14.如图,直线$y=-2x+2$与x轴、y轴分别交于点A,B,以AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°。
(1)求点C的坐标。
(2)若有一动点P(a,b)到直线$y=-2x+2$的距离等于线段AC的长度,求a与b的数量关系。
(3)在直线$x=0.5$上取点Q,使得△ABQ与△ABC面积相等,请直接写出点Q的坐标。

(1)$(3,1)$[提示:作$CD⊥ x$轴于点D,易证$△ ABO≌△ CAD$]
(2)$b=-2a+7$或$b=-2a-3$[提示:①当点 P 在直线 AB 右侧时,点 P 在与 AB 平行且过点 C 的直线上,易求该直线表达式为$y=-2x+7$;②当点 P 在直线 AB 左侧时,点 C 关于直线 AB 的对称点$C'$为$(-1,-1)$,点 P 在与 AB 平行且过点$C'$的直线上,易求该直线表达式为$y=-2x-3$]
(3)$Q(0.5,6)$或$(0.5,-4)$

【分析】
(1)首先求出直线与x轴、y轴交点A、B的坐标，再通过作辅助线CD垂直x轴，利用同角的余角相等得到角相等，结合等腰直角三角形AB=AC的条件，证明△ABO和△CAD全等，利用全等三角形对应边相等计算得到点C的坐标。
(2)点P到直线AB的距离等于AC长度，说明点P在与AB平行且到AB的距离等于AC的两条直线上，根据平行直线k值相等设出直线解析式，结合已知条件求出两条直线的解析式，即可得到a、b的数量关系，注意分直线在AB两侧两种情况讨论。
(3)△ABQ和△ABC同以AB为底，面积相等意味着Q到AB的距离等于AC的长度，即Q在(2)中所求的两条平行直线上，将x=0.5代入直线解析式即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标。
【解析】
(1)对于直线$y=-2x+2$：
令$x=0$，得$y=2$，故点B坐标为$(0,2)$，$OB=2$；
令$y=0$，得$-2x+2=0$，解得$x=1$，故点A坐标为$(1,0)$，$OA=1$。
过点C作$CD⊥x$轴于点D，$\therefore ∠ CDA=90°=∠ AOB$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ OAB+∠ CAD=90°$，
又$\because ∠ OAB+∠ OBA=90°$，$\therefore ∠ OBA=∠ CAD$。
在$△ ABO$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CDA \\∠ OBA=∠ DAC \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CAD(AAS)$
$\therefore AD=OB=2$，$CD=OA=1$，
$\therefore OD=OA+AD=1+2=3$，
$\therefore$点C的坐标为$(3,1)$。
(2)$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore AC=AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
动点P到直线AB的距离等于AC的长度，且平行于AB的直线上的点到AB的距离相等，直线AB的斜率为$-2$，故设满足条件的直线解析式为$y=-2x+m$。
①当直线在AB右侧时，直线过点C$(3,1)$，代入得$1=-2×3+m$，解得$m=7$，即$y=-2x+7$，$\therefore b=-2a+7$；
②当直线在AB左侧时，两平行直线$y=-2x+2$与$y=-2x+m$的距离为$\sqrt{5}$，计算得$m=-3$，即$y=-2x-3$，$\therefore b=-2a-3$。
综上，a与b的数量关系为$b=-2a+7$或$b=-2a-3$。
(3)$△ ABQ$与$△ ABC$同底为AB，面积相等则Q到AB的距离等于AC的长度，即Q在(2)中所求的两条直线上，又Q在直线$x=0.5$上：
将$x=0.5$代入$y=-2x+7$，得$y=-2×0.5+7=6$；
将$x=0.5$代入$y=-2x-3$，得$y=-2×0.5-3=-4$。
$\therefore$点Q的坐标为$(0.5,6)$或$(0.5,-4)$。
【答案】
(1)$(3,1)$
(2)$b=-2a+7$或$b=-2a-3$
(3)$(0.5,6)$或$(0.5,-4)$
【知识点】
一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题时需要结合几何性质转化为函数相关条件，注意分类讨论思想的应用，避免漏解，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

15. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境。已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2 km，超市离学生公寓2 km。小琪从学生公寓出发，匀速步行了12 min到阅览室。在阅览室停留70 min后，匀速步行了10 min到超市。在超市停留20 min后，匀速骑行了8 min返回学生公寓。给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y(km)与离开学生公寓的时间x(min)之间的对应关系。请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：

(2)填空：
① 阅览室到超市的距离为km。
②小琪从超市返回学生公寓的速度为km/min。
③当小琪离学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为min。
(3)当0≤x≤92时，求y关于x的函数表达式。

(1)0.8 1.2 2
(2)①0.8 ②0.25 ③10或116
(3)当$82＜x≤92$时,设$y=kx+b(k≠0)$,代入点(82,1.2),(92,2),易得$y=0.08x-5.36$,
$\therefore y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤12),\\1.2(12＜x≤82),\\0.08x-5.36(82＜x≤92)\end{cases}$

【分析】
本题是结合行程场景的分段一次函数应用题，解题时首先梳理小琪的行程阶段：①0-12min：从学生公寓步行到阅览室；②12-82min：在阅览室停留；③82-92min：从阅览室步行到超市；④92-112min：在超市停留；⑤112-120min：从超市骑行返回学生公寓。先计算各阶段的行进速度，再结合问题分别求解：(1)根据对应时间所属的行程阶段，计算离公寓的距离；(2)根据路程、速度、时间的关系，结合分类讨论求解距离为1km时的时间；(3)分0≤x≤12、12＜x≤82、82＜x≤92三个区间，分别用待定系数法求函数表达式。
【解析】
首先计算各阶段速度：
从学生公寓到阅览室的速度：$v_1=1.2÷12=0.1\ \mathrm{km/min}$
从阅览室到超市的速度：$v_2=(2-1.2)÷10=0.08\ \mathrm{km/min}$
从超市返回学生公寓的速度：$v_3=2÷8=0.25\ \mathrm{km/min}$
(1) 填表：
当$x=8\ \mathrm{min}$时，处于去阅览室的阶段，$y=0.1×8=0.8\ \mathrm{km}$；
当$x=50\ \mathrm{min}$时，处于阅览室停留阶段，$y=1.2\ \mathrm{km}$；
当$x=92\ \mathrm{min}$时，刚好到达超市，$y=2\ \mathrm{km}$。
(2) ① 阅览室到超市的距离为超市到公寓的距离减去阅览室到公寓的距离：$2-1.2=0.8\ \mathrm{km}$；
② 小琪从超市返回学生公寓的速度为总路程除以返回时间：$2÷8=0.25\ \mathrm{km/min}$；
③ 分两种情况讨论：
情况1：去阅览室途中，令$0.1x=1$，解得$x=10$；
情况2：从超市返回途中，开始返回的时间为$12+70+10+20=112\ \mathrm{min}$，返回阶段的函数关系为$y=2-0.25(x-112)$，令$y=1$，解得$x=116$。
(3) 分三段求函数表达式：
① 当$0≤ x≤12$时，设$y=k_1x$，将$(12,1.2)$代入得$1.2=12k_1$，解得$k_1=0.1$，即$y=0.1x$；
② 当$12＜x≤82$时，小琪在阅览室停留，离公寓的距离不变，即$y=1.2$；
③ 当$82＜x≤92$时，设$y=k_2x+b(k≠0)$，将$(82,1.2)$、$(92,2)$代入得方程组：
$\begin{cases}82k_2+b=1.2\\92k_2+b=2\end{cases}$
两式相减得$10k_2=0.8$，解得$k_2=0.08$，代入得$b=1.2-82×0.08=-5.36$，即$y=0.08x-5.36$。
【答案】
(1)0.8 1.2 2
(2)①0.8 ②0.25 ③10或116
(3)$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤12)\\1.2(12＜x≤82)\\0.08x-5.36(82＜x≤92)\end{cases}$
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题公式
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查分段一次函数的实际应用，解题核心是理清不同时间段对应的行程状态，结合速度、路程、时间的关系和待定系数法求解，注意距离为固定值时要分类讨论所属的行程阶段，避免漏解。
【难度系数】
0.6