16. (1)一个三角形的三个内角之比为1:1:2,则这个三角形是什么三角形?
(2)若比改为1:2:3呢?
(3)若比改为2:3:5呢?
由此你发现了什么规律?若将比改为a:b:c(a,b,c均为正整数,且a≤b≤c)呢?请写出它们的关系式。

16. (1)等腰直角三角形 (2)直角三角形(3)直角三角形 当a+b=c时,该三角形是直角三角形

【分析】
解题思路可分为两步：首先，利用三角形内角和为180°的性质，结合给出的内角度数比，通过按比例分配的方法求出各内角的度数，即可判断三角形的类型；其次，观察前3小问比例的共同特点，推导a:b:c形式下的通用规律：因为a≤b≤c，所以最大角对应比例c，若最大角为90°，则最大角的占比等于另外两个角的占比之和，由此推导即可得到关系式。
【解析】
(1) 三个内角比为1:1:2，总份数为$1+1+2=4$
每份角度数：$180°÷4=45°$
三个内角分别为：$1×45°=45°$，$1×45°=45°$，$2×45°=90°$
该三角形有一个直角，且两个锐角相等，因此是等腰直角三角形。
(2) 三个内角比为1:2:3，总份数为$1+2+3=6$
每份角度数：$180°÷6=30°$
三个内角分别为：$1×30°=30°$，$2×30°=60°$，$3×30°=90°$
该三角形有一个直角，因此是直角三角形。
(3) 三个内角比为2:3:5，总份数为$2+3+5=10$
每份角度数：$180°÷10=18°$
三个内角分别为：$2×18°=36°$，$3×18°=54°$，$5×18°=90°$
该三角形有一个直角，因此是直角三角形。
规律推导：当三个内角比为$a:b:c$（$a,b,c$为正整数，且$a≤ b≤ c$）时，若三角形为直角三角形，则最大角为90°，可得$\frac{c}{a+b+c}×180°=90°$，化简得$a+b=c$。
【答案】
(1)等腰直角三角形；(2)直角三角形；(3)直角三角形；规律：当$a+b=c$时，该三角形是直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；直角三角形判定
【点评】
本题将比例计算和三角形分类判定结合，核心是利用内角和求角度，总结的规律可以帮助我们快速通过内角占比判断是否为直角三角形，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.8

17.已知:如图,在$Rt△ ABC$中,AD,AE分别是斜边BC上的高线和中线,AF是$∠ BAC$的平分线,求证:AF是$∠ DAE$的平分线。

17. 提示:利用高线和中线可求得∠BAD=∠C=∠CAE,由角平分线可得∠BAF=∠CAF

【分析】
要证明AF是∠DAE的平分线，本质是证明∠DAF=∠EAF。我们可以先从已知的直角三角形高线入手，利用同角的余角相等得到∠BAD与∠C相等；再结合直角三角形斜边中线的性质，推导得到∠CAE与∠C相等，进而得到∠BAD=∠CAE；最后结合AF是∠BAC平分线的条件，通过角的和差运算即可推导出∠DAF=∠EAF，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高线
∴ ∠ADB=90°
∴ ∠B + ∠BAD = 90°（直角三角形两锐角互余）
又
∵ ∠B + ∠C = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴ ∠BAD = ∠C（同角的余角相等）
∵ AE是斜边BC上的中线
∴ AE=CE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴ ∠CAE=∠C（等边对等角）
∴ ∠BAD=∠CAE
∵ AF是∠BAC的平分线
∴ ∠BAF=∠CAF（角平分线的定义）
∴ ∠BAF - ∠BAD = ∠CAF - ∠CAE
即 ∠DAF=∠EAF
∴ AF是∠DAE的平分线
【答案】
AF是∠DAE的平分线，得证。
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，综合考查了直角三角形和角平分线的相关性质，解题核心是通过中间量∠C搭建等角关系，再利用角的和差推导待证结论，需要熟练掌握直角三角形的常见性质并灵活运用到角的等量推导中。
【难度系数】
0.7