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13. 如图,在$△ ABC$中,E为AC的中点,$DE=\frac{1}{2}AC$,AD是$∠ BAC$的平分线,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由。
答案
13. 等腰三角形,理由略
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①E是AC中点且$DE=\frac{1}{2}AC$，可联想到直角三角形的判定定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形，由此可推出$AD⊥ BC$；②AD是$∠ BAC$的平分线，此时可结合公共边AD、垂直得到的等角，证明$△ ABD$和$△ ACD$全等，进而得到AB和AC的等量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
$△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
1. 因为E为AC的中点，所以$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，
又$DE=\frac{1}{2}AC$，因此$DE=AE=EC$，
可得$∠ EAD=∠ EDA$，$∠ ECD=∠ EDC$。
在$△ ADC$中，内角和为$180°$，即$∠ EAD+∠ ECD+∠ EDA+∠ EDC=180°$，
代入得$2(∠ EDA+∠ EDC)=180°$，即$∠ ADC=90°$，所以$AD⊥ BC$，$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
2. 因为AD是$∠ BAC$的平分线，所以$∠ BAD=∠ CAD$。
3. 在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD \\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{ASA})$，得$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
直角三角形判定；角平分线定义；全等三角形判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是先通过线段的数量关系推导垂直关系，再结合角平分线利用全等三角形得到边相等的结论，能有效考查学生对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：①E是AC中点且$DE=\frac{1}{2}AC$，可联想到直角三角形的判定定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形，由此可推出$AD⊥ BC$；②AD是$∠ BAC$的平分线，此时可结合公共边AD、垂直得到的等角，证明$△ ABD$和$△ ACD$全等，进而得到AB和AC的等量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
$△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
1. 因为E为AC的中点，所以$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，
又$DE=\frac{1}{2}AC$，因此$DE=AE=EC$，
可得$∠ EAD=∠ EDA$，$∠ ECD=∠ EDC$。
在$△ ADC$中，内角和为$180°$，即$∠ EAD+∠ ECD+∠ EDA+∠ EDC=180°$，
代入得$2(∠ EDA+∠ EDC)=180°$，即$∠ ADC=90°$，所以$AD⊥ BC$，$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
2. 因为AD是$∠ BAC$的平分线，所以$∠ BAD=∠ CAD$。
3. 在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD \\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{ASA})$，得$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
直角三角形判定；角平分线定义；全等三角形判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是先通过线段的数量关系推导垂直关系，再结合角平分线利用全等三角形得到边相等的结论，能有效考查学生对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 在$△ ABC$中，$2∠ B = ∠ A + ∠ C$，最小角$∠ A = 30°$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
14. 直角三角形,理由略
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的2∠B=∠A+∠C的数量关系，可先将∠A+∠C替换为2∠B代入内角和公式，求出∠B的度数；再结合已知的最小角∠A=30°，计算出∠C的度数，最后根据最大角的度数判断三角形的形状即可。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵三角形的内角和为180°，
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°，
又
∵2∠B = ∠A + ∠C，
∴将∠A + ∠C = 2∠B代入内角和公式得：2∠B + ∠B = 180°，
即3∠B = 180°，解得∠B = 60°，
∵∠A = 30°，
∴∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴△ABC中有一个内角为90°，故△ABC是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，通过已知角的数量关系求解未知角的度数是解题的关键，掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的2∠B=∠A+∠C的数量关系，可先将∠A+∠C替换为2∠B代入内角和公式，求出∠B的度数；再结合已知的最小角∠A=30°，计算出∠C的度数，最后根据最大角的度数判断三角形的形状即可。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵三角形的内角和为180°，
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°，
又
∵2∠B = ∠A + ∠C，
∴将∠A + ∠C = 2∠B代入内角和公式得：2∠B + ∠B = 180°，
即3∠B = 180°，解得∠B = 60°，
∵∠A = 30°，
∴∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴△ABC中有一个内角为90°，故△ABC是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，通过已知角的数量关系求解未知角的度数是解题的关键，掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
15. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，直角$∠ EPF$的顶点$P$是$BC$的中点，两边$PE$，$PF$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$。给出以下五个结论：① $AE = CF$；② $∠ APE = ∠ CPF$；③$△ EPF$是等腰直角三角形；④ $EF = AP$；⑤ $S_{\mathrm{四边形}AEPF} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。当$∠ EPF$在$△ ABC$内绕顶点$P$旋转时(点$E$不与$A$，$B$重合)，上述结论中，始终正确的有
①②③⑤
。(填序号)答案
15. ①②③⑤
解析
【分析】
首先由△ABC是等腰直角三角形、P是BC中点，结合等腰直角三角形三线合一的性质，可得AP=PC、∠BAP=∠C=45°、AP⊥BC。再结合∠EPF=90°，通过同角的余角相等推导角相等，证明△APE和△CPF全等，再根据全等的性质逐一验证各个结论：由全等对应边相等可判断①②③；利用全等面积相等转化四边形面积可判断⑤；结合动态变化中PE长度不固定，可判断④不恒成立。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=90°$，P是BC中点
∴$AP=PC$，$∠BAP=∠C=45°$，$AP⊥BC$，即$∠APC=90°$，$S_{△APC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$
∵$∠EPF=90°$
∴$∠APE + ∠APF = 90°$，$∠CPF + ∠APF = 90°$
∴$∠APE=∠CPF$，故②正确
在$△ APE$和$△ CPF$中：
$\begin{cases}∠PAE=∠C=45° \\AP=CP \\∠APE=∠CPF\end{cases}$
∴$△ APE≌△ CPF$（ASA）
∴$AE=CF$，$PE=PF$，故①正确
又
∵$∠EPF=90°$，
∴$△ EPF$是等腰直角三角形，故③正确
∵$△ APE≌△ CPF$，
∴$S_{△APE}=S_{△CPF}$
∴$S_{\mathrm{四边形}AEPF} = S_{△APE} + S_{△APF} = S_{△CPF} + S_{△APF} = S_{△APC} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$，故⑤正确
对于结论④：EF是等腰$Rt△ EPF$的斜边，$EF=\sqrt{2}PE$，PE的长度随点E的位置变化而变化，但AP是定值，因此EF不一定等于AP，故④错误
综上，始终正确的结论为①②③⑤
【答案】
①②③⑤
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，面积的转化
【点评】
本题是等腰直角三角形背景下的动态结论判断题，解题核心是利用三线合一找到全等三角形的判定条件，再结合全等的性质推导边、角、面积的关系，判断动态结论是否恒成立时要注意分析变量的变化规律。
【难度系数】
0.7
首先由△ABC是等腰直角三角形、P是BC中点，结合等腰直角三角形三线合一的性质，可得AP=PC、∠BAP=∠C=45°、AP⊥BC。再结合∠EPF=90°，通过同角的余角相等推导角相等，证明△APE和△CPF全等，再根据全等的性质逐一验证各个结论：由全等对应边相等可判断①②③；利用全等面积相等转化四边形面积可判断⑤；结合动态变化中PE长度不固定，可判断④不恒成立。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=90°$，P是BC中点
∴$AP=PC$，$∠BAP=∠C=45°$，$AP⊥BC$，即$∠APC=90°$，$S_{△APC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$
∵$∠EPF=90°$
∴$∠APE + ∠APF = 90°$，$∠CPF + ∠APF = 90°$
∴$∠APE=∠CPF$，故②正确
在$△ APE$和$△ CPF$中：
$\begin{cases}∠PAE=∠C=45° \\AP=CP \\∠APE=∠CPF\end{cases}$
∴$△ APE≌△ CPF$（ASA）
∴$AE=CF$，$PE=PF$，故①正确
又
∵$∠EPF=90°$，
∴$△ EPF$是等腰直角三角形，故③正确
∵$△ APE≌△ CPF$，
∴$S_{△APE}=S_{△CPF}$
∴$S_{\mathrm{四边形}AEPF} = S_{△APE} + S_{△APF} = S_{△CPF} + S_{△APF} = S_{△APC} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$，故⑤正确
对于结论④：EF是等腰$Rt△ EPF$的斜边，$EF=\sqrt{2}PE$，PE的长度随点E的位置变化而变化，但AP是定值，因此EF不一定等于AP，故④错误
综上，始终正确的结论为①②③⑤
【答案】
①②③⑤
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，面积的转化
【点评】
本题是等腰直角三角形背景下的动态结论判断题，解题核心是利用三线合一找到全等三角形的判定条件，再结合全等的性质推导边、角、面积的关系，判断动态结论是否恒成立时要注意分析变量的变化规律。
【难度系数】
0.7
