很好地考查对二次函数基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
